数学文卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测（2018

数学文卷·2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测（2018

高三教学质量监测 ‎2018.01.24‎ 数学（文科）‎ 注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．‎ ‎1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。‎ ‎2．选择题用2B铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。‎ 参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高.‎ 一组数据的标准差，其中表示这组数据的平均数．‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 集合，，则 A． B． ‎ C． D．以上都不对 ‎2. 设为虚数单位，则复数=‎ A． B． C． D．‎ ‎3. 若是真命题，是假命题，则 A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题 D．是真命题 ‎4．在中，若，则 A． B． C． D．‎ ‎5．下列函数为偶函数的是 A．B． C．D．‎ ‎6. 函数y=sin(2x+)•cos(x﹣)+cos(2x+)•sin(﹣x)的图象的一条对称轴方程是 A．x= B．x= C．x=π D．x=‎ ‎7．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=.‎ A．9B．‎10 ‎C．12 D．13‎ ‎8．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则以下结论正确的是 A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β ‎9．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎10．设满足约束条件 ，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知F1（﹣3，0）、F2（3，0）是椭圆=1的两个焦点，P 是椭圆上的点，当∠F1PF2=时，△F1PF2的面积最大，则有 A．m=12，n=3 B．m=24，n=‎6 ‎C．m=6，n= D．m=12，n=6‎ ‎12．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是 A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1] ‎ C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞）‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第23题为选考题，考生根据要求作答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分‎1,3,5‎ 。‎ ‎13．已知向量．若为实数，，则 λ=．‎ ‎14．若在不是单调函数，则的范围是．‎ ‎15．如图所示，三个直角三角形是一个体积为‎20cm3的 几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积 ‎（单位：cm2）等于 ‎16．已知函数，，则的最小值是．‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等比数列的各项为正数，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求证数列的前项和＜2．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎2017年6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调查，其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下：‎ 地铁站 世界之窗 白石州 高新园 深大 桃园 大新 满意度得分 ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ x 已知6个站的平均得分为75分.‎ ‎（1）求大新站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；‎ ‎（2）从表中前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，，，，BC=6.‎ ‎（1）证明：平面ADC^平面ADB；‎ ‎（2）求B到平面ADC的距离.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，‎ 且，|BC|＝2|AC|．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）在椭圆E上是否存点Q，使得？‎ 若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，‎ 切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值．‎ 21． ‎（本小题满分12分）‎ 设，曲线在点处的切线与直线垂直．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4，坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为=1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求|x+y﹣1|的最大值．‎ ‎23．本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数 ‎（1）当时，解不等式：；‎ ‎（2）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足 ‎，求证：．‎ 高三文科数学参考答案 ‎2018.1.24‎ 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ C A D A D C ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ D C C D A C ‎12解：∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，‎ 且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，‎ ‎∴f（x）在[a， b]上是增函数；∴，‎ 即在（0，+∞）上有两根，‎ 即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点，‎ g′（x）=﹣=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞2，‎ 令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，‎ 故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，‎ 故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，‎ 故t＞1﹣ln2，故选C：．‎ 二、填空题 ‎13.； 14. 15. 77 16. ‎ ‎17. 解：（1）设数列N的公比为q，‎ ‎∵‎9a32=a‎2a6，即‎9a22q2=a2•a2q4，解得q2=9．‎ 又q＞0，则q=3，………….2分 ‎∵a3=‎2a2+9，即‎9a1=‎6a1+9，解得a1=3，…………4分 ‎∴．…………5分 ‎（2）a‎1a2…an=31+2+3+…+n=3，…………6分 ‎∴bn=log‎3a1+log‎3a2+…+log3an=log3（a‎1a2…an）=，…………8分 ‎∴．…………9分 ‎∴<2．…………12分 ‎18. 解：（1）由题意，得，解得. （2分）‎ ‎（5分）‎ ‎（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有 （世界之窗，白石洲），（世界之窗，高新园），（世界之窗，深大），（世界之窗，桃园），（白石洲，高新园），（白石洲，深大），（白石洲，桃园），（高新园，深大），（高新园，桃园），（深大，桃园）共10种， （8分）‎ 这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有白石洲.‎ 设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种， （10分）‎ 则 （12分）‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎（1）证明：因为，‎ 所以. （2分）‎ 又，所以. （3分）‎ 又，且，‎ 所以. （4分）‎ 又，所以.（5分）‎ ‎（2）在中，，得，（6分）‎ 在等腰中，，得. （7分）‎ 由（1）知，所以， （8分）‎ 在中，，，得，（9分）‎ 又，设到面的距离为，‎ 由， （10分）‎ 得， （11分）‎ 解得，即B到平面ADC的距离. （12分）‎ ‎20. 解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，‎ 设椭圆E的方程为----------------------------------------------------------1分 由椭圆的对称性知|OC|＝|OB| 又∵，|BC|＝2|AC|‎ ‎∴AC⊥BC，|OC|＝|AC| ∴△AOC为等腰直角三角形，‎ ‎∴点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(－1，－1)，----------------------------3分 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 ‎ ‎∴所求的椭圆E的方程为----------------------------------------------4分 ‎（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则 即点Q在直线上，---------------------------------------------------------6分 ‎∴点Q即直线与椭圆E的交点，‎ ‎∵直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，‎ ‎∴满足条件的点Q存在，且有两个．--------------------------------------------------8分 ‎【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则 即，--------①------------------------------------------------6分 又∵点Q在椭圆E上，∴，-----------------②‎ 由①式得代入②式并整理得：，-----③‎ ‎∵方程③的根判别式，‎ ‎∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．---------------8分】‎ ‎（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,‎ ‎∴O、M、P、N四点在同一圆上，------------------------------------------9分 且圆的直径为OP,则圆心为，‎ 其方程为，------------------------------10分 即-----④‎ 即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，‎ ‎∴M、N坐标也满足方程---------------⑤‎ ‎⑤-④得直线MN的方程为，------------------------------11分 令得，令得，‎ ‎∴，又点P在椭圆E上，‎ ‎∴，即=定值.-----------------------------------12分 ‎【解法二：设点则----------9分 直线PM的方程为化简得--------------④‎ 同理可得直线PN的方程为---------------⑤------------------10分 把P点的坐标代入④、⑤得 ‎∴直线MN的方程为，------------------------------------------------------11分 令得，令得，‎ ‎∴，又点P在椭圆E上，‎ ‎∴，即=定值．---------------------------------------------12分】‎ ‎21. 解：（1）f′（x）=………..1分 由题设f′（1）=1，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=0．………..3分 ‎（2），∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1），‎ 即4lnx≤m（3x﹣﹣2）………..4分 设g（x）=4lnx﹣m（3x﹣﹣2），即∀x∈[1，|+∞），g（x）≤0，‎ ‎∴g′（x）=﹣m（3+）=，g′（1）=4﹣‎4m ………..6分 ① 若m≤0，g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，‎ 这与题设g（x）≤0矛盾………..7分 ② 若m∈（0，1），当x∈（1，‎ ‎），g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（x）≥g（1）=0，与题设矛盾．………..9分 ① 若m≥1，当x∈（1，+∞），），g′（x）≤0，g（x）单调递减，g（x）≤g（1）=0，即不等式成立 ………..11分 综上所述，m≥1．………..12分 ‎22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，‎ 则其参数方程为，（α为参数）；………..1分 直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，………..3分 将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，‎ 即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；………..5分 ‎（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ），………..6分 ‎|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，………..8分 分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．………..10分 ‎23.解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．..1分 ‎①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；………..2分 ‎②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；………..3分 ② x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………..4分 综上所述，不等式的解集为（﹣]；………..5分 ‎（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，…..7分 ‎∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．………..10分