数学理卷·2017届黑龙江省大庆一中高三下学期第二阶段考试（4月）（2017

数学理卷·2017届黑龙江省大庆一中高三下学期第二阶段考试（4月）（2017

大庆一中高三年级下学期第二阶段考试 数学理试卷 第I卷 （选择题，共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1.若复数是纯虚数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知集合若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象。若是奇函数，则的最小值为（ ）‎ A. 6 B. C. D. 3‎ ‎4.右图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形 判断框内应填入的条件是（ ） ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.等比数列中，，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.下列命题正确的是（ ）‎ A.若命题，则 B.命题“若，则”的逆否命题为真命题 C.已知随机变量～，若，则 D.已知相关变量满足线性回归方程：，若变量增加一个单位，则平均增加3个单位 ‎7.如果实数满足不等式组，且，则目标函数的最大值是（ ）‎ A. 3 B. C. 6 D. 与值有关 ‎8.设一个几何体三视图如图所示，则该几何体体积为（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎9.已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点,是圆心,若四边形面积的最小值为,则的值为( )‎ A. 3 B.2 C． D． ‎10.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.若定义在上的函数满足则不等式(为自然对数的底数)的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知点D为的边上一点，为边上的一列点，且满足,其中实数列中，则的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）‎ ‎13.已知双曲线两条渐近线的夹角为，该双曲线的离心率为 ‎ ‎14.已知.若，则 ‎ ‎15. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．‎ 设：由曲线和直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足的点构成的平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体为. 根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为              ‎ ‎16.已知函数，则不等式 的解集为 ‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数在上的最大值为，把的图象上的所有点向右平移个单位后，得到的函数的图象关于直线对称.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在中，三个内角所对的边分别是，已知在轴右侧的第一个零点为，若，求的面积的最大值.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，，底面是直角梯形，，，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎19.某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如下直方图:‎ ‎（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；  ‎ ‎（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到如上述表格中数据， 根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系; （3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50名的学生人数为X ，求X的分布列和数学期望.‎ 附：‎ ‎20.已知椭圆，过上一点的切线的方程为.‎ ‎（1）求椭圆的方程.‎ ‎（2）设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得 ‎?若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由.‎ ‎21.已知函数，其中.‎ ‎（1）若，和在区间上具有相同的单调性，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数有两个极值点，且，求证：.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)将的方程化为普通方程，将的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)已知直线的参数方程为，与交于点A，与交于点B，且，求的值.‎ ‎23．选修4—5：不等式选讲 已知 ‎(1)已知关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；‎ ‎(2)解不等式 大庆一中高三年级下学期第二阶段考试 数学试卷参考答案 ‎ 一、选择题：‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‎ B A C C B B B D A A A D ‎ 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）由题意知，函数在区间上单调递增，所以，‎ ‎，得，经验证当时满足题意，故求得 ‎，所以；故，‎ 又所以.故.‎ ‎（2）由题意知，得，.‎ 的最大值为.‎ ‎18.（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴，∵，，∴，‎ ‎∴，∴，又，‎ ‎∴平面，∵平面，∴平面平面．‎ （2） 解：设，取中点，以点为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，，取，则，‎ （2） 即为面的一个法向量．设为面的法向量，则，即取，则，，则，‎ 依题意得，取，‎ 于是，，设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19.解：(1)由图可知，第一组有3人，第二组有7人第三组有27人 因为后四组频数成等差数列，所以后四组的频数依次为27,24，,21,18.所以视力在5.0以下的频率为，故全年级视力在5.0以下的人数约为.‎ ‎(2)‎ 因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;‎ ‎(3)依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名的学生分别有3人和6人，可取0、1、2、3 , ,‎ ‎， ．‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望 ．‎ ‎20.解：（1）由消去并整理得 椭圆与直线相切，化简得①，又点在椭圆上，②，由①②得 椭圆的方程为.‎ ‎(2)存在.理由如下：设直线的方程为，联立消去并整理得 ‎..‎ 设. 假设存在点满足条件，‎ 由于,所以平分.易知直线与直线的倾斜角互补，‎ ‎，即（）‎ 代入（）并整理得，，‎ 整理得，时，无论取何值均成立.‎ 存在点使得.‎ ‎21.（1）解：，‎ 在上恒成立，即在上单调递减.‎ 当时，，即在上单调递增，不合题意；‎ 当时，由，得，由，得.‎ ‎∴的单调减区间为，单调增区间为.‎ 和在区间上具有相同的单调性，‎ ‎∴，解得， 综上，的取值范围是.‎ ‎（2）证明：，∴.‎ ‎∴，，∴，且，‎ ‎∴‎ ‎.‎ 设，∴，‎ ‎∴，即.‎ ‎22.(1)解：曲线消去参数得，曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线的普通方程得.同理，把直线的参数方程代入曲线的普通方程得，.,‎ ‎.综上所述：.‎ ‎23. （1）（2）‎