2017-2018学年福建省上杭县第一中学高二下学期第二次月考（6月）数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年福建省上杭县第一中学高二下学期第二次月考（6月）数学（理）试题（解析版）

2017-2018 学年福建省上杭县第一中学高二下学期第二次月 考（6 月）数学（理）试题 一、单选题 1．复数 的共轭复数在复平面内的对应点在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 其共轭复数为 ，则对应点在第二象限 故选 2．某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项 目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团 队的获奖结果预测如下: 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说:“丁团队获得一等奖”； 小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说:“甲团队获得一等奖”. 若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符; 2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符; 3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符; 4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选 D. 【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本 题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等 奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意 不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意. 3．函数 在 上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3 2 2 i i − 3 2 3 2 312 2 2 i i ii − += = − −− 31 2 i− + B 【解析】分析：先求导函数 ，令导函数 ，得 。讨论在 与 内的单调性，进而求得最大值。 详解：对函数求导，得 令 ，得 当 时， ，函数单调递增 当 时， ，函数单调递减 所以在 处取得极大值为 当 时， 所以最大值为-1 所以选 D 点睛：本题考查了导函数在定区间内的最值问题，主要的通过导函数判断函数的单调性， 通过单调性判断是否存在极值点，属于简单题。 4．设随机变量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据正态分布曲线关于 x＝3 对称，所以 P(X＞4)＝P(X＜2)＝p，所以 P(2＜X＜ 4)＝1－2p，故选 C. 5．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 次试验，得到 组 数 据 ， ， ， ， . 根 据 收 集 到 的 数 据 可 知 ， 由 最 小 二 乘 法 求 得 回 归 直 线 方 程 为 ， 则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：通过 的和，求得 ，代入回归直线可得 ，进而求得 的值。 详解：因为 所以 ，代入回归直线方程求得 所以 所以选 C 点睛：本题考查了回归直线方程的简单应用，掌握回归直线必定经过 点，是简单题。 6． 的展开式中 的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 的系数为 ，故选 D． 7．设 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【 解 析 】 分 析 ： 绝 对 值 函 数 的 积 分 可 化 为 分 段 函 数 的 积 分 。 所 以 。又因为 ，而 ，所以通过微积分基本定理 可求得定积分值。 详解：因为 所以 ( )( )51 2 1x x− − 3x 10 10− 20− 30− 3x ( ) ( )2 32 3 5 52 1 1 30C C− × × − + − = − 所以选 A 点睛：本题考查了微积分基本定理的简单应用，关键是分析得到 ，进而利用微 积分基本定理求解，属于中档题。 8．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿， 某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 位育龄妇女，结果如表. 非一线 一线 总计 愿生 不愿生 总计 附表： 由 算得， 参照附表，得到 的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B. 有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” C. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” D. 有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关” 【答案】B 【解析】分析：根据独立性检验求得 值，与临界值比较，即可判断是否有关。 详解：根据 所以有 以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，或在犯错误的概率不超过 的 前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”。 所以选 B 点睛：本题考查了独立性检验的基本内容，主要是注意两种不同回答方式，属于简单题。 9．甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只 去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（ ） A. 60 种 B. 54 种 C. 48 种 D. 24 种 【答案】D 【解析】分两类求解．①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人 分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有 种；②甲与另外一人为一 组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，故方案有 ．由分类加法计数原理可得总的方案数为 24 种．选 D． 10．变量 的分布列如下图所示，其中 成等差数列，若 ，则 的 值是（ ） -1 0 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵a,b,c 成等差数列, ， ∴由变量 ξ 的分布列，知： ,解得 ， ∴ . 1 2 2 2 3 2 12C C A = 1 1 2 3 2 2 12C C A = ξ , ,a b c ( ) 1 3E ξ = ( )D ξ ξ P a b c 1 3 5 9 2 3 11 27 ( ) 1 3E ξ = 1 { 2 1 3 a b c b a c a c + + = = + − + = 1 1 1, ,6 3 2a b c= = = ( ) 2 2 21 1 1 1 1 1 5( 1 ) (0 ) (1 )3 6 3 3 3 2 9D ξ = − − × + − × + − × = 故选：B. 点睛：分布列中，所有事件概率和为 1；期望为：变量乘以概率以后求和；方差为：每 一个变量与期望作差平方后再乘以概率求和. 11．若 是函数 的极值点，则 的极小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题可得 ， 因为 ，所以 ， ，故 ， 令 ，解得 或 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 的极小值为 ，故选 A． 【名师点睛】（1）可导函数 y＝f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f ′(x0)＝0，且 在 x0 左侧与右侧 f ′(x)的符号不同； （2）若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上 单调增或减的函数没有极值． 12．若直线 ： 与曲线 ： 没有公共点，则实数 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：因为直线与曲线没有交点，因而联立方程无解。通过分离参数 k，构造 函数 ，研究函数的单调性与极值。 详解：因为直线 ： 与曲线 ： 没有公共点 则 无解 当 时，上式不成立，所以 所以 令 ，所以 ， 令 ，得 当 时， ， 单调递增 当 时， ， 单调递减 当 时， ， 单调递减 且 ，当 时， 所以 因为方程无解，所以 所以 k 最大值为 1 所以选 D 点睛：本题主要考查了函数与导数的综合应用，通过分离参数法构造新函数，研究新函 数的单调性和极值最值，属于难题。此类题目主要注意当自变量趋近于无穷大时，是否 趋近于某一个具体值。 二、填空题 13． 的展开式中， 的系数为 . 【答案】 【解析】试题分析： 的展开式的通项为 ，令 则 的通项为 ，令 则 ， 的 展开式中， 的系数为 【考点】二项式定理 14 ． 有 个 座 位 连 成 一 排 ， 现 有 人 就 坐 ， 则 恰 有 个 空 位 相 邻 的 不 同 坐 法 是 __________． 【答案】 2 5( )x x y+ + 5 2x y 30 2 5( )x x y+ + ( )52 1 5 rr r rT C x x y − + = + 2r = ( )32x x+ ( )32 6 3 3 kk k k kC x x C x − −= 6 1k− = 5k = 2 5( )x x y∴ + + 5 2x y 2 1 5 3 30C C = 【解析】分析：通过分类讨论两个相邻空位的分布不同情况解决问题：两个空位在两端， 两个空位不在两端。 详解：当相邻两个空位在两端时，必有一个人坐在空位旁边，余下两个人坐三个空位， 则有 当相邻两个空位不在两端时，有三种情况，必有两人坐在空位旁边，余下一人坐两个空 位中的一个，则有 所以共有 + =72 所以不同做法共有 72 种。 点睛：本题考查了排列组合问题的综合应用，对问题分清条理，分类清晰，步骤明确是 解决这类问题的关键，属于中档题。 15． ； ； ； ； … 照此规律，当 时， __________． 【答案】 【解析】分析：通过所给示例，找出通项公式变化规律即可。 详解： … 所以归纳可得 点睛：本题考查了归纳推理的简单应用，属于简单题。 16． 对于 总有 成立，则 __________． 【答案】 【解析】分析：通过对自变量取值范围讨论，再分离参数构造函数，讨论函数的单调性 和极值最值，由恒成立的条件得到 的值。 详解：（1）当 时，不论 取何值， 恒成立 （2）当 时， 所以 令 ，则 所以 在 上单调递增，在 上单调递减 所以 （3）当当 时， 所以 令 ，则 恒成立 所以 综上所述， 所以 点睛：本题考查了导函数在研究恒成立问题中的综合应用，通过单调性判断函数的极值 最值，得到恒成立的解，属于难题。 三、解答题 17．数列 中，已知 ， . （1）计算 的值，并归纳猜想出数列 的通项公式； （2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接按照递推公式求出 .归纳猜想 出数列 的通项公式 .(2)第（2）问，按照数学归纳法的原理证明自己的 猜想. 试题解析： （1） . 故猜想出数列 的通项公式 . （2）用数学归纳法证明如下： （1）当 n=1 时，左边= ，右边= ，所以左边=右边，所以 n=1 时，猜想成立. (2)假设当 n=k 时， ，则 n=k+1 时， = 右边 所以 n=k+1 时猜想成立 综合（1）（2）得 . 18．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存 款（年底余额）如下表： 年份 时间代号 储蓄存款 （千亿 元） { }na 1 1 2a = ( ) ( )1 1 2, *1n na a n n Nn n−= + ≥ ∈+ 2 3 4, ,a a a { }na 1n na n = + 2 3 4, , ,a a a 的值 { }na 1n na n = + 2 3 4 2 3 4, , ,3 4 5 1n na a a a n = = = = +所以猜想 { }na 1n na n = + 1 1 2a = 1 2 1k ka k = + ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2k k k k k ka a k k k k k k k k+ + + += = + = + = =+ + + + + + + +左边 1n na n = + （1）求 关于 的回归方程 . （2）用所求回归方程预测该地区 年（ ）的人民币储蓄存款. 附：回归方程 中 . 【答案】（1） （2）10.8 【解析】分析：（1）先求出， ， ，根据回归直线方程的求法求出 b 的值，再 代入， ， 求出 的值即可。 （2）由回归直线方程，代入 t 的值预测。 详 解 ： （ 1 ） 由 题 意 ， ， ， ， ， ∴ ， ，∴ 关于 的回归方程 . （2） 时， （千亿元）. 点睛：本题考查了回归直线方程的求法及简单应用，对计算能力要求较高，细心耐心计 算，属于简单题。 19．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 ， 只与道路畅通状况有关，对其 容量为 的样本进行统计，结果如图： （分钟） 25 30 35 40 频数（次） 20 30 40 10 （1）求 的分布列与数学期望 ； Τ Τ 100 Τ Τ ΕΤ （2）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老 校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率． 【答案】（Ⅰ）分布列见解析， ；（Ⅱ） ． 【解析】试题分析：（1）先算出 的频率分布，进而可得 的分布列，再利用数学期 望公式可得数学期望 ；（2）先设事件 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共 用时间不超过 分钟”，再算出 的概率． 试题解析：（1）由统计结果可得 T 的频率分步为 （分钟） 25 30 35 40 频率 0．2 0．3 0．4 0．1 以频率估计概率得 T 的分布列为 25 30 35 40 0．2 0．3 0．4 0．1 从而 （分钟）． （2）设 分别表示往、返所需时间， 的取值相互独立，且与 T 的分布列相 同．设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟”，由于讲座时间为 50 分钟，所以 事件 A 对应于“刘教授在途中的时间不超过 70 分钟”． 解法一： ． 解 法 二 ： 32 0.91 T T ET A A Τ Τ Ρ 25 0.2 30 0.3 35 0.4 40 0.1 32ET = × + × + × + × = 1 2,T T 1 2,T T ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 270 25, 45 30, 40P A P T T P T T P T T= + ≤ = = ≤ + = ≤ ( ) ( )1 2 1 235, 35 40, 30P T T P T T+ = ≤ + = ≤ 1 0.2 1 0.3 0.9 0.4 0.5 0.1 0.91= × + × + × + × = ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2( 70) 35, 40 40, 35P A P T T P T T P T T= + > = = = + = = ( )1 240, 40P T T+ = = 0.4 0.1 0.1 0.4 0.1 0.1 0.09= × + × + × = 故 ． 【考点】1．离散型随机变量的分布列与数学期望；2．独立事件的概率． 20．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 道备选题中一次性随机抽取 道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中 道题的便可通过.已知 道备选 题中应聘者甲有 道题能正确完成, 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 ,且每题正确完成与否互不影响. （1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； （2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 【答案】（1)详见解析；（2)甲获得面试通过的可能性大 【解析】试题分析：（1)设甲正确完成面试的题数为 , 则 的取值分别为 ，根 据古典概型概率公式可得 ，从而可得其分布列及期望值； 设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 ，乙正确完成面试题数属二项 分布，根据二项分布概率公式得 ，从而可 得其分布列及期望值。（2）先比较期望值，期望值大说明通过的可能性大。若期望值相 等，则应根据期望值计算其各自的方差，方差小说明相对稳定，故方差小的通过的可能 性大。 解:（1）设甲正确完成面试的题数为 , 则 的取值分别为 . 1 分 ； ； ； 3 分 考生甲正确完成题数 的分布列为 6 3 2 6 4 2 ( ) ( )1 0.91P A P A= − = 2 3 ξ ξ 1,2,3 ( ) ( )3 4 2 3 6 , 1,2,3 i iC CP i iC ζ − = = = η η 0,1,2,3 ( ) ( )3 3 2 21 , 0,1,2,33 3 i i iP i C iη −   = = − =       ξ ξ 1,2,3 1 2 4 2 3 6 1( 1) 5 C CP C ξ = = = 2 1 4 2 3 6 3( 2) 5 C CP C ξ = = = 3 0 4 2 3 6 1( 3) 5 C CP C ξ = = = ξ . 4 分 设乙正确完成面试的题数为 ，则 取值分别为 . 5 分 ； , , . 7 分 考生乙正确完成题数 的分布列为: . 8 分 （2）因为 , 10 分 . 12 分 （或 ）. 所以 . (或：因为 , , 所以 . ) 综上所述， 从做对题数的数学期望考查,两人水平相当； 从做对题数的方差考查,甲较稳定； 从至少完成 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. 13 分 【考点】1 古典概型概率；2 二项分布；3 期望和方差。 21．（题文）设函数 . （1）求 的单调区间和极值； （2）证明：若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点. 1 3 11 2 3 25 5 5Eξ = × + × + × = η η 0,1,2,3 ( 0)P η = = 0 3 3 1 1( )3 27C = 1 1 2 3 2 1 6( 1) ( ) ( )3 3 27P Cη = = = 2 2 3 2 1 12( 2) ( ) ( )3 3 27P Cη = = = 3 3 3 2 8( 3) ( )3 27P Cη = = = η 1 6 12 80 1 2 3 227 27 27 27Eη = × + × + × + × = 2 2 21 3 1 2(1 2) (2 2) (3 2)5 5 5 5Dξ = − × + − × + − × = 2 2 2 21 6 12 8 2(0 2) (1 2) (2 2) (3 2)27 27 27 27 3Dη = − × + − × + − × + − × = 2 3D npqη = = D Dξ η< 3 1( 2) 0.85 5P ξ ≥ = + = 12 8( 2) 0.7427 27P η ≥ = + ≈ ( 2) ( 2)P Pξ η≥ > ≥ 2 【答案】（1）递减区间是 ，递增区间是 ，极小值 ；（2）证 明见解析. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数 求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、计算能力.（Ⅰ）先对 求导，令 解出 ，将函数的定义域断开，列表， 分析函数的单调性，所以由表格知当 时，函数取得极小值，同时也是最小值； （Ⅱ）利用第一问的表，知 为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值 ，从而解出 ，下面再分情况分析函数有几个零点. 试题解析：（Ⅰ）由 ，（ ）得 . 由 解得 . 与 在区间 上的情况如下： 所以， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； 在 处取得极小值 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 在区间 上的最小值为 . 因为 存在零点，所以 ，从而 . 当 时， 在区间 上单调递减，且 ， 所以 是 在区间 上的唯一零点. 当 时， 在区间 上单调递减，且 ， ， 所以 在区间 上仅有一个零点. 综上可知，若 存在零点，则 在区间 上仅有一个零点. 【考点】导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点 问题. 22．设函数 ，其中 . （1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由； （2）若 ， 成立，求 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】分析：（1）求得导函数，根据 的取值范围分析讨论导函数的符号，进而判断 极值点情况。 （2）根据（1）中极值点的情况，讨论分析函数的最值，由恒成立条件求出 的取值范 围。 详解：解：（1） ，定义域为 ， ， 设 ， 当 时， ， ，函数 在 为增函数，无极值点. 当 时， ， 若 时 ， ， ，函数 在 为增函数，无极值点. 若 时 ，设 的两个不相等的实数根 ， ，且 ， 且 ，而 ，则 ， 所以当 ， ， ， 单调递增；当 ， ， ， 单调递减；当 ， ， ， 单调递增.因此此时函数 有两个极值 点； 当 时 ，但 ， ，所以当 ， ， ， 单调递增；当 ， ， ， 单调递减.所以函数只有一个极值点. 综上可知当 时 的无极值点；当 时 有一个极值点；当 时， 有两 个极值点. （2）由（1）可知当 时 在 单调递增，而 ，则当 时， ，符合题意； 当 时， ， ， 在 单调递增，而 ，则当 时， ，符合题意； 当 时， ， ，所以函数 在 单调递减，而 ，则当 时， ，不符合题意； 当 时，设 ，当 时 ， 在 单 调 递 增 ， 因 此 当 时 ， ， ， 于 是 ，当 时 ，此时 ，不符合题意. 综上所述， 的取值范围是 . 另解：（1） ，定义域为 ， ， 当 时， ，函数 在 为增函数，无极值点. 设 ， ， ， 当 时，根据二次函数的图象和性质可知 的根的个数就是函数 极值点的个 数. 若 ，即 时， ， ，函数在 为增函数，无极值 点. 若 ，即 或 ， 而当 时 此时方程 在 只有一个实数根，此时函数 只有一个 极值点； 当 时方程 在 都有两个不相等的实数根，此时函数 有两个极值点； 综上可知当 时 的极值点个数为 ；当 时 的极值点个数为 ；当 时， 的极值点个数为 . （2）设函数 ， ，都有 成立. 即 ，当 时， 恒成立； 当 时， ， ； 当 时， ， ；由 均有 成立. 故当 时， ，则只需 ； 当 时， ，则需 ，即 .综上可知对于 ， 都有 成立，只需 即可，故所求 的取值范围是 . 另解：设函数 ， ，要使 ，都有 成立，只需函数 在 上单调递增即可， 于是只需 ， 成立， 当 时 ，令 ， ， 则 ；当 时 ；当 ， ， 令 ， 关 于 单 调 递 增 ， 则 ，则 ，于是 . 又当 时， ， ，所以函数 在 单调递减，而 ， 则当 时， ，不符合题意； 当 时，设 ，当 时 ， 在 单 调 递 增 ， 因 此 当 时 ， ， 于 是 ，当 时 ，此时 ，不符合题意. 综上所述， 的取值范围是 . 点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，根据导函数的符号判断函数的单调性，研 究函数的极值与最值，在高考中是重点，也是难点，对分析解决综合型问题的 negligence 较高。