数学理卷·2018届湖北省武昌区高三1月调研考试（2018

数学理卷·2018届湖北省武昌区高三1月调研考试（2018

‎2018届高三年级元月调研考试 理科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A． -3 B．-2 C．1 D． 2‎ ‎4.执行如图所示的程序框图，如果输入的依次为2，2，5时，输出的为17，那么在 框中，可以填入（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 表示，则5个剩余分数的方差为（ ）‎ A． B． C. 6 D．30‎ ‎6.设是半径为1的圆上的三点，且，则的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．1‎ ‎7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．3‎ ‎8.设分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线的右支上的点，以为圆心的圆与轴恰好相切于焦点，且点到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知是某球面上不共面的四点，且，，，则此球的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.将函数的图像上的点按向量（其中）平移后得到点，若点在函数的图像上，则（ ）‎ A．，的最小值为 ‎ B．，的最小值为 ‎ C. ，的最小值为 ‎ D．，的最小值为 ‎11.等比数列的前项和，若对任意正整数等式成立，则的值为（ ）‎ A． -3 B．1 C. -3或1 D．1或3‎ ‎12.函数在内既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，则 ．‎ ‎14.在的展开式中，的系数是 ．‎ ‎15.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，与其准线交于点，且，则 ．‎ ‎16.对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是1，且，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，分别为内角的对边，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎18. 如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：‎ ‎（1）根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别和是否看营养说明有关系呢？‎ ‎（2）从被询问的28名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到女生人数的分布列及数学期望.‎ ‎20. 已知椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设分别为椭圆的左、右焦点，不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，如果直线、、的斜率依次成等差数列，求焦点到直线的距离的取值范围.‎ ‎21. 已知的实常数，函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，‎ ‎（ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（ⅱ）证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为.‎ ‎（1）求直线和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线和曲线交于两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 ‎（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若正实数满足，求的取值范围.‎ 武昌区2018届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C B C A D A A C C D 二、填空题： ‎ ‎13. 2 14. 180 15. 16. 100‎ 三、解答题：‎ ‎17．（12分）‎ 解析：（1）由正弦定理，知，‎ 由，得，‎ 化简，得，即.‎ 因为，所以.‎ 因为，所以. ‎ ‎（2）由余弦定理，得，即，‎ 因为，，所以，，即.‎ 所以，. ‎ ‎18．（12分）‎ 解析：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.‎ 因为ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=.‎ 因为PA⊥PC，所以PO=.‎ 因为PB=2，所以OP2+OB2==PB2，所以PO⊥OB.‎ 因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.‎ 又OB⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC． ‎ ‎（2）因为PA=PB，BA=BC，所以≌.‎ 过点A作于D，则.‎ 所以为所求二面角A﹣PB﹣C 的平面角.‎ 因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以.‎ 在中，求得，同理.‎ 在中，由余弦定理，得.‎ 所以，二面角A﹣PB﹣C的余弦值为． ‎ ‎19．解析：（1）由计算可得的观测值为．‎ 因为，而 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.‎ ‎ ‎ ‎（2）的取值为0，1，2.‎ ‎，，.‎ 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望为. ‎ ‎20．解析：（1）由题意，知考虑到，解得 所以，所求椭圆C的方程为. ‎ ‎（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，‎ 整理得.‎ 由，得. ①‎ 设，，则，.‎ 因为，所以，.‎ 因为，且，，‎ 所以.‎ 因为直线AB：不过焦点，所以，‎ 所以，从而，即. ②‎ 由①②得，化简得. ③‎ 焦点到直线：的距离.‎ 令，由知.‎ 于是.‎ 考虑到函数在上单调递减，‎ 所以，解得. ‎ ‎21．‎ 解析：（1）.‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，由，得.‎ 若，则，函数在上单调递增；‎ 若，则，函数在上单调递减. ‎ ‎（2）（ⅰ）由（1）知，当时，单调递增，没有两个不同的零点.‎ 当时，在处取得极小值.‎ 由，得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎（ⅱ）由，得，即.‎ 所以.‎ 令，则.‎ 当时，；当时，.‎ 所以在递减，在递增，所以.‎ 要证，只需证.‎ 因为在递增，所以只需证.‎ 因为，只需证，即证.‎ 令，，则.‎ 因为，所以，即在上单调递减.‎ 所以，即，‎ 所以成立. ‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 解析：（1）∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．‎ 由消去，得.‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）点M（1，0）在直线l上，‎ 设直线l的参数方程（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．‎ 将l的参数方程代入y2=4x，得.‎ 于是，.‎ ‎∴. ‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 解析：（1）由题意知恒成立.‎ 因为，‎ 所以，解得或. ‎ ‎（2）因为（，‎ 所以，‎ 即的取值范围为． ‎