2017-2018学年山东省垦利第一中学等四校高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年山东省垦利第一中学等四校高二上学期期末数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省垦利第一中学等四校高二上学期期末数学文试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】原命题的否定为：“，”，选C.‎ ‎2. 抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线,，,‎ 所以准线方程是.‎ 故选B.‎ ‎3. 设，则“，，”为等比数列是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若“为等比数列”，则，所以“为等比数列”是“”不充分条件，又若“”，因为，所以“为等比数列”，故“为等比数列”是“”必要条件，故选B.‎ ‎4. 若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取，但，故A错；取，但，故B错；，因 ‎，故，从而，故C正确；若，则，故D错，综上，选C.‎ ‎5. 在等差数列中，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，故即，有，故，所以，选D.‎ ‎6. 已知函数，的导函数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选 ‎7. 的内角，，的对边分别为，，，若，则的形状为（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 ‎【答案】B ‎【解析】由题设有，也即是，因为，从而，故也就是，故是直角三角形，选B.‎ ‎8. 曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，且 根据导数的几何意义可知函数在处的切线斜率为 函数在处的切线方程是 即 故选 ‎9. 不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为不等式的解集为，故，所以，故欲求解的不等式为，也就是，解得，故选C.‎ 点睛：在解含参数的一元二次不等式时，注意不等式的解的形式、二次项系数的符号以及不等号方向的对应关系.‎ ‎10. 在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（ ）盏灯.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设从最上层开始灯数依次设为，，则此数列为等比数列，公比为且，故，第四层为，选D．‎ ‎11. 已知，是椭圆：与双曲线的公共焦点，是，在第一象限内的交点，若，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故，，设双曲线，则，所以，而，所以，选B．‎ 点睛：圆锥曲线中与焦点有关的问题，需利用圆锥曲线的定义帮助解题. ‎ ‎12. 若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在区间上是单调函数，‎ 在区间上取值符号相同 解得 故选 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 双曲线的渐近线方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对于双曲线，‎ 其渐近线方程为．‎ ‎14. 若，满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】可行域如图所示：‎ 当动直线过时，有最大值，由得，所以，填12.‎ ‎15. 一轮船向正北方向航行，某时刻在处测得灯塔在正西方向且相距海里，另一灯塔在北偏东方向，继续航行海里至处时，测得灯塔在南偏东方向，则两灯塔之间的距离是__________海里．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设有，，，所以，，而，故，所以，填 ．‎ 点睛：一个三角形共有6个基本量（三个角和三条边），往往知道三个量就可以求出其余的量，注意针对不同的三个量选择正弦定理或余弦定理来处理．‎ ‎16. 抛物线的焦点为，为抛物线上的点，设，若，的面积为，则的值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】，‎ 则 点横坐标为 代入求得，‎ 点睛：本题考查了抛物线内三角形面积问题，结合题目条件计算出，利用抛物线定义，到焦点距离等于到准线距离，可得点的横坐标，代入解得点的纵坐标，然后计算出面积求出结果。‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 的内角，，的对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和正弦定理把化成，从而得到，也就是.（2）利用面积公式和余弦定理可以得到以及，配凑后得到也就是.‎ 解析：（1）由，得，由正弦定理得，∵，，∴，∵角为的内角，∴.‎ ‎（2）∵，的面积为，∴，即，①，∵，由余弦定理得，即，②，将①代入②得，∴.‎ ‎18. 已知：函数的定义域是，：方程表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）若是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）实数的取值范围是；（2）实数的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用为真命题得到在上不等式是恒成立的，分和两类讨论即可.（2）由“”为真命题，所以为假命题且为真命题，从而，故.‎ 解析：‎ ‎（1）∵函数的定义域是，∴对恒成立.‎ 当时，，不合题意；‎ 当时，则，解得，‎ ‎∴是真命题时，实数的取值范围是.‎ ‎（2）由（1）知为真时，∴：或.‎ ‎∵方程表示焦点在轴上的双曲线，∴，解得，∴：.∵“”是真命题，∴，解得，∴是真命题时，实数的取值范围是.‎ ‎19. 已知数列的前项和满足，等差数列中，，.‎ ‎（1）求，的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴由已知条件推出，证明是等比数列，然后求出，从而求得数列的通项公式，设数列的公差为，由，解得，由此求得的通项公式；‎ ‎⑵先求出的表达式，然后用裂项法求得 解析：（1）由数列满足，‎ ‎∴当时，，‎ 两式相减得，‎ ‎∴，∴是等比数列.‎ 当时，，∴，‎ ‎∴数列的通项公式为.‎ ‎∵，，‎ 设公差为，则，‎ ‎∴，，数列的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得 ，‎ ‎∴‎ ‎ ，①‎ ‎ ，②‎ ‎①-②得 ‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在和上是增函数，在上是减函数；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：⑴求出函数的定义域和导数，列表即可求出函数单调性(2)要求函数不等式恒成立转化为求出，由单调性可得最值 解析：（1）函数的定义域为，‎ ‎ ，‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 综上所述：在和上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2）∵函数在上恒成立，‎ ‎∴.‎ 由（1）知在和上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴函数在或处取得最大值，‎ ‎，，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴.‎ 点睛：本题的考点是利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值。在求解含有参量的最值问题时，分离参量，然后利用导数求出函数的最值即可解答恒成立问题，本题较为基础是一道中档题。‎ ‎21. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.‎ ‎（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）‎ ‎（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用给定的公式“利润=销售额-成本”计算利润，因为成本函数是分段函数，故需要分类计算得到利润函数为.（2）当时，，这是二次函数，其最大值为；当时，，最大值为，因此年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.‎ 解析：（1）当时，‎ ‎ ；‎ 当时，‎ ‎ ；‎ ‎∴.‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴当时，；‎ 当时， ，‎ 当且仅当，即时，；‎ ‎∴当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.‎ ‎22. 已知为坐标原点，椭圆：的左焦点是，离心率为，且上任意一点到 的最短距离为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的直线（不过原点）与交于两点、，为线段的中点.‎ ‎（i）证明：直线与的斜率乘积为定值；‎ ‎（ii）求面积的最大值及此时的斜率.‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）见解析；（ii）面积的最大值是，此时的斜率为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题设可以得到关于的方程组为，从而，故，所以椭圆的方程为.（2）设直线为：，，，，联立直线的方程和椭圆的方程并消元后可以得到，利用韦达定理得到，故，从而为定值.利用弦长公式和点到直线的距离可得，令，从而，最后利用基本不等式可以得到面积的最大值为且此时也就是.‎ 解析：（1）由题意得，解得，∴，，∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）（i）设直线为：，，，，由题意得，‎ ‎∴，∴，即，由韦达定理得：，，∴，，∴，∴，∴直线与的斜率乘积为定值.‎ ‎（ii）由（i）可知： ‎ ‎ ，又点到直线的距离，‎ ‎∴的面积 ‎ ，令，则，∴ ，当且仅当时等号成立，此时，且满足，∴面积的最大值是，此时的斜率为.‎ 点睛：圆锥曲线的标准方程只要求出基本量即可，可根据题设条件列出基本量满足的方程组，通过解方程组出这些基本量.直线与圆锥曲线的位置关系通常用韦达定理来考虑，特别地，当动直线与圆锥曲线交于一个定点时，可通过韦达定理求出另一个动点的坐标，它与动直线的斜率有关.圆锥曲线中的最值问题，可以用韦达定理去构建目标的函数表达式，最后利用函数的手段求目标函数的最值（如单调性、导数、基本不等式等）.‎