天津市和平区2020届高三上学期阶段性测试数学试卷
和平区2019~2020学年度第一学期高三年级阶段性试测数学学科试卷
一､选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x||x﹣1|<2},B={﹣1,0,1,2},则A∩B等于( )
A. {0,1,2} B. {﹣1,0,1,2} C. {﹣1,0,2,3} D. {0,1,2,3}
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合，再根据交集概念计算．
【详解】由题意，
∴．
故选：A.
【点睛】本题考查集合的交集运算，确定集合中的元素是解题关键．
2.圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则它的体积是原来体积的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得圆锥原来的体积，再求得变换后圆锥的体积，由此求得新圆锥体积和原来体积的关系，从而得出正确选项.
【详解】设一个圆锥的底面半径为，高为，则其体积；
圆锥的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的2倍，则所得圆锥的底面半径为，高为，
体积为.∴.∴它的体积是原来体积的.
故选C.
【点睛】本小题主要考查圆锥体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.
3.“0”是“x>0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
判断两个命题的真假，即和的真假，可得结论．
【详解】时，一定有，但时或，因此推不出，
所以，是的必要不充分条件．
故选：B.
【点睛】本题考查充分必要条件的判断．解题时判断两个命题和的真假后可得结论．
4.已知a=20.9,b=0.92,c=log20.9,则a,b,c的大小关系为( )
A. c
0.设g(x)是定义在R上的周期函数,且g(x)的周期为2,当x∈(0,2]时,g(x).若在区间(0,6]上,关于x的方程f(x)=g(x)恰有4个不同的实数根,则k的取值范围是( )
A. (,)∪(,) B. [,)∪(,)
C. [,)∪[,) D. [,]∪[,]
【答案】C
【解析】
【分析】
作出函数和的图象，由图象观察两者有四个交点时情形及范围．
【详解】方程f(x)=g(x)有4个解，即函数和图象有4个交点，作出两函数图象，是周期为2的周期函数，的图象是过点的直线，如图，
分别计算直线过时的斜率依次为：，
当过点时，又过点，
∴或．
故选：C.
【点睛】
本题考查方程根的个数，解题关键是转化为函数图象交点个数．由数形结合思想求解直观易懂．
二､填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
10.已知a∈R,且a>0,i为虚数单位,||=2,则a的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数模的性质直接计算模．
【详解】，又，∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查复数模的运算，利用模的性质进行计算更加方便．即，．
11.的展开式中，常数项为___________.
【答案】7
【解析】
【详解】试题分析：，令，则，所以常数项为.
考点：二项式系数的性质
点评：本题是基础题，考查二项式定理系数的性质，通项公式的应用，考查计算能力
12.设△ABC的内角A､B､C所对边的长分别为a､b､c,若3sinA=5sinB,b+c=2a,则cosC的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
用正弦定理把已知角的关系转化为边的关系，这样三角形的三边长可以用其中一边长表示，然后由余弦定理计算．
【详解】∵，∴，由得，
∴．
故答案为：．
13.已知圆C的圆心坐标是(c,0),半径是r.若直线x+2y+3=0与圆C相切于点P(1,﹣2),则c=_____,r=_____.
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
由过切点的半径与切线垂直可求得，然后由两点间距离求得．
【详解】由题意，解得，所以．
故答案为：2；．
【点睛】本题考查圆的切线的性质．掌握切线性质是解题关键．性质：过切点的半径与切线垂直．
14.已知x>0,y>0,则代数式M=(3x+2y)()中的x和y满足_____时,M取得最小值,其最小值为_____.
【答案】 (1). y=3x (2). 27
【解析】
【分析】
利用基本不等式求解，注意条件．
【详解】，当且仅当
即时等号成立．
故答案为：；27.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查取最值时的条件：一正二定三相等．
15.如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,||=2,E为BC边(包含端点)上一点,则||的取值范围是_____,的最小值为_____.
【答案】 (1). (2). .
【解析】
【分析】
时，长度最短，与重合时，长度最长．然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值．
【详解】根据菱形性质可得OC,则BO.
(1)作AF⊥BC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即||∈;
(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:
则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),
所以BC:y设E(m,)
则,其中m
对称轴为m,故当m时最小,最小值为.
故答案为：；．
【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解．这样只要计算即可．
三､解答题:本大题共5小题,每小题15分,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
16.某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;
(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.
【答案】(1).(2)见解析,数学期望为2.
【解析】
【分析】
（1）可以求出五天都可以出操的概率，然后用对立事件概率公式计算；
（2）天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,分别计算概率得分布列，由分布列可计算期望．
【详解】(1)课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.
预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:
前3天均为,后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.
∴未来5天每天都组织课间操的概率为:
P1,
∴未来5天至少一天停止课间操的概率:
P=1﹣P1=1.
(2)未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5,
P(X=0),
P(X=1),
P(X=2),
P(X=3),
P(X=4),
P(X=5),
∴X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
5
P
数学期望E(X)2.
【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查对立事件概率，考查随机变量概率分布列和数学期望．属于中档题，还考查了学生的数据处理能力．
17.如图,四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,平面ABEF⊥平面ABCD.
(1)求证:AE⊥平面ABCD;
(2)求平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2).
【解析】
【分析】
（1）在平行四边形中求得的长，用勾股定理逆定理证明，然后由面面垂直的性质定理得线面垂直；
（2）以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,写出各点坐标，求出平面法向量，由法向量夹角得二面角．
【详解】(1)证明:∵四边形ABEF为平行四边形,AB=1,BE=2,∠EBA=60°,
∴AE,
∴AB2+AE2=BE2,∴AB⊥AE,
∵平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB.
∴AE⊥平面ABCD.
(2)解:∵四边形ABCD为直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC=2,AD=3,
∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(1,0,0),E(0,0,),F(﹣1,0,),C(1,2,0),D(0,3,0),
(1,0,0),(2,2,),
设平面FCD的法向量(x,y,z),
则,取y,得(0,,2),
平面ABEF的法向量(0,1,0),
设平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的平面角为θ,
则cosθ.
∴平面ABEF与平面FCD所成锐二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查面面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角．空间向量法求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）是立体几何中常用方法，关键是建立空间直角坐标系．
18.已知等差数列{an}中,a4+a7=20,且前9项和S9=81.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
【答案】(1)an=2n﹣1.(2).
【解析】
【分析】
（1）用基本量法求出数列的首项和公差，得通项公式；
（2）用错位相减法求和．
【详解】(1)设公差为d的等差数列{an}中,a4+a7=20,且前9项和S9=81.
所以,整理得,解得:d=2,a1=1.
所以an=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
(2)数列bn=an2(2n﹣1)22n﹣1,
所以①,
②,
①﹣②得:﹣3Tn=2•21+2•23+…+2•22n﹣1﹣(2n﹣1)•22n+1﹣2,
整理得,
解得.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查求数列的和．解题方法是基本量法，错位相减法．
19.已知椭圆C:l(a>b>0)经过点(1),且离心率e.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于A､B两点,且满足∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.
【答案】(1);(2)[,2].
【解析】
【分析】
（1）点的坐标代入可得一个关系式，离心率得，结合可求得，得椭圆方程；
（2）当直线l的斜率不存在时, 设直线l为:x=m,代入计算，当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理，由韦达定理得，代入得出的关系，计算，用换元法转化为求二次函数的取值范围得出结论．
【详解】(1)由题意:e,1,a2=b2+c2,解得:a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为:;
(2)当直线l的斜率不存在时,设直线l为:x=m,A(x,y),B(,),代入椭中:y2=4(1),
∠AOB=90°,∴0,∴x+y=m2﹣4(1)=0,∴m2,
∴|AB|=|y﹣|=4;
当直线的斜率存在时,设直线为:y=kx+m,A(x,y),B(,),代入椭圆中整理得:
(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0
x+,x,=k2xx'+km(x+)+m2,
∵∠AOB=90°,∴x+y=0,∴2m2﹣8+m2﹣8k2=0,∴3m2=8+8k2,
|AB|,
令t∈(0,1],所以|AB|,
当t,g(t)=1(t2﹣t)最大为 ,t=1时,g(t)取得最小值1,
综上所述:|AB|的取值范围[,2].
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面：
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
(5)
利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
20.已知函数f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为yx﹣1.
(1)求a､b的值;
(2)当x>1时,f(x)0恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设g(x)=exx,求证:对于x∈(0,+∞),g(x)﹣f(x)>2恒成立.
【答案】(1)a,b=1.(2)k∈.(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）求导数，利用切线方程可得，从而可求得；
（2）x>1时,f(x)0恒成立,转化为恒成立，求的最小值即可；
（3）g(x)﹣f(x)﹣2=exx﹣(x+lnx)﹣2=ex﹣lnx﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
⇔ex﹣x﹣1>lnx﹣x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.这样只要求得的最小值，的最大值，即可证明．
【详解】(1)f′(x)=a.
函数f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为yx﹣1.
∴=a+b,f(1)=a1,
解得a,b=1.
(2)f(x)x+lnx,
当x>1时,f(x)0恒成立,
等价于:k,x∈(1,+∞).
令u(x)x2﹣xlnx,x∈(1,+∞).
则u′(x)=x﹣lnx﹣1,
令v(x)=x﹣lnx﹣1,x∈(1,+∞).
∴v′(x)=10,
∴u′(x)=x﹣lnx﹣1>u′(1)=0,
∴u(x)在x∈(1,+∞)上单调递增.
∴k≤u(1).
∴k∈.
(3)证明:设g(x)=exx,
g(x)﹣f(x)﹣2=exx﹣(x+lnx)﹣2=ex﹣lnx﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
⇔ex﹣x﹣1>lnx﹣x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.
令F(x)=ex﹣x﹣1,x∈(0,+∞).G(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞).
F′(x)=ex﹣1,x∈(0,+∞).
则F′(x)>F′(0)=0,
∴F(x)>F(0)=0.
G′(x),
可得x=1时,函数G(x)取得极大值即最大值,
∴G(x)≤G(1)=0.
∴g(x)﹣f(x)﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性与最值，用导数证明不等式，研究不等式恒成立，解题关键是问题的转化，难度较大．利用导数证明不等式恒成立问题的常用方法：
(1)将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤f(x)max或f(x)≥f(x)min直接证得不等式．
(2)直接将不等式转化成某个函数最值问题．若证明f(x)
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