数学（理）卷·2018届江西省新余市第四中学高三上学期（零班）第十四次周练（2018

数学（理）卷·2018届江西省新余市第四中学高三上学期（零班）第十四次周练（2018

新余四中2018届高三理科零班周练数学试题1、21‎ 第Ⅰ卷(选择题：共50分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,集合(为自然对数的底数),则 ‎( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足为虚数单位）,则( )‎ A.-2-4i B.-2+4i C.4+2i D.4-2i ‎3.若为偶函数，且当时,,则不等式的解集为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取 一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知等差数列的公差，且,,成等比数列,若,为数列的前项和,‎ 则的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知“整数对”按如下规律排成一列：‎ ‎.设第个整数对为,若在从到的所有整数中（含）中任取个数,则这两个数之和的取值个数为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.已知函数（，）,其图像与直线相邻两个交点的距离 为,若对于任意的恒成立,则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.在中,角的对边分别为,若,则面积的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.如图所示,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的正 方形的中心为.,,,为圆上的点,‎ ‎,,分别是以,,,为底 边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以,,,‎ 为折痕折起,,,,使得,,[]‎ ‎,重合,得到四棱锥. 当正方形的边长变化时，‎ 所得四棱锥体积(单位：)的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.抛物线的焦点为,直线与抛物线交于两点,且,则直线与 轴交点的横坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数,存在,使得函数在区间上有两个极值点,则实 数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题：共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知,则 .‎ ‎14.设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共 点,则的最大值的取值范围为 .‎ ‎15.已知锐角三角形中,角所对的边分别为若,则的取值范围是 ．‎ ‎16.设函数,若函数有6个不同的零点,则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知数列中，,其前项和为,且当时,.‎ ‎(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(2)令,记数列的前项和为,求.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,三棱柱的所有棱长均为,底面侧面,‎ 为的中点,.[]‎ ‎(1)证明：平面.‎ ‎(2)若是棱上一点,且满足,求二面角的余弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每 领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下 售出水量x（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收益y（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ 表：‎ ‎(1)若与成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元？‎ ‎(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：[]‎ 特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；‎ 考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二 等奖学金的概率均为,不获得奖学金的概率均为.‎ ‎①在学生甲获得奖学金条件下,求他获得一等奖学金的概率；‎ ‎②已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的,求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望.‎ 附：,.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,为椭圆的离心率,且点 为椭圆短半轴的上顶点,为等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过点作不与坐标轴垂直的直线,设与圆相交于两点,与椭圆相交于两 点,当且时,求的面积的取值范围.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论函数的单调性,并证明当时,；‎ ‎(2)证明：当时，函数有最小值,设 最小值为,‎ 求函数的值域.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 以平面直角坐标系的原点为极点, 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相 同的长度单位, 直线的参数方程为,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)设曲线与直线交于两点, 若点的直角坐标为,求的值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数, ‎ ‎(1)解不等式； ‎ ‎(2)若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值 范围.‎ 新余四中2018届高三理科零班周练数学试题参考答案 一、选择题（125分=60分）：‎ ‎1-5：CAACB； 6-10：ACDCD； 11-12：CB.‎ 二、填空题（45分=20分）：‎ ‎13.； 14.； 15.； 16..‎ 三、解答题（512分10分=70分）：‎ ‎17.(1)当时,,‎ ‎,又由,可推知对一切正整数均有,‎ 则数列是等比数列,.当时,,‎ 又,.‎ ‎(2)当时,,‎ 又,,则.‎ 当时,,‎ 则,‎ 综上,.‎ ‎18.解(1)取的中点，连接，易证为平行四边形，从而.‎ 由底面侧面，底面侧面，，‎ 底面，所以侧面，即侧面，‎ 又侧面，所以，又侧面为菱形，所以，‎ 从而平面，因为平面，所以.‎ ‎(2)由(1)知，，，，‎ 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为侧面是边长为2的菱形，且，‎ 所以，，，‎ ‎，，，‎ 得.设，得，‎ 所以，所以.‎ 而 .‎ 所以，解得.‎ 所以，，.‎ 设平面的法向量，由得，‎ 取.而侧面的一个法向量.‎ 设二面角的大小为.‎ 则 ‎ ‎19.解(1),,‎ ‎,,‎ ‎,当时,,‎ 即某天售出8箱水的预计收益是186元.‎ ‎(2)①设事件A为“学生甲获得奖学金”,事件B为“学生甲获得一等奖学金”,[学,科,]‎ 则,‎ 即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为.‎ ‎②X的取值可能为0,300,500,600,800,1000,‎ ‎,,,‎ ‎,,,‎ ‎[]‎ 即的分布列为 ‎（元）.‎ ‎20.解(1)由是等腰直角三角形，得,从而得到，‎ 故而椭圆经过,代入椭圆方程得,解得,‎ 所求的椭圆方程为.‎ ‎(2)由(1)知,由题意，设直线的方程为,‎ ‎,由得,‎ 则 ‎．‎ ‎∵,∴,解得.‎ 由消得.‎ 设,，,‎ 则.‎ 设,则,其中,∵关于在上为减函数,‎ ‎∴,即的面积的取值范围为.‎ ‎21.解(1),,‎ 故在上递增.当时，由上知,‎ 即,即,得证.‎ ‎(2),.‎ 记,.由(1)知,函数区间内递增,‎ 又,,所以存在唯一正实数,‎ 使得.‎ 于是,当时,,,函数在区间内递减；‎ 当时,,,函数在区间内递增.‎ 所以在内有最小值.‎ 由题设即．又因为,‎ 所以.根据(1)知,在内递增,‎ ‎,所以.令,‎ 则，函数在区间内递增,所以.‎ 即函数的值域为.‎ ‎22.解(1)直线的普通方程为：,‎ ‎,所以．‎ 所以曲线C的直角坐标方程为（或写成）．‎ ‎(2)点在直线上,且在圆C内,把代入,‎ 得,设两个实根为,则，即异号.‎ 所以.‎ ‎23.解(1)可化为,‎ 故或或,‎ 即或或,‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎(2)易知，‎ 所以，又在恒成立，‎ 在恒成立，‎ 在恒成立，‎ 故.‎