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文档介绍
专题05 函数的单调性与最值-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍
专题05 函数的单调性与最值 【高频考点解读】 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 【热点题型】 热点题型一 函数单调性的判定与证明 例1、【2017北京，理5】已知函数，则 （A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数 （C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A 【提分秘籍】判断(或证明)函数单调性的主要方法 (1)函数单调性的定义； (2)观察函数的图象； (3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则； (4)利用导数等。 其中(2)(3)一般用于选择、填空题。 【举一反三】 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性。 解析：设－1＜x1＜x2＜1，f(x)＝a＝a， f(x1)－f(x2)＝a－a ＝a，由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上递增。 热点题型二 求函数的单调区间 例2、求下列函数的单调区间。 (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log (－x2－2x＋3)； (3)y＝； (4)y＝3x2－6lnx。 解析：(1)∵f(x)＝ 其图象如图1所示，所以函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]； 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)。 图1 图2 (2)设u＝－x2－2x＋3(u＞0)， 其图象如图2所示。∵0＜＜1， ∴f(x)的单调增区间就是u(x)＝－x2－2x＋3(u＞0)的单调减区间[－1,1)；单调减区间就是u(x)的单调增区间(－3，－1]。 ∴f(x)的增区间为[－1,1)， 减区间为(－3，－1]。 (3)设u＝x2－x，则y＝u。 ∵u在上为减函数，在上为增函数， 又∵y＝u为减函数， ∴y＝在上为增函数， 在上为减函数。 (4)y′＝6x－＝。 ∵定义域为(0，＋∞)， 由y′＞0，得x＞1，∴增区间为(1，＋∞)。 由y′＜0，得0＜x＜1，∴减区间为(0,1)。 【提分秘籍】 求函数单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义。 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间。 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间。 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”。 【举一反三】 求出下列函数的单调区间。 (1)f(x)＝|x2－4x＋3|； (2)f(x)＝log2(x2－1)； (3)f(x)＝； 解析：(1)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数y＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示。 由图可知，f(x)在(－∞，1)和(2,3]上为减函数，在[1,2]和(3，＋∞)上为增函数，故f(x)的增区间为[1,2]，(3，＋∞)，减区间为(－∞，1)，(2,3]。 热点题型三 函数单调性的应用 例3． (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．b＞a＞c (2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增， 且f＝0，则满足f(logx)＞0的x的集合为________。 答案：（1）D （2）{x|0＜x＜或1＜x＜3} 解析：(1)由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x )的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f。当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c。故选D。 (2)由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0。由f(logx)＞0，得logx＞或－＜logx＜0，解得0＜x＜或1＜x＜3.所以满足条件的x的取值集合为{x|0＜x＜或1＜x＜3}。 【提分秘籍】 1．含“f”不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内。 2．比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解。 3．求参数的值或取值范围的思路 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解。 【举一反三】 函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是( ) A．a＝－3 B．a＜3 C．a≤－3 D．a≥－3 解析：y＝＝1＋， 由函数在(－1，＋∞)上单调递增， 有解得a≤－3，故选C。 答案：C 热点题型四 函数的单调性与最值 例4、【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 【答案】A 【变式探究】【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D. 【提分秘籍】 1．运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法。 2．函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； 若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)。 【举一反三】 已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)。 (1)当a＝时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。 解析：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，联想到g(x)＝x＋的单调性，猜想到求f(x)的最值可先证明f(x)的单调性．任取1≤x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝， ∵1≤x1＜x2，∴x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0。 又x1－x2＜0，∴f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝。 (2)在区间[1，＋∞)上， f(x)＝＞0恒成立， 则⇔等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x) 在[1，＋∞)上的最大值。 只需求函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值。 φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上递减， ∴当x＝1时，φ(x)最大值为φ(1)＝－3。 ∴a＞－3，故实数a的取值范围是(－3，＋∞)。 【高考风向标】 1.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D.1 【答案】A 2.【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为奇函数且在单调递减，要使成立，则满足 ，从而由得，即满足成立的的取值范围为，选D. 1.【2016高考天津理数】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得． 2.【2016高考新课标1卷】函数在的图像大致为 （A）（B） （C）（D） 【答案】D 3.【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ） 、①和②均为真命题 、①和②均为假命题 、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】①不成立，可举反例 , , ② 前两式作差，可得 结合第三式，可得, 也有 ∴②正确 故选D. 【2015高考湖北，理6】已知符号函数 是上的增函数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，. 【2015高考安徽，理15】设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号） ①；②；③；④；⑤. 【答案】①③④⑤ 【解析】令，求导得，当时， ，所以 单调递增，且至少存在一个数使，至少存在一个数使，所以必有一个零点，即方程仅有一根，故④⑤正确；当时，若，则，易知，在上单调递增，在上单调递减，所以， ，要使方程仅有一根，则或者 ，解得或，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤. （2014·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 【答案】A 【解析】由基本初等函数的性质得，选项B中的函数在(0，1)上递减，选项C，D中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B，C，D，选A. （2014·福建卷）已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f (x)的值域为[－1，＋∞) 【答案】D （2014·四川卷）设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________． 【答案】1 【解析】由题意可知，f＝f＝f＝－4＋2＝1. （2014·四川卷）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题： ①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”； ②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值； ③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B； ④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①③④ 【解析】若f(x)∈A，则f(x)的值域为R，于是，对任意的b∈R，一定存在a∈D，使得f(a)＝b，故①正确．取函数f(x)＝x(－1＜x＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M＝1，使得f(x)的值域包含于[－M，M]＝[－1，1]，但此时f(x)没有最大值和最小值，故②错误．当f(x)∈A时，由①可知，对任意的b∈R，存在a∈D，使得f(a)＝b，所以，当g(x)∈B时，对于函数f(x)＋g(x)，如果存在一个正数M，使得f(x)＋g(x)的值域包含于[－M，M]，那么对于该区间外的某一个b0∈R，一定存在一个a0∈D，使得f(a0)＝b－g(a0)，即f(a0)＋g(a0)＝b0∉[－M，M]，故③正确．对于f(x)＝aln(x＋2)＋ (x＞－2)，当a＞0或a＜0时，函数f(x)都没有最大值．要使得函数f(x)有最大值，只有a＝0，此时f(x)＝ (x＞－2)．易知f(x)∈，所以存在正数M＝，使得f(x)∈[－M，M]，故④正确． （2014·四川卷）已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围． 【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a. 当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]． 当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增， 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b； 当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减， 因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 当查看更多