【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题六　解析几何 第2讲　直线与圆锥曲线的位置关系

【导与练】2017届高三数学（文）二轮复习（全国通用）专题突破 专题六　解析几何 第2讲　直线与圆锥曲线的位置关系

www.ks5u.com 第2讲　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(限时:45分钟)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 位置关系 ‎1,12,13‎ 弦长与面积 ‎2,3,4,5,6,8,9,10,11‎ 轨迹问题 ‎7,14‎ 重点把关 ‎1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(　A　)‎ ‎(A)相交 (B)相切 ‎(C)相离 (D)不确定 解析:直线y=kx-k+1,即y-1=k(x-1),恒过点A(1,1).因为+<1,所以点A在椭圆内,故直线与椭圆相交,选A.‎ ‎2.已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是(　C　)‎ ‎(A)2 (B) (C) (D) 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=4,‎ 又p=1,所以x1+x2=3,‎ 所以点C的横坐标是=.‎ ‎3.直线y=x与椭圆+y2=1相交于A,B两点,F为右焦点,则△FAB的面积为(　B　)‎ ‎(A)2 (B) (C) (D) 解析:由 解得A(,),B(-,-).‎ 故|AB|=|-(-)|=.‎ 而F(,0),点F到直线y=x的距离 d==.‎ 故△FAB的面积S=|AB|×d ‎=×× ‎=.‎ 故选B.‎ ‎4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的横坐标为3,则该抛物线的准线方程为(　C　)‎ ‎(A)x=1 (B)x=2‎ ‎(C)x=-1 (D)x=-2‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=-(x-),与抛物线方程联立,消去y整理得x2-3px+=0,可得x1+x2=3p.根据中点坐标公式,有=3,p=2,因此抛物线的准线方程为x=-1.故选C.‎ ‎5.已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　B　)‎ ‎(A) (B)- (C)2 (D)-2‎ 解析:设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=8,y1+y2=4,‎ 两式相减,得 +=0,‎ 所以=-,‎ 所以k==-.‎ 故选B.‎ ‎6.(2016·广西质检)过点P(-2,0)的直线与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为(　A　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)2‎ 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),分别过A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E.‎ 因为|PA|=|AB|,‎ 所以又得x1=,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.选A.‎ ‎7.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是　　　. ‎ 解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+‎ ‎|BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+‎ ‎|FB|=4,故F点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).‎ 答案:+=1(y≠0)‎ ‎8.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=　　　　. ‎ 解析:设A(xA,yA),B(xB,yB),‎ 因为y2=4x,‎ 所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0),‎ 又A到抛物线准线的距离为4,‎ 所以xA+1=4,‎ 所以xA=3,‎ 因为xAxB==1,‎ 所以xB=,‎ 所以|AB|=xA+xB+p=3++2=.‎ 答案: ‎9.(2016·湖南长沙一模)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的顶点到直线l1:y=x的距离分别为,.‎ ‎(1)求C1的标准方程;‎ ‎(2)设平行于l1的直线l交C1于A,B两点,若以AB为直径的圆恰过坐标原点O,求直线l的方程.‎ 解:(1)由直线l1的方程知,直线l1与两坐标轴的夹角均为45°,‎ 故长轴端点到直线l1的距离为,短轴端点到直线l1的距离为,‎ 求得a=2,b=1.‎ 所以C1的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)依题意设直线l:y=x+t(t≠0)‎ 由得5x2+8tx+4t2-4=0,‎ 判别式Δ=64t2-16×5(t2-1)>0解得-0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=,‎ 可得|AB|=·=,‎ 又圆F2的半径r=,‎ 所以△AF2B的面积为|AB|·r==,‎ 化简得17k4+k2-18=0,得k=±1,‎ 所以r=,圆的方程为(x-1)2+y2=2.‎ ‎13.(2016·山东青岛3月模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为4,点A,B,C在椭圆E上,其中点A是椭圆E的右顶点,直线BC过原点O,点B在第一象限,且|BC|=2|AB|,cos∠ABC=.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)与x轴不垂直的直线l与圆x2+y2=1相切,且与椭圆E交于两个不同的点M,N,求△MON的面积的取值范围.‎ 解:(1)因为椭圆E的长轴长为4,‎ 所以a=2,‎ 因为直线BC过原点O,B在第一象限,‎ 且|BC|=2|AB|=2|BO|,‎ 所以|BO|=|AB|,‎ 因为cos∠ABO=,|AO|=a=2,‎ 由余弦定理|OA|2=|BO|2+|AB|2-2|BO|·|AB|cos∠ABO 得|BO|=|AB|=,‎ 所以B(,),‎ 将其代入椭圆E:+=1得+=1⇒b=2,‎ 所以椭圆E的方程为+=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),设直线l的方程为y=kx+m,‎ 由方程组得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.‎ 所以x1+x2=-,x1x2=,‎ 则|MN|=· ‎=· ‎= 因为直线l:y=kx+m与圆x2+y2=1相切,‎ 所以=1,‎ 即m2=1+k2,‎ 所以|MN|=,‎ 则S△MON=|MN|×1= 令1+2k2=t,则t≥1,‎ S△MON=· ‎= ‎= ‎=.‎ 因为t≥1,‎ 所以0<≤1,‎ 所以4,且||QA|-|QM||=|PM|=4<|MA|,‎ 所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的双曲线.‎ 当A在圆M内,且与M不重合时,|MA|<4,且|QA|+|QM|=|MP|=4>|MA|,‎ 所以Q点的轨迹是以M,A为焦点的椭圆.‎ 当A在圆M上时,l过定点M,l与PM的交点Q就是点M,‎ 所以点Q的轨迹就是一个点.‎ 当A与M重合时,l与PM的交点Q就是PM的中点,所以点Q的轨迹就是圆.‎ 综上所述,Q点的轨迹可能是①②④⑥四种.‎ ‎(2)因为A(5,0)在圆M内,‎ 由(1)知,点Q的轨迹是以M,A为焦点的椭圆,且|MA|=2=2c,|MP|=4=2a,‎ 所以b=,‎ 由椭圆的几何性质可知,Q为短轴端点时,S△MQA最大,‎ 所以S△MQA的最大值为·2c·b=.‎