考点21 线线、线面、面面的位置关系-2018届高考数学（文）30个黄金考点精析精训

考点21 线线、线面、面面的位置关系-2018届高考数学（文）30个黄金考点精析精训

‎2018届高三数学30个黄金考点精析精训 考点21 线线、线面、面面的位置关系 ‎【考点剖析】‎ ‎1.最新考试说明：‎ ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. ‎ ‎2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定. ‎ ‎3.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题. ‎ ‎2.命题方向预测：‎ ‎1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.‎ ‎2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．‎ ‎3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．‎ ‎4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.‎ ‎3.课本结论总结：‎ ‎1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.‎ ‎2.直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角).‎ ‎②范围：.‎ ‎3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.‎ ‎4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.‎ ‎5.公理4‎ 平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ ‎6.定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.‎ ‎7.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅‎ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅‎ a∥b ‎8.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅‎ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α ‎9.直线与平面垂直 ‎(1)判定直线和平面垂直的方法 ‎①定义法.‎ ‎②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.‎ ‎③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.‎ ‎(2)直线和平面垂直的性质 ‎①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.‎ ‎②垂直于同一个平面的两条直线平行.‎ ‎③垂直于同一条直线的两平面平行.‎ ‎10.斜线和平面所成的角 斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.‎ ‎11.平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的判定方法 ‎①定义法.‎ ‎②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.‎ ‎(2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎12.二面角的有关概念 ‎(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.‎ ‎(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.‎ ‎4.名师二级结论：‎ ‎（1）异面直线的判定方法：‎ ‎ 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．‎ ‎ 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．‎ ‎(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．‎ ‎(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．‎ ‎(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．‎ ‎(5)平行问题的转化关系：‎ ‎(6)垂直问题的转化关系 线线垂直线面垂直面面垂直 性质 ‎(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；‎ ‎(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.‎ ‎5.课本经典习题：‎ ‎（1）必修2第37页 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；‎ ‎③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；‎ ‎④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b. ‎ 其中真命题的序号是(　　)．‎ A．①② B．②③ C．①④ D．③④‎ ‎【经典理由】考查线面、线线的平行和垂直关系。‎ （2） 必修2第42页 已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)．‎ A．m∥n，m⊥αn⊥α B．α∥β，mα，nβm∥n C．m⊥α，m⊥nn∥α D．mα，nα，m∥β，n∥βα∥β ‎【经典理由】考查线面、线线、面面的平行和垂直关系。‎ ‎6.考点交汇展示：‎ ‎(1)立体几何与函数交汇 ‎【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△‎ ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ (2) 立体几何与基本不等式交汇 如图， 在三棱锥中，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，当三棱锥的体积最大时，求的长．‎ P A B C ‎【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥的体积最大时，． ‎ ‎（2）方法1：由已知及（1）所证可知，平面，，‎ 所以是三棱锥的高．……………………………7分 因为，，设，……………8分 所以．…………9分 因为 ‎ ………………………………………………………………………………10分 ‎ …………………………………………………………………………11分 ‎．…………………………………………………………………………………………12分 当且仅当，即时等号成立．………………………………………………………13分 所以当三棱锥的体积最大时，．…………………………………………………14分 ‎（3）立体几何与三角函数交汇 ‎【2018届江苏省南宁市高三摸底联考】在如图所示的正方体中，分别棱是的中点，异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【考点分类】‎ 热点1 线线、线面、面面平行与垂直关系的判定 ‎1.【2017课标3，文10】在正方体中，E为棱CD的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若，那么，很显然不成立；B.若，那么，显然不成立；C.若 ‎，那么，成立，反过来时，也能推出,所以C成立，D.若，则，显然不成立，故选C.‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【方法规律】‎ ‎1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.‎ ‎2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. ‎ 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.‎ ‎3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.‎ ‎4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.‎ ‎5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.‎ ‎6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.‎ ‎【解题技巧】‎ ‎1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.‎ ‎2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.‎ ‎3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.‎ ‎4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.‎ ‎5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.‎ ‎6.垂直关系综合题的类型及解法 ‎(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.‎ ‎(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.‎ ‎(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.‎ ‎7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；‎ ‎8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.‎ ‎2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.‎ ‎3.解题中注意符号语言的规范应用.‎ ‎4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.‎ ‎5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.‎ ‎6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.‎ 例.已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出的是 A．，且 B．∥，且 C．，且∥ D．，且∥‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵m∥n, ∴ 故选B.‎ ‎【易错点】没有掌握线面垂直的条件 热点2 空间线线、线面及面面关系中的角度问题 ‎1. 【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎2.【2016高考新课标1文数】平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,‎ ‎,,则m,n所成角的正弦值为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎3.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：‎ ‎①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；‎ ‎②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；‎ ‎③直线AB与a所成角的最小值为45°；‎ ‎④直线AB与a所成角的最小值为60°.‎ 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【方法规律】‎ 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.‎ 判定空间两条直线是异面直线的方法 ‎(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.‎ ‎(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.‎ ‎3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.‎ ‎【解题技巧】‎ 求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.‎ ‎【易错点睛】‎ ‎1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.‎ ‎2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.‎ ‎3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].‎ 例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 (　　)‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎【答案】　D ‎【解析】如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，‎ ‎∵BB1∥AA1，BC∥AD，‎ ‎∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条.‎ ‎【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.‎ ‎【热点预测】‎ ‎1.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.‎ ‎2.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，．故选C．‎ ‎3.已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎4.若 是两条不同的直线，垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．‎ ‎5.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎6.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方体的棱长为，则，所以 ‎，.‎ 又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.‎ ‎7.【2017届广东省惠州市高三一调】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是（ ）‎ ‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎8.【2017届浙江省金华、丽水、衢州市十二校高三8月联考】如图，已知矩形，，为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】如下图所示，过作于，由题意得，平面，∴，，‎ 设，∴，在四边形中，可得，故填：.‎ ‎9.【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）AD⊥AC.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.‎ 又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC. ‎ ‎10.【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 , ‎ ‎（1）证明：直线平面;‎ ‎（2）若△面积为，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎11.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．‎ ‎（1）证明：AC⊥BD；‎ ‎（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）取中点，由等腰三角形及等比三角形性质得，，再根据线面垂直判定定理得平面，即得AC⊥BD；（2）先由AE⊥EC，结合平几知识确定，再根据锥体体积公式得，两者体积比为1:1. ‎ 试题解析：（1）证明：取中点，连 ‎∵，为中点，‎ ‎∴，‎ 又∵是等边三角形，‎ ‎∴，‎ 又∵，∴平面，平面，‎ ‎∴.‎ ‎12.如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ 又因为，平面，平面，，‎ 所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ 因为，所以矩形是正方形，因此．‎ 因为，平面，，所以平面．‎ 又因为平面，所以．‎ ‎13.如图，矩形所在的平面和平面互相垂直，等腰梯形中，∥，=2，，，，分别为，的中点，为底面的重心.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ F A C D E O B M ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结延长交于，则为的中点，又为的中点，‎ ‎∴∥，又∵平面，∴∥平面 -------------------2分 连结，则∥，平面，∥平面 -----------------4分 ‎∴平面∥平面， ----------------5分 平面， ----------------------6分 法二：以为原点建立如图所示空间直角坐标系，‎ ‎ -----------------7分 ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎， -------------------8分 由 所以 ‎ 令，则 ，所以，-----------------10分 ‎∴ ---------------------11分 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为 -------------------12分 ‎14.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA⊥BD；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ ‎ ‎