专题06+平面向量+解三角形（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校好题精选系列

专题06+平面向量+解三角形（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校好题精选系列

好题 1.【河南省洛阳市 2017 届高三第二次统一考试（3 月）】在 中，角，，的对边分 别为，，，且 ，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【推荐理由】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本 不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等 号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 好题 2.【山东省淄博市 2017 届高三 3 月模拟】设向量 ， ， ，其中为坐标原点， ，若 三点共线，则 的最小值为（ ）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】向量 ， ， ，其中为坐标原点， ，∴ ， ，∵ 三点共线，∴ ， ∴ ，解得 ，∴ ， 当且仅当 ， 取等号，故 的最小值为 8，故选 C. 【推荐理由】本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两 个向量共线，由其可得 ，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利 用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意 “拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 好题 3.【2017 届河北省张家口市高三上学期期末】在 中，角，，所对的边分别为，，，为 的外心，为 边上的中点， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【推荐理由】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用以及平面向量的数量积，具有一定的 难度；为 的外心为 边上的中点， ，可得： ，三 角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线线上，由点乘的 几何意义： ，同理 ，可求，再利用 ，求出，利用 余弦定理可得 的值． 好题 4.【2017 届安徽省池州市东至县高三 12 月联考】已知点是 的中位线 上任意一 点，且 ，实数 满足 ，设 ， ， ， 的面积分 别为 ，记 ， ， ，则 取最大值时， 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【推荐理由】本题的综合性比较强，向量与平面几何的结合，以及基本不等式求最值的综合问 题，解决向量问题经常利用图形转化已知条件和结论，所以在平时学习时需清楚向量的代数表 达和哪些平面几何知识建立联系，这样才能将一些比较抽象的代数问题变得具体. 好题 5.【2017 届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三 2 月联考】如图，三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上，边 上有 10 个不同的点 ，记 ，则 的值为（ ） A. B. 45 C. D. 180 【答案】D 【解析】【解析】因为 与 垂直,设垂足为，所以 在 投影为 ， ，从而 的值为 选 D. 【推荐理由】本题解题关键为运用向量数量积的几何意义：投影. 其有两个要素，一是有个定 向量，二是明确垂足位置. 好题 6.【2017 届江西省上饶市高三第一次模拟】已知正方形 的面积为 2，点在边 上， 则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由面积为 2，可知边长为 ，在正方形中建立坐标系，设 ，所以 ，其中 ， ，当 时取得最小值为，选 B. 【推荐理由】平面几何中有关于向量的运算常用到的几何法和坐标法两种方法，几何法在应用 时主要是借助于向量的平行四边形法则与三角形法则实现向量的转化进而结合平面几何图形的 性质求解，坐标法的应用首先要建立合适的坐标系，确定相关点的坐标，进而将所求的向量转 化为数量问题求解，如本题中的向量的数量积转化为二次函数求最小值问题. 好题 7.【湖北省荆州市 2017 届高三第一次质量检】在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，则 周长的取值范围是( ) A． B． C. D． 【答案】B 【推荐理由】由于 且 为三角形的内角，根据诱导公式可得，所以可得 ，再根据余弦定理和基本不等式可得， ， ，当且仅当 时，取等号，所以 ，然后再根据 ，由此可以求出 周长的取值范围. 好题 8. 【湖北省荆州市 2017 届高三第一次质量检】已知 中， ，则 的最大值是( ) ABC∆ , ,CA B , ,a b c 3 2sin 2 4 2B π + =   2a c+ = ABC∆ ( ]2,3 [ )3,4 ( ]4,5 [ )5,6 3 2sin ,2 4 2B π + =   B 2 3B π= 2 2 2 2 cosb a c ac B= + + ( ) 2 22 3 4 3 4 3 12 a cb a c ac ac + = + − = − ≥ − =   1a c= = 1b ≥ 2a c b+ = > ABC∆ ABC∆ sin 2sin cos 0A B C+ = tan A A． B． C. D． 【答案】A 【推荐理由】由 ，结合正弦定理和余弦定理可得 ．由 于 ，只要求出 的最小值，就可求得 的最大值，由余弦定理结合 基本不等式可得 的最小值，进而可得答案． 好题 9.【2017 届山东省胶州市普通高中高三上学期期末】将两个直角三角形如图拼在一起， 当点在线段 上移动时，若 ，当取最大值时， 的值是__________． 【答案】 【解析】如图所示：设 且 ，由题意知，当取最大值时，点与点重合． 中，由余弦定理求得 又 ， 故答案为： 3 3 2 3 3 3 4 3 3 sin 2sin cos 0A B C+ = 2 2 22 0a b c+ − = 2 2 1tan 1cosA A = − cos A tan A cos A 【推荐理由】本题考查余弦定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，判断当取最大 值时，点与点重合，是解题的突破口，求出和的值，是解题的关键． 好题 10.【2017 届湖南省长沙市高三一模】矩形 中， ， ，矩形内部一点， 且 ，若 ，则 的取值范围是__________． 【答案】 【推荐理由】求 这类型含有两个变量的值的取值范围问题，（1）一般可将问题转化 为线性规划问题，前面的条件可转化为关于 的约束条件，（2）或是利用基本不等式求取值范 围，可将条件转化为和或积的定值求解，（3）或是转化为函数问题， 根据条件转化的等式，通 过消元转化为一个变量的函数问题求解. 好题 11.【河南省安阳市 2017 届高三第二次模拟】在 中，角，，的对边分别为，，，且 ，若 ，则 的最大值为__________． 【答案】6 【解析】由正弦定理可得 ，即令 ，也即 ， 由此可得 ，故由余弦定理可得 ，即 ，又 ，所以 ，故所求 的最大值是，应填答案. 【推荐理由】本题在求解过程中充分借助题设条件，先运用正弦定理将边的关系转化为角的关 系，然后再巧妙运用三角变换公式中的两角和的正弦公式，求得 ，最后再由余弦定理 可得 ，即 ，进而运用基本不等式得到 ，从而 求得 ，即求得 的最大值是使得问题获解. 好题 12.【2017 届河北武邑中学高三调研四】如图，已知 的边 所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 . （1）求 边所在直线的方程； （2）求 外接圆的方程； （3）若动圆 过点 ，且与 的外接圆外切，求动圆 的圆心的轨迹方程. （3）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，所以 ，即 .故点 的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的 双曲线的左支.因为实半轴长 ，半焦距 .所以虚半轴长 .从而动圆 的圆心的轨迹方程为 . 【推荐理由】本题主要考查了两直线垂直的斜率关系的应用，直线方程的点斜式的应用，直角 三角形的外接圆的性质的应用及椭圆定义、椭圆方程求解等知识的综合应用，本题考查的知识 点较多，要求考生具备综合应用知识的能力；在该题中，需注意圆的定义以及双曲线定义中绝 对值的作用，分清是双曲线还是双曲线的一支. ABC∆ AB 3 6 0x y− − = ( )2,0M BM MC=  ( )1,1T − AC 0AT AB⋅ =  AC ABC∆ P ( )2,0N − ABC∆ P P N PN P M 2 2PM PN= + 2 2PM PN− = P M N 2 2 2a = 2c = 2 2 2b c a= − = P ( )2 2 1 22 2 x y x− = ≤ − 好题 13.【2017 届重庆市高三学业质量调研抽测（第一次）】已知 的三个内角 的对 边分别为 . （Ⅰ）若 ，求证： ； （Ⅱ）若 ，且 的面积 ，求角. 【推荐理由】解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理， 正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕 竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三 统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．