专题10-4 圆锥曲线的综合应用-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版）

专题10-4 圆锥曲线的综合应用-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（文）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ 若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A.‎ ‚单元圆上的“伴随点”还在单位圆上.‎ ƒ若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称 ‎④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎【答案】②③‎ 线分别为与的图象关于轴对称，所以②正确；③令单位圆上点的坐标为其伴随点为仍在单位圆上，故③正确；对于④，直线上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.‎ ‎2．【2016高考山东文数】已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.‎ ‎(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.‎ ‎(ii)求直线AB的斜率的最小值.‎ ‎ (Ⅱ)(i)设，由，可得 所以 直线PM的斜率 ，直线QM的斜率.此时，所以为定值.‎ ‎(ii)设，直线PA的方程为，直线QB的方程为.联立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以，‎ ‎ ，所以 由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 .‎ ‎3．【2016高考四川文科】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程；‎ ‎(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．‎ ‎（II）设直线l的方程为， ，由方程组 得，① 方程①的判别式为，由，即，解得.由①得.所以M点坐标为，直线OM方程为，由方程组得 ‎.所以.又.所以.‎ ‎4．【2016高考上海文科】有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图 （1） 求菜地内的分界线的方程 （2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值 ‎5．【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎ ‎6. 【2015高考山东，文21】平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.‎ ‎（i）求的值；‎ ‎(ii)求面积的最大值.‎ ‎【解析】（I）由题意知又，解得，所以椭圆的方程为 ‎（II）由（I）知椭圆的方程为.‎ ‎（i）设由题意知.因为又 ‎，即所以，即 ‎7. 【2015高考陕西，文20】如图，椭圆经过点，且离心率为.‎ ‎(I)求椭圆的方程；‎ ‎(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.‎ ‎【解析】 (I)由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.‎ ‎(II)由题设知，直线的方程为，代入，得 ，由已知，设，，则，从而直线与的斜率之和 .‎ ‎8. 【2015高考重庆，文21】如题（21）图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.‎ ‎(Ⅰ)若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.‎ ‎(Ⅱ)若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.‎ ‎ (2)如题(21)图，由,得，由椭圆的定义，,进而，于是.‎ 解得，故.由勾股定理得,从而,两边除以，得,若记，则上式变成.由，并注意到关于的单调性，得，即，进而，即.‎ ‎9. 【2015高考四川，文20】如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且＝－1‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程；‎ ‎(Ⅱ)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.‎ A D B C O x y P ‎ (Ⅱ)当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0，所以，从而＝x1x2＋y1y2＋λx1x2＋(y1－1)(y2－1)]‎ ‎＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－，所以，当λ＝1时，－＝－3，此时，＝－3为定值，当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.‎ ‎10.【2014山东，文15】 已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎11.【2014广东，文20】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.‎ （1） 求椭圆C的标准方程；‎ （2） 若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ ‎【解析】（1）由题意得，，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为.‎ ‎12.【2014湖南，文20】如图，为坐标原点，双曲线和椭圆均过点，且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)是否存在直线，使得与交于两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题,‎ ‎ 由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题．考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测2017求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.‎ ‎【考点1】求轨迹方程 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：‎ ‎(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；‎ ‎(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.‎ ‎2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 ‎(1)建系——建立适当的坐标系．‎ ‎(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．‎ ‎(3)列式——列出动点P所满足的关系式．‎ ‎(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．‎ ‎(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：‎ ‎(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0；‎ ‎(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；‎ ‎(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；‎ ‎(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．‎ ‎2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016江省衢州市高三4月教学质量检测】设点是曲线上任意一点，其坐标均满足，则取值范围为（ ） ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎2. 【2016江西省高安中学高三命题中心押题】在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为、，动点满足:直线与直线的斜率之积为．‎ ‎（1）求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）设为动点的轨迹的左右顶点，为直线上的一动点（点不在x轴上），连交的轨迹于点，连并延长交的轨迹于点，试问直线是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．‎ ‎【解析】（1）已知，设动点的坐标，所以直线的斜率，直线的斜率（），又，所以，即．‎ ‎（2）设，又，则，故直线的方程为：，代入椭圆方程并整理得：。由韦达定理：‎ 即，，同理可解得：‎ 故直线的方程为，即，故直线恒过定点．‎ ‎【考点2】圆锥曲线间的综合 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质.‎ ‎2.要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质.‎ ‎3.要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化.‎ ‎2.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1. 【2016江西省高安中学高三命题中心模拟】已知抛物线的焦点与双曲线的一焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A．‎ ‎2. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】椭圆的右焦点为，双曲线的一条渐近线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率为 _____.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.‎ (1) 若≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点.‎ 当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. ‎ 当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点.‎ ‎（2）当=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.‎ ‎（3）设直线与圆锥曲线的交点A（，），B（，），则，.‎ ‎2. 直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝ |x1－x2|＝ ·＝·|y1－y2|＝·.‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.‎ ‎2.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论.‎ ‎3.定点与定值问题处理方法有两种：‎ ‎（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.‎ ‎4.最值问题常见解法有两种：‎ ‎（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.‎ ‎(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.‎ ‎5.参数范围问题常见解法有两种：‎ ‎（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.‎ ‎(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.‎ ‎6.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在.‎ ‎7. 直线与圆锥曲线位置关系中的中点弦问题常用点差法和参数法.‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.【2016届邯郸市一中高三十研】已知椭圆过点，离心率为，点分别为其左右焦点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若上存在两个点，椭圆上有两个点满足三点共线，三点共线，且，求四边形面积的最小值．‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，直线的斜率为0，易得． 当直线2.【2016年江西省九江市三模】如图所示，已知椭圆，⊙，点是椭圆的左顶点 直线与⊙相切于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若⊙的切线与椭圆相交于两点，求面积的取值范围.‎ ‎【解析】（1）∵在⊙上，∴.又是⊙的切线，∴，即，解得.∴椭圆的方程为.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎ １．求圆锥曲线方程的方法 求曲线方程的常见方法：‎ ‎(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 ‎ ‎(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 ‎ ‎(3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎(4)参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.‎ 注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.‎ ‎ (5)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义．‎ ‎②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为 ()，双曲线方程可设为 ()．这样可以避免繁琐的计算．‎ 利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程．‎ ‎2．最值或范围问题的解决方法 解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：‎ ‎(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；‎ ‎(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；‎ ‎(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；‎ ‎(4)利用判别式求最值；‎ ‎(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值．‎ ‎3．求定值问题的方法 定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．‎ ‎4． 有关弦的问题 ‎(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．‎ ‎①斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，，则所得弦长或，其中求与 时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：‎ ‎，.‎ ‎②当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．‎ ‎(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．‎ ‎5.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求.‎ ‎6.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：‎ ‎(1)设方程及点的坐标；‎ ‎(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；‎ ‎(3)应用根与系数的关系及判别式；‎ ‎(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 ‎7.解析几何解题的基本方法 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.‎ ‎8.避免繁复运算的基本方法 可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.‎ ‎9. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：‎ ‎（1）给出直线的方向向量或；‎ ‎（2）给出与相交,等于已知过的中点;‎ ‎（3）给出,等于已知是的中点;‎ ‎（4）给出,等于已知与的中点三点共线;‎ ‎（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；‎ ‎（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；‎ ‎（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；‎ ‎（8）给出,等于已知是的平分线；‎ ‎（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;‎ ‎（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;‎ ‎（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；‎ ‎（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；‎ ‎（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；‎ ‎（14）在中，给出等于已知通过的内心；‎ ‎（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；‎ ‎（16）在中，给出,等于已知是中边的中线.‎ ‎10．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．‎ ‎11．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.‎ ‎1. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得：而，选C.‎ ‎2. 【2016年山西四校高三第三次联考】已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率 为（ ）‎ A. 　 B. 　C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3. 【2016年山西省四校高三联考】已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎4. 【2016届湖北省武汉市武昌区高三5月调研考试】已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点，若，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，所以，，则椭圆方程＝1变为．设，又＝3，所以，所以，即．因为 在椭圆上，所以 ①，‎ ‎ ②． 由①－9×②，得，所以，所以，所以，，从而，，所以，，故，故选B．‎ ‎5. 【2016届安徽六安一中高三下学期第三次模拟】如图所示，椭圆的左，右顶点分别为，线段是垂直于椭圆长轴的弦，连接相交于点，则点的轨迹方程为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎6.【2016届天津市和平区高三第四次模拟】已知双曲线的渐近线上的一点 到其右焦点的距离等于2，抛物线过点，则该抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，右焦点点A在轴右侧，双曲线的渐近线方程为，设，，解得，有在抛物线上，则，得，该抛物线的方程为.选B.‎ ‎7. 【2016届湖北省黄冈中学高三5月一模】已知点是抛物线与圆在第一象限的公共点，且点到抛物线焦点的距离等于，若抛物线上一动点到其准线与到点的距离之和的最小值为，为坐标原点，则直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎8.【2016年安庆市高三二模】已知圆的圆心是椭圆（）的右焦点,过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆相切．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）椭圆上有两点、,、斜率之积为,求的值．‎ ‎9. 【2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟】已知抛物线，过点 的动直线与相交于 两点，抛物线在点 和点 处的切线相交于点 ，直线 与 轴分别相交于点 .‎ ‎（1）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：点 在直线上；‎ ‎（3）判断是否存在点，使得四边形为矩形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎10. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知椭圆C：，其右焦点，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，‎ 求的取值范围．‎ ‎11.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】已知抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线C：渐近线的距离为，点P是抛物线y2 ＝8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=-2 的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，抛物线的焦点为，准线方程为，双曲线C的渐近线方程为，即，所以，即，又点到直线的距离等于点到点的距离，设点到直线的距离为，则，所以，所以，即双曲线方程为，故选C．‎ ‎12.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】已知直线与抛物线交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若，， 则△PMN的面积的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎13.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】设由余弦定理得：，所以，即，选A.‎ ‎14.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】已知椭圆 的右焦点为，离心率为．设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M，的中点为N，原点在以线段为直径的圆上．设直线AB的斜率为k，若 ‎，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎15.【2015届福建省龙岩市一中高三下学期考前模拟】如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 已知椭圆的离心率，半焦距为，抛物线的准线方程为，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ∵抛物线的准线方程为，∴，即，∵，∴，∴.∴，∴椭圆的标准方程为，选B.‎ ‎【入选理由】本题主要考查椭圆的方程及几何性质, 抛物线的方程及几何性质等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是椭圆与 抛物线结合，体现学科内综合,故选此题.‎ ‎2.已知双曲线一焦点与抛物线的焦点F相同，若抛物线 的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，P为双曲线左支上一动点，Q（1,3），则|PF|+|PQ|的最小值为 （ ）‎ A. B. C.4 D.‎ ‎【答案】D ‎【入选理由】本题主要考查双曲线的方程及几何性质, 抛物线的方程及几何性质等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，数形结合思想和转化思想,本题是双曲线与抛物线结合，体现学科内综合,故选此题.‎ ‎3．已知抛物线C的顶点为原点，对称轴为x轴，与椭圆交于M，N两点，M，N两点关于x轴对称，其中M（1,2），过抛物线C焦点的直线与交于在轴上方）两点，且．则的面积为（ ）‎ A. B. C. D.3‎ ‎【答案】A ‎【入选理由】本题主要考查椭圆的方程及几何性质, 抛物线的方程及几何性质，三角形面积，解直角三角形等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是椭圆与抛物线结合，体现学科内综合,故选此题.‎ ‎4.已知椭圆C的一焦点与的焦点重合，点在椭圆C上．直线过点，且与椭圆C交于，两点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）点满足,点为坐标原点，延长线段与椭圆C交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求出此时直线的方程，若不能，说明理由．‎ ‎【解析】（1）抛物线的焦点为，故得，解得.‎ 所以椭圆的方程为 ‎ 法二：（1）当直线与轴垂直时，直线的方程为满足题意；（2）当直线与轴不垂直时，设直线，显然，，，．将代入得，故，.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即，则. 由直线，过点，得.则，即解得解得满足所以直线的方程为时，四边形为平行四边形．综上所述：直线的方程为 或 . ‎ ‎【入选理由】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，抛物线的方程及几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，探索性命题等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.‎ ‎5.已知双曲线:的渐近线方程为，抛物线的顶点为坐标原点，焦 点在轴上，点为双曲线与抛物线的一个公共点.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线与抛物线的方程；‎ ‎ (Ⅱ) 过抛物线的焦点作两条相互垂直的直线，，与抛物线分别交于点、，、. ‎ ‎ (ⅰ)若直线与直线的倾斜角互补（点，不同于点），求直线的斜率；‎ ‎ (ⅱ)是否存在常数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明 理由.‎ ‎ (Ⅱ)（ⅰ）设直线的斜率为，显然，则其方程为.联立方程得，消得，，设、，则由根与系数的关系得:，. ‎ 由直线与直线的倾斜角互补可得，即，又 ‎，，‎ 故，‎ 故，即，整理得，即，整理得，解得. ‎ ‎6.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且离心率为．‎ ‎(Ⅰ)求抛物线和椭圆的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)若椭圆的长轴的两端点为，，点为椭圆上异于，的动点，定直线与直线，分别交于，两点.请问以为直径的圆是否经过轴上的定点，若存在，求出定点坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设，代入，得，∴.又 ‎，即，∴． ∴抛物线的标准方程为．在椭圆中，，，∴，．∴椭圆的标准方程为． ‎ ‎【入选理由】本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质，抛物线的方程及几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，圆的方程等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.‎ ‎7.已知是椭圆左右焦点，过的直线交椭圆于两点，△的周长为8，椭圆的离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于且，求证原点到直线的距离为定值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义知=8，所以=2，由椭圆的离心率为知，，∴，‎ ‎∴=3， ∴椭圆的方程为； ‎ ‎（Ⅱ）当存在时，设，【入选理由】本题主要考查椭圆的定义，标准方程及几何性质，直线方程，直线与椭圆的位置关系，向量垂直的充要条件等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.‎ ‎8．已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设不过原点的直线：与椭圆交于两点 ‎①若直线与的斜率分别为，且 ‎，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎②若直线的斜率是直线斜率的等比中项，求面积的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由抛物线的方程为得其焦点坐标为，所以可得椭圆中， 当点位于椭圆的短轴端点时的面积最大，此时，所以，又由得，所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎【入选理由】本题主要考查椭圆的标准方程，抛物线的方程，直线方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，等比中项等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力，转化与化归能力，本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.‎