江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学（理）试题

江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学（理）试题

‎2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考试卷 ‎（满分：150分 考试时间：120分钟）‎ ‎ 审题人：临川一中高三数学备课组 一、 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）‎ 1. 已知为虚数单位,若复数,在复平面内对应的点分别为,,则复数（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设为等差数列的前项和,若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知定义在上的偶函数满足,且在区间上是减函数,令,‎ ‎,则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5．若点上,则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )‎ A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌 B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高 C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增 D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降 ‎7．已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知实数满足约束条件,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图象大致为（ ）‎ ‎10．2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为（ ）‎ A．72 B．84 C．96 D．120 ‎ ‎11．已知,是椭圆的左、右焦点,过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列,且,则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知是函数的极大值点,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎13．设向量与的夹角为,定义与的“向量积”：是一个向量,它的模.若,则____________.‎ ‎14. 若,则的展开式中的系数为___________.‎ ‎15．在棱长为4的正方体中,为线段的中点,若三棱锥的四个顶点都在球的球面上,则球的表面积为 .‎ ‎16．已知,为双曲线的左、右顶点,双曲线 的渐近线上存在一点满足,则的最大值为________．‎ 三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）如图,在平面四边形中,,,且.‎ ‎（1）若,求的值；‎ ‎（2）求四边形面积的最大值.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图,在四棱锥中,是正三角形,,,.‎ ‎（1）若,求证：平面；‎ ‎（2）若,求二面角的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,‎ 治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用（百万元）和销量（万盒）的统计数据如下：‎ 研发费用（百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ 销量（万盒）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3.5‎ ‎3.5‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎（1）根据数据用最小二乘法求出与的线性回归方程（系数用分数表示，不能用小数）；‎ ‎（2）该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,．两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的分布列与数学期望．‎ 附：（1）（2）．‎ 20． ‎（本小题满分12分）给定椭圆,称圆心在原点,半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为,其短轴上的一个端点到的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；‎ ‎（2）点是椭圆的“准圆”上的动点,过点作椭圆的切线交“准圆”于点.‎ ‎①当点为“准圆”与轴正半轴的交点时,求直线的方程并证明；‎ ‎②求证：线段的长为定值.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若在上存在单调递增区间,求实数的取值范围；‎ ‎（2）设,若,恒有成立,求的最小值.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线与和分别交于点,求．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为M,且,求证：.‎ ‎2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案 一、单选题 ‎1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．【答案】（1）（2）‎ 法一：解：（1）在中，由正弦定理得，∴‎ ‎∵，∴或 ………………3分 当时，此时三点共线，矛盾 ∴ ………………4分 ‎∴.………………6分 法二：由余弦定理………………3分 若时，此时，即三点共线，矛盾………………4分 ‎∴，此时∴…6分 ‎（2）设，在中，由余弦定理得 ‎……8分 ‎∴‎ ‎.……………………11分 当时，四边形面积的最大值. ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出，扣1分 ‎（2）若第1问用余弦定理没写出，并且排除，扣1分 ‎18.【答案】（1）见详细答案（2）‎ ‎（1）如图，作，交于，连接.‎ 因为，所以是的三等分点，可得.‎ 因为，，，所以，‎ 因为，所以，…………………1分 ‎ 因为，所以，所以，（2分） ‎ 因为，所以，所以，……3分 ‎ 因为平面，平面，所以平面.……4分 又，平面，平面，所以平面.……………5分 因为，、平面，所以平面平面，所以平面 ‎.…6分 ‎（2）因为是等边三角形，，所以.‎ 又因为，，所以，所以.‎ 又，平面，，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.在平面内作平面.………7分 以B点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，‎ 所以，，，.………8分 设为平面的法向量，则，即，‎ 令，可得.………………9分 设为平面的法向量，则，即，‎ 令，可得.………………10分 所以………………11分 则，所以二面角的正弦值为.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.‎ ‎19．【答案】（1）（2）分布列见详解，数学期望为.‎ 解：解：（1）由题意可知，‎ ‎，………………2分 由公式………………3分 ‎ ………………4分 ‎∴……………5分 ‎（2）药品的三类剂型经过两次检测后合格分别为事件,则 ‎……………7分 由题意， ‎ ‎………10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………12分 ‎20.【答案】(1) 椭圆方程为，准圆方程为；‎ ‎ ①方程为 ②见详解 ‎【解析】（1），………………2分 椭圆方程为， ………………3分 准圆方程为．………………4分 ‎（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，‎ 设过点且与椭圆相切的直线为，‎ 所以由得.……………5分 因为直线与椭圆相切，‎ 所以，解得，……………6分 所以方程为．……………7分 ‎，．……………8分 ‎（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，‎ 则：，‎ 当：时，与准圆交于点，‎ 此时为（或），显然直线垂直；‎ 同理可证当：时，直线垂直……………9分 ‎②当斜率存在时，设点，其中.‎ 设经过点与椭圆相切的直线为，‎ 所以由 得.……………10分 由化简整理得 因为，所以有.‎ 设的斜率分别为，因为与椭圆相切，‎ 所以满足上述方程，‎ 所以，即垂直．……………11分 综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.‎ 所以线段为准圆的直径，，‎ 所以线段的长为定值6．……………12分 ‎21．【答案】（1）（2）‎ 解：（1）由，得，……………1分 由在上存在单调递增区间，可得在上有解，……………2分 即在上有解，则，∴，‎ ‎∴的取值范围为.……………4分 ‎（2）设，，‎ 则.‎ 设，则， ……………5分 ‎∴单调递增，即在上单调递增 ∴.……………6分 当时，，在上单调递增，∴，不符合题意；‎ 当时，，在上单调递减，，符合题意；‎ 当时，由于为一个单调递增的函数，‎ 而，，‎ 由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，‎ 从而在上单调递减，在上单调递增， ……………9分 因此只需，∴，∴，从而，‎ 综上，的取值范围为，……………10分 因此. 设，则，‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，……………11分 从而，∴的最小值为.……………12分 备注：第1问写扣1分 ‎22.（1）,（2）‎ ‎【解析】（1）由可得，‎ 由，消去参数，可得直线的普通方程为．………………2分 由可得，将，代入上式，可得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．…………………………5分 ‎（2）由（1）得，的普通方程为，‎ 将其化为极坐标方程可得，…………………………7分 当时，，，所以．………………10分 备注：第1问没写扣1分 ‎23.（1） （2）见详解 ‎【解析】（1）当时，等价于，该不等式恒成立；‎ 当时，等价于，该不等式不成立；‎ 当时，等价于，解得，…………………………3分 所以不等式的解集为.…………………………5分 ‎（2）因为，当时取等号，所以,，……7分 由柯西不等式可得,‎ 当且仅当时等号成立，所以.…………………………10分 备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分