安徽省安庆市第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

安徽省安庆市第二中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

2019-2020 学年度安庆二中第二学期期中考试卷 数学 考试范围：必修五；考试时间：120 分钟；总分：150 分 第 I 卷（选择题) （共 12 题，每题 5 分，60 分） 一、单选题 1．已知等比数列 的公比 ，该数列前 3 项的乘积为 1，则 （ ） A．-2 B．2 C．-4 D．4 2．已知 ，下列说法正确的是 （ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 3．设 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递 减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（　） A．二升 B．三升 C．四升 D．五升 5．已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，且 ，则这个三角形的形状是（ ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 6．下列函数中， 的最小值为 4 的是（ ） { }na 1 2q = − 1a = , , ,a b c d R∈ ,a b c d> > ac bd> a b> 2 2ac bc> 0a b< < 1 1 a b < a b> a c b c− > − ΔABC A,B,C a,b,c πa 3,b 3,A 3 = = = B = π 5π 6 6 或 π 6 5π 6 2π 3 ABC∆ A B C a b c 2 cosa b C= sin sin sin b a A C c a B − +=− y A． B． C． D． 7．设变量 满足条件 ，则 的最大值为（ ） A．13 B．14 C． D．119 8．在 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 9．已知 的三个内角 所对的边分别为 ， 的外接圆的面积为 ，且 ，则 的最大边长为（ ） A． B． C． D． 10． 11．已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1=1，Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则 的最小值为（　　　　） A．4 B．3 C． D．2 )34 9.( ，A 4y x x = + 2 2 2( 3) 2 xy x += + 4x xy e e−= + 4sin (0 )siny x xx π= + < < ,x y * 3 2 10 4 11 , x y x y x y + <  +  ∈ N  5 4z x y= + 1185 ABC∆ 60A∠ = ° 1b = 3ABCS∆ = 2 sin 2sin sin a b c A B C + + =+ + 2 39 3 26 3 3 8 3 3 2 3 ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3π 2 2 2cos cos cosA B C− + 1 sin sinA C= + ABC∆ 2 3 3 2 3 { } { } 的范围是（）是递增数列，则实数且满足：数列 aa na nnaaa nnnn    > ≤−−= − 7, 7,3)3( 6      3,4 9.B )3,1.(C )3,2.(D 2 16 3 n n S a + + 2 3 2− 12．已知函数 ，若关于 的不等式 恰有 个 整数解，则实数 的最大值是（ ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题) 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13．如图，从气球 上测得正前方的河流的两岸 ， 的俯角分别为 和 ，如 果这时气球的高是 30 米，则河流的宽度 为______米. 15．在 中，角 的对边分别为 ，且 ， 若 外接圆的半径为 ，则 面积的最大值是______. 16．已知数列 的前 项和 ，若不等式 ，对 恒成立，则整数 的最大值为______． 三、解答题（共 70 分） 17（10 分）．的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知． 求角 C 的大小； 若，的面积为，求的周长． 5 A B C 60° 30° BC .______1,,0.14 32* =++++∈≠∈ nxxxxNnxRx 则且设 ABC , ,A B C , ,a b c 2 cos cos cosb B a C c A= + ABC 2 3 3 ABC { }na n 12 2n n nS a += − 22 3 (5 ) nn n aλ− − < − n N +∀ ∈ λ 18（12 分）．设数列 满足： ，且 （ ）， . （1）求 的通项公式： （2）求数列 的前 项和. 19（12 分）．已如函数 . （1）若不等式 解集为 时，求实数 的值； （2）当 时，解关于 的不等式 . 20（12 分）．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 . (1)求 的值； { }na 1 1a = 1 12 n n na a a+ −= + 2n ≥ 3 4 12a a+ = { }na 2 1 n na a +       n ( ) 2 1 1f x x a xa  = − + +   ( ) 0f x < 1 22x x  < <    a 0a > x ( ) 0f x ≥ ABC∆ A B C a b c 2 2 cosa c b C− = sin 2 A C B + +   (2)若 ，求 的取值范围. 21（12 分）．设函数 . （1）当 时，若对于 ，有 恒成立，求 的取值范围； （2）已知 ，若 对于一切实数 恒成立，并且存在 ，使得 成立，求 的最小值. 22（12 分）．已知数列中，， 求，； 求证：是等比数列，并求的通项公式； 数列满足，数列的前 n 项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值 3b = c a− ( ) 2 4f x ax x b= + + 2b = [ ]1,2x∈ ( ) 0f x ≥ a a b> ( ) 0f x ≥ x 0x R∈ 2 0 04 0ax x b+ + = 2 2a b a b + − 参考答案 1．A 2．D 【解析】 【分析】 根据不等式性质得 D 成立，举例说明 A,B,C 错误. 【详解】 因为 2>1,-1>-2,2(-1)=1(-2),所以 A 错； 因为 2>1 ,2✖02=1✖02,所以 B 错； 因为-2<-1,- >-1 ,所以 C 错； 由不等式性质得若 ，则 ，所以 D 对，选 D. 【点睛】 本题考查不等式性质，考查分析判断能力. 3．B 【解析】 【分析】 根据正弦定理求解即可得到所求结果． 【详解】 由正弦定理得 ， 1 2 a b> a c b c− > − sin sin a b A B = ∴ ． 又 ， ∴ 为锐角， ∴ ． 故选 B． 【点睛】 在已知两边和其中一边的对角解三角形时，需要进行解的个数的讨论，解题时要结合三角形 中的边角关系，即“大边（角）对大角（边）”进行求解，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】 由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量， 即可得到答案． 【详解】 由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则中三节容量为 ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的 关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．A 33sin 12sin 3 2 b AB a × = = = b a< B 6B π= 4 2 32 + = 【解析】 分析：先由正弦定理进行角化边得到 a2+b2-c2=ab 再由余弦定理可得 C 值，结合 即可得出结论. 详解：由正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，得：（a-c）（a+c）=b（a-b）， 整理得：a2-c2=ab-b2，即 a2+b2-c2=ab，由余弦定理得 ，再 由 ，可得 a=b，结合 C=60°，故三角形的形状为等边三角形，选 A. 点睛：考查正余弦定理的运用，对 角化边得到 a2+b2-c2=ab 再由余弦定 理得出 C 值是解题关键，属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】 由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】 选项 错误， 可能为负数，没有最小值； 选项 错误，化简可得 ， 由基本不等式可得取等号的条件为 ，即 ， 显然没有实数满足 ； 选项 错误，由基本不等式可得取等号的条件为 ， 但由三角函数的值域可知 ； 2 cosa b C= 2 2 2 1cos 2 2 3 a b cC Cab π+ −= = ⇒ = 2 cosa b C= sin sin sin b a A C c a B − +=− A x B 2 2 12 2 2 y x x  = + +  +  2 2 12 2 x x + = + 2 1x = − 2 1x = − D sin 2x = sin 1x≤ 选项 正确，由基本不等式可得当 ， 即 时， 取最小值 ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理 解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次 要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否 成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成 立）. 7．B 【解析】 【分析】 先根据变量 满足条件 ，画可行域，将 变形为 ，平移直线 ，使得直线在 y 轴上的截距最大时的整点，即为最优点 再求解. 【详解】 由变量 满足条件 ，画可行域如图所示 A,B 两点， C 2xe = ln 2x = 4x xy e e−= + 4 ≥ ≤ x y， * 3 2 10 4 11 x y x y x y N + <  +  ∈ ，  5 4z x y= + 5 4 4 zy x= − + 5 4y x= − x y， * 3 2 10 4 11 x y x y x y N + <  +  ∈ ，  将 变形为 ，平移直线 ， 在过整点 时，直线在 y 轴上的截距最大， 此时，目标函数取得最大值，最大值为 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题. 8．A 【解析】 【分析】 根据面积公式得到 ，再利用余弦定理得到 ，再利用正弦定理得到答案. 【详解】 利用余弦定理得到： 5 4z x y= + 5 4 4 zy x= − + 5 4y x= − ( )21B ， 14 4c = 13a = 1 3sin 3 42 4ABCS bc A c c∆ = = = ∴ = 2 2 2 2 cos 1 16 4 13 13a b c bc A a= + − = + − = ∴ = 正弦定理： 故 故选 【点睛】 本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 9．B 【解析】 【分析】 化简得到 ，根据正弦定理得到 ，根据余弦定理得到 ，再计算得到答案. 【详解】 的外接圆的面积为 则 ，根据正弦定理： 根据余弦定理： 故 为最长边： 故选 sin sin sin a b c A B C = = 2 13 2 39 sin 2sin sin sin 33 2 a b c a A B C A + + = = =+ + A 2 2 2sin sin sin sin sin 0A B C A C− + + = 2 2 2 0a c b ac+ − + = 120B∠ = ° ABC∆ 2 3 3R Rπ π= ∴ = 2 2 2cos cos cos 1 sin sinA B C A C− + = + 2 2 21 sin 1 sin 1 sin 1 sin sinA B C A C− − + + − = + 2 2 2sin sin sin sin sin 0A B C A C− + + = 2 2 2 0a c b ac+ − + = 2 2 2 12 cos cos 1202a c b ac B ac B B+ − = = − ∴ = − ∴∠ = ° b 2 sin 3b R B= = B 【点睛】 本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 10．D 11．A 【解析】 【分析】 a1，a3，a13 成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得 d．可得 an，Sn．代入 利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值． 【详解】 解：∵a1，a3，a13 成等比数列，a1=1， ∴a32=a1a13， ∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得 d=2． ∴an=1+2（n-1）=2n-1． Sn=n+ ×2=n2． ∴ = = =n+1+ -2≥2 -2=4， 当且仅当 n+1= 时取等号，此时 n=2，且 取到最小值 4， 2 16 3 n n S a + + ( )1 2 n n − 2 16 3 n n S a + + 22 16 2 2 n n + + ( )2( 1) 2 1 9 1 n n n + − + + + 9 1n + ( ) 91 1n n + × + 9 1n + 2 16 3 n n S a + + 故选:A． 【点睛】 本题考查了等差数列的通项公式、前 n 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解 题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值． 12．D 【解析】 函数 的图象，如图所示， 关于 的不等式 ， 当 时， ，由于关于 的不等式 恰有 1 个整数解， 因此其整数解为 ，又 ， 所以 ， ， 则 ，所以实数 的最大值为 ，故选 D. 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象的应用问题，其中解答中涉及 到分类讨论思想、数形结合思想与计算能力，试题属于中档试题，解答中正确作出函数 ( )f x x ( )2[ ( )] 0f x af x+ < 0a > ( ) 0a f x− < < x ( )2[ ( )] 0f x af x+ < 3 ( )3 9 6 3f = − + = − 3 0a− < − < ( )4 8a f− ≥ = − 8 3a≥ > a 8 的图象，转化为二次函数的应用是解答的关键. 13． 【解析】 【分析】 由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案． 【详解】 解：由题意可知 ， ， ， ， ． 故答案为 . 【点睛】 本题给出实际应用问题，着重考查了三角函数的定义，属于简单题． 14 15． 【解析】 【分析】 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围 可求 的值，利 用正弦定理可求 的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求 的最大值，进而根据三角 形的面积公式即可求解. 【详解】 ( )f x 20 3 30C∠ = ° 30BAC∠ = ° 30DAB∠ = ° 30AD m= 30 20 3cos30BC AB∴ = = =° 20 3    ≠− − =+ + 1,1 1 1,1 1 xx x xn n 3 (0, )B π∈ B b ac 解： ， 由正弦定理可得： ， ， ， 又 ， ， ，即 ，可得： ， 外接圆的半径为 ， ，解得 ，由余弦定理 ，可得 ，又 ， （当且仅当 时取等号），即 最大值为 4， 面积的最大值为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面 积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题． 16．4 【解析】 【分析】 【详解】 2 cos cos cosb B a C c A= + ∴ 2sin cos sin cos sin cos sin( )B B A C C A A C= + = + A B C π+ + = (sin s) inA C B∴ + = (0, )B π∈ sin 0B∴ ≠ 2cos 1B∴ = 1cos 2B = 3B π= ABC 2 3 3 2 32 3sin 2 b π∴ = × 2b = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 4a c ac+ − = 2 2 2a c ac+  2 24 2a c ac ac ac ac∴ = + − − = a c= ac ABC∴ 1 4sin 32 B× = 3 当 时， ，得 ， 当 时， ， 又 ， 两式相减得 ，得 ， 所以 ． 又 ，所以数列 是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， ，即 ． 因为 ，所以不等式 ，等价于 ． 记 ， 时， ． 所以 时， ． 所以 ，所以整数 的最大值为 4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式． 17． 解：已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：， ，， 1n = 2 1 12 2S a= − 1 4a = 2n ≥ 1 2 2n n nS a− = − 12 2n n nS a += − 12 2 2n n n na a a −= − − 12 2n n na a −= + 1 1 12 2 n n n n a a − −− = 1 1 22 a = 2 n n a    12 n n a n= + ( 1) 2n na n= + ⋅ 0na > 22 3 (5 ) nn n aλ− − < − 2 35 2n nλ −− > 1 2 2 3 1 1, ,2 2 4n n nb b b −= = − = 2n ≥ 11 2 1 2 12 2 3 4 6 2 nn n n n b n nb n ++ − −= =− − 3n ≥ 1 max 3 31,( ) 8 n n n b b bb + < = = 3 3 375 , 58 8 8 λ λ− > < − = λ 75)2(;3)1( += π c ， 又， ； 由余弦定理得， ， ， ， ， ， 的周长为． 18．（1） （ ）（2） 【解析】 【分析】 (1)先根据等差中项判别法判断出数列 是等差数列,然后根据已知条件列式求出公差 , 即可得到数列 的通项公式; (2)由(1)求出数列 的通项公式,然后运用裂项相消法求出前 项和 . 【详解】 (1)由 ( )可知数列 是等差数列,设公差为 , 因为 ,所以 ,解得 , 所以 的通项公式为: ( ); (2)由(1)知 , 2 1na n= − *n N∈ 1 1 3 (2 1)(2 3) n n n +− + + { }na d { }na 2 1{ } n na a + n nS 1 12 n n na a a+ −= + 2n ≥ { }na d 1 1a = 3 4 1 12 3 12a a a d a d+ = + + + = 2d = { }na 2 1na n= − *n N∈ 2 1 1 1 1 1 (2 1)(2 3) 4 2 1 2 3n na a n n n n+  = = − − + − +  所以数列 的前 项和: . 【点睛】 本题主要考查等差数列的性质应用,考查裂项相消法求数列的前 项和,难度不大. 19．19．(1) 或 (2)答案见解析 【解析】 【分析】 （1）易得 和 2 是方程 的根。 （2） 可知两根为 或者 ，再分别讨 论 和 的大小即可. 【详解】 2 1 n na a +       n 1 1 1 1 1 1 1 114 5 3 7 5 9 2 1 2 3nS n n         = − + − + − +⋅⋅⋅+ −        − +         1 1 1 114 3 2 1 2 3n n  = + − − + +  1 1 3 (2 1)(2 3) n n n += − + + n 2a = 1 2 1 2 ( ) 0f x = ( ) ( )2 1 11f x x a x x a xa a    = − + + = − −       x a= 1x a = a 1 a ( ) ( ) 1f x x a x a  = − −   （1） 的解集为 或 或 （2）当 ，即 时， 恒成立. 当 ，即 时， 或 当 ，即 时， 或 综上： 时，不等式 的解集为 ； 时，不等式 的解集为 或 ； 时，不等式 的解集为 或 【点睛】 此题考查二次函数含参解不等式题型，涉及到分类讨论，讨论时注意不重不漏，属于较难题 目。 20．(1) ；(2) 【解析】 ( ) ( ) 1 0f x x a x a  = − − <   1 22x x  < <    2 1 1 2 a a =∴ = 1 2 1 2 a a  =  = 2a∴ = 1 2 1a a = 1a = ( ) ( )21 0f x x= − ≥ x R∴ ∈ 1a a > 1a > x a≥ 1x a ≤ 1a a < 0 1a< < 1x a ≥ x a≤ 1a = ( ) 0f x ≥ R 1a > ( ) 0f x ≥ {x x a≥ 1x a ≤  0 1a< < ( ) 0f x ≥ {x x a≤ 1x a ≥  3 2 ( )3, 3− 【分析】 （1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得 ，进而求得 和 ，代入求得结果； （2）利用正弦定理可将 表示为 ，利用两角和差正弦公式、辅助角公 式将其整理为 ，根据正弦型函数值域的求解方法，结合 的范围可求得结果. 【详解】 （1）由正弦定理可得： 即 （2）由（1）知： ， cos B B A C+ c a− 2sin 2sinC A− 2sin 3C π −   C 2sin sin 2sin cosA C B C− = A B C π+ + = ( )sin sinA B C∴ = + ( )2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cosB C C B C B C C B C∴ + − = + − = 2cos sin sinB C C= ( )0,C π∈ sin 0C∴ ≠ 1cos 2B∴ = ( )0,B π∈ 3B π∴ = 2 3A C π∴ + = 2 3sin sin2 3 2 A C B π+ ∴ + = =   3sin sin 3 2B π= = 3 2sin sin sin 3 2 a c b A C B ∴ = = = = 2sinc C∴ = 2sina A= ( )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sinc a C A C B C C B C B C∴ − = − = − + = − − 2sin 3 cos sin sin 3 cos 2sin 3C C C C C C π = − − = − = −   ，即 的取值范围为 【点睛】 本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅 助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够 利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求 得结果. 21．(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）据题意知，把不等式的恒成立转化为 恒成立，设 ，则 ，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解. （2）由题意，根据二次函数的性质，求得 ，进而利用基本不等式，即可求解. 【详解】 （1）据题意知，对于 ，有 恒成立， 即 恒成立，因此 ， 设 ，所以 ， 2 3A C π+ = 20 3C π∴ < < ,3 3 3C π π π ∴ − ∈ −   ( )2sin 3, 33C π ∴ − ∈ −   c a− ( )3, 3− 5a 2 ≥ − 4 2 2 2 4a x x ≥ − − 1t x = ( ) 22 4g t t t= − − 4ab = [ ]x 1,2∈ 2ax 4x 2 0+ + ≥ 2 2 4x 2 2 4a x x x − −≥ = − − 2 max 2 4a x x  ≥ − −   1 1t , t ,1x 2  = ∈  则 ( ) ( )22g t 2t 4t 2 t 1 2= − − = − + + 函数 在区间 上是单调递减的， ， （2）由 对于一切实数 恒成立，可得 ， 由存在 ，使得 成立可得 ， ， ，当且仅当 时 等号成立， 【点睛】 本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分 离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 22、．(2 分） 由得， 即， 又， 是以为首项，3 为公比的等比数列． ， 即．（6 分） ， ，  ( )g t 1 ,12      ∴ ( )max 1 5g t g 2 2  = = −   5a 2 ∴ ≥ − ( )f x 0≥ x a 0, Δ 0> ≤且 0x R∈ 2 0 0ax 4x b 0+ + = Δ 0≥ 16-4ab 0, 4ab∴∆ = = ∴ = ( ) ( ) ( )22 22 2 2 a b 8a b 2ab a b 8a b 4 2a b a b a b a b − ×− + − ++ = = ≥ =− − − − a b 2 2− = 24 22 ≥− +∴ ba ba ， 两式相减得， ，（9 分） 对一切恒成立， 若 n 为偶数，则， ， 若 n 为奇数，则， ， ， 即的取值范围为．（12 分）