2017-2018学年广西河池市高级中学高二下学期第二次月考数学理试题（解析版）

2017-2018学年广西河池市高级中学高二下学期第二次月考数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年广西河池市高级中学高二下学期第二次月考数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分）‎ ‎1. 设为虚数单位，则复数（ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】复数 故选：C ‎2. “”是“”成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当“x＞0”时，成立，‎ 故“x＞0”是“”的充分条件，‎ 当“”时，x≠0，此时“x＞0”不一定成立 故“x＞0”是“”的不必要条件 综上“x＞0”是“”的充分不必要条件 故选：A．‎ ‎3. 证明，当时，中间式子等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：时中间式子的最后一项为，中间式子为 考点：数学归纳法 ‎4. 定积分的值是（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵为奇函数 ‎∴‎ 故选：C ‎5. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛线线y2=4x的焦点（，0）‎ ‎∴c2=a2+b2=10，e==．‎ ‎∴a=3，b=1，‎ ‎∴该双曲线的方程为．‎ 故选：B．‎ ‎6. 若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】若命题“，使得”为假命题，‎ 则命题“，使得”为真命题，‎ 所以，解得.‎ 故选A.‎ ‎7. 如图所示，正四棱锥的底面积为3，体积为，为侧棱的中点，则与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接AC，BD交于点O，连接OE，PO，‎ ‎∵正四棱锥P−ABCD的底面ABCD是正方形，‎ ‎∴O是AC中点，又E是PC中点，‎ ‎∴OE∥PA，∴PA与BE所成的角为∠BEO.‎ ‎∵正四棱锥P−ABD的底面积为3,体积为，‎ ‎∴AB=BC=,PO=,AC=,PA=,OB=，‎ ‎∵OE与PA在同一平面，OE是三角形PAC的中位线，‎ 则∠OEB即为PA与BE所成的角，‎ ‎∴OE=，∵PO⊥BD，AC⊥BD，PO∩AC=O，‎ ‎∴BD⊥平面APC，∴BO⊥EO，‎ 在Rt△OEB中,tan∠OEB==，‎ ‎∴∠OEB=.‎ 故选项为：C ‎8. 设在区间上为单调函数，则实数的取值范围（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,若在上为单调函数且单调递增,则时,恒成立,即,而,所以,所以,若在上为单调函数且单调递减,则时, 恒成立,即,而时,记，所以,所以，所以的取值范围是，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法② 求解的．‎ ‎9. 已知函数,则（ ）‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ ‎，‎ 归纳猜想：‎ 故选：B ‎10. 设，函数的导函数是，且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对f（x）=ex+a•e﹣x求导得 f′（x）=ex﹣ae﹣x 又f′（x）是奇函数，故 f′（0）=1﹣a=0‎ 解得a=1，‎ 故有f′（x）=ex﹣e﹣x，‎ 设切点为（x0，y0），‎ 则，‎ 得或（舍去），‎ 得x0=ln2．‎ 故选：A 点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎11. 设函数 (,,).若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为图象的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】若为函数的一个极值点，则易得．因选项A，B的函数为，则，为函数的一个极值点，满足条件；选项C中，对称轴，且开口向下，，，，也满足条件；选项D中，对称轴，且开口向上，，，，与图矛盾，故选D．‎ 点晴：本题考查的是利用导数研究函数的极值以及函数图象的综合应用问题.解决本题的关键是为函数的一个极值点，则易得，选项A，B的函数为则，为函数的一个极值点，对D要充分利用二次函数的图象和性质.‎ ‎12. 已知抛物线和的公切线 (是与抛物线的切点，未必是与双曲线的切点)，与抛物线的准线交于,为抛物线的焦点,若，则抛物线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF ‎∵|PQ|=|PF|，在Rt△PQE中，sin，∴，‎ 即直线PQ的斜率为，故设PQ的方程为：y=x+m （m＜0）‎ 由消去y得．‎ 则△1=8m2﹣24=0，解得m=﹣，即PQ：y=‎ 由得，△2=8p2﹣8p=0，得p=．‎ 则抛物线的方程是x2=2y．故选：B 点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 在平面中，，，，若，且为平面的法向量，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，，‎ 与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，‎ 向量=（﹣1，y，z），且为平面ABC的法向量，‎ 则⊥且⊥，即•=0，且•=0，即 ‎﹣1+y+0=0且1﹣y﹣2z=0，‎ 即，‎ ‎∴=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎14. 已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方形边长为1，则AB=2c=1，‎ ‎∴c=．‎ ‎∵|AC|+|BC|=1+=2a，‎ ‎∴a=．‎ ‎∴e===﹣1．‎ 故答案为：﹣1‎ ‎15. 若函数有三个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数f（x）=有三个零点，‎ 即函数y=与y=a的图象有3个交点；‎ 当x＞0时，y=xlnx，y′=lnx+1，‎ 故当lnx+1=0，即x=时，y=xlnx有极小值﹣；‎ 当x≤0时，y=﹣x2﹣2x在x=﹣1时有极大值1；‎ 作函数y=的图象如右图，‎ 由图象可知，‎ 当﹣＜a＜1时，函数y=与y=a的图象有3个交点；‎ 故答案为：（﹣，1）．‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎16. 已知，，且.现给出如下结论： ①；②；③；④.其中正确结论的序号是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）‎ ‎∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．‎ ‎∴a＜1＜b＜3＜c 设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc ‎∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc ‎∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9‎ ‎∴b+c=6﹣a ‎∴bc=9﹣a（6﹣a）＜‎ ‎∴a2﹣4a＜0‎ ‎∴0＜a＜4‎ ‎∴0＜a＜1＜b＜3＜c ‎∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0‎ ‎∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0‎ 故答案为：②③‎ 三、解答题 ‎ ‎17. 复数，，，若是实数， ‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求的模.‎ ‎【答案】(1) (2)1‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为是实数所以虚部为零；（2）利用除法法则化简，进而求助其模.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎.因为是实数，所以，解得或.因为，所以.‎ ‎（2）由（1）知，，，∴.‎ ‎18. 已知函数，.‎ ‎（1）求函数图象经过点的切线的方程.‎ ‎（2）求函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【答案】(1) 切线方程为或(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设切点为，切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，把点代入解出即可；（2）函数的图象与直线，解得或．可得函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积：，利用微积分基本定理即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设切点为，切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，把点代入，得或，所以切线方程为或.‎ ‎（2）由或 所以所求的面积为.‎ 点睛：点睛：用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加 ‎19. 若，，. ‎ ‎（1）用反证法证明：；‎ ‎（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式；并用数学归纳法证明你的结论正确.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）采用反证法证明，先假设相等，代入已知的等式中即可求出的值为常数或，进而得到此数列是或常数列，与已知矛盾，所以假设错误，故不相等；（2）由已知条件分别令，能求出的值，并猜想，然后用数学归纳法进行证明.‎ 试题解析：(1)证明：假设，即， ‎ 解得 或 ‎ 从而或 ， ‎ 这与题设或 相矛盾， ‎ 所以不成立．故成立． ‎ ‎(2)由题意得， ‎ 由此猜想：. ‎ 证明：1.当，，猜想成立 ‎2.假设当时，猜想成立，即成立 当时，‎ 当时，猜想也成立。‎ 由1和2知，对一切正整数n，都有成立。‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）若函数在上单调递增的，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求函数在上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）若函数f（x）在（，+∞）上是增函数，⇔f′（x）≥0在（，+∞）上恒成立．利用二次函数的单调性即可得出；‎ ‎（2）利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）若函数在上是增函数，则在上恒成立，而，即在上恒成立，即.‎ ‎（2）当时，.‎ 令，得.当时，，当时，，故是函数在上唯一的极小值点，故.‎ 又，，故.‎ 点睛：点睛：函数单调性与导函数的符号之间的关系要注意以下结论 ‎（1）若在内，则在上单调递增（减）．‎ ‎（2）在上单调递增（减） （）在上恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0．（不要掉了等号．）‎ ‎（3）若函数在区间内存在单调递增（减）区间，则在上有解．（不要加上等号．）‎ ‎21. 已知在中，点的坐标分别为，，点在轴上方.‎ ‎（1）若点坐标为，求以为焦点且经过点的椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作倾斜角为的直线交（1）中曲线于两点，若点恰在以线段为直径的圆上，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），确定椭圆的几何量，即可求出以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及Q恰在以MN为直径的圆上，即可求实数m的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设椭圆方程为，，，所以椭圆方程为.‎ ‎（2）直线的方程为，令，，联立方程解得，∴若恰在以为直径的圆上，则，‎ 即，，解得.‎ ‎22. 已知.‎ ‎（1）假设，求的极大值与极小值；‎ ‎（2）是否存在实数，使在上单调递增？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ，， ‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）将m=﹣2带入f（x），求f′（x），根据极值的定义去判断极值点，并求出极值．‎ ‎（2）.因为在上单调递增，所以当时，.又因为当时，，所以当时，即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，其定义域为.则，‎ 所以当或时，；当或时，；，所以在上单调递减,在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，所以当或时，取得极小值；当时，取得极大值，‎ 所以，，.‎ ‎（2）.因为在上单调递增，所以当时，.又因为当时，，‎ 所以当时，，所以解得，所以当时，在上单调递增.‎