高中数学：第二章《推理与证明》测试（2）（新人教A版选修1-2）

高中数学：第二章《推理与证明》测试（2）（新人教A版选修1-2）

高中新课标选修（1-2）推理与证明测试题 一 选择题（5×12=60分）‎ ‎1. 如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的（　　）‎ A．白色　　　　B．黑色　　　C．白色可能性大　　　D．黑色可能性大 ‎2．“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故某奇数（S）是3的倍数（P）.”上述推理是（　　）‎ A．小前提错　　　B．结论错　　　C．正确的　　　D．大前提错 ‎3．F（n）是一个关于自然数n的命题，若F（k）（k∈N＋）真，则F（k＋1）真，现已知F（7）不真，则有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不真；⑥F（5）真.其中真命题是（　）‎ A．③⑤　　　　B．①②　　　　C．④⑥　　　　D．③④‎ ‎4.下面叙述正确的是（ ）‎ A．综合法、分析法是直接证明的方法　　B．综合法是直接证法、分析法是间接证法　　　　　C．综合法、分析法所用语气都是肯定的　D．综合法、分析法所用语气都是假定的 ‎5．类比平面正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）‎ ① 各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；‎ ② 各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；‎ ③ 各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。‎ A．①　　　　B．①②　　　　C．①②③　　　　　D．③‎ ‎6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常数，则“a＞0且b2－‎4ac＜‎0”‎是“对x∈R，有ax2＋bx＋c＞‎0”‎的（　　）‎ A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　‎ C．充要条件　　　　　D．不充分不必要条件 ‎7．（04·全国Ⅳ，理12）设f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f（2），f（5）＝（　　）‎ A．0　　　B．‎1　‎　　C．　　　D．5‎ ‎8．设S（n）＝＋＋＋＋…＋，则（　　）‎ A．S（n）共有n项，当n＝2时，S（2）＝＋ B．S（n）共有n＋1项，当n＝2时，S（2）＝＋＋ C．S（n）共有n2－n项，当n＝2时，S（2）＝＋＋ D．S（n）共有n2－n＋1项，当n＝2时，S（2）＝＋＋ ‎9．在R上定义运算⊙：x⊙y＝，若关于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．－2≤a≤2　　B．－1≤a≤‎1　‎　C．－2≤a≤1　　D．1≤a≤2‎ ‎10．已知f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝f（2－x），当－2≤x≤0时，f（x）＝2x，若n∈N*，an＝f（n），则a2006＝（　　）‎ A．2006　　　B．‎4　‎　　C．　　　D．－4‎ ‎11．函数f（x）在［－1，1］上满足f（－x）＝－f（x）是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（　　）‎ A．f（sinα）＞f（sinβ） B． f（cosα）＞f（sinβ）‎ C．f（cosα）＜f（cosβ）　　 D．f（sinα）＜f（sinβ）‎ ‎12．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。四位歌手的话只有两名是对的，则奖的歌手是（　　）‎ A．甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁 二 填空题（4×4=16分）‎ ‎13．“开心辞典”中有这样的问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数，现给出一组数：,-,,-,,它的第8个数可以是 。‎ ‎14．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB2=BD.BC.拓展到空间,在四面体A—BCD中，DA⊥面ABC，点O是A在面BCD内的射影，且O在面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间关系为 。‎ ‎15．（05·天津）在数列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.‎ ‎16．（05黄冈市一模题）当a0，a1，a2成等差数时，有a0－‎2a1＋a2＝0，当a0，a1，a2，a3成等差数列时，有a0－‎3a1＋‎3a2－a3＝0，当a0，a1，a2，a3，a4成等差数列时，有a0－‎4a1＋‎6a2－‎4a3＋a4＝0，由此归纳：当a0，a1，a2，…，an成等差数列时有Ca0－Ca1＋Ca2－…＋Can＝0. 如果a0，a1，a2，…，an成等差数列，类比上述方法归纳出的等式为＿＿＿。 ‎ 三 解答题（74分）‎ ‎17 已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，求证：+=（12分）‎ ‎18．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2x＋，b＝y2－2y＋，c＝z2－2z＋，求证：a、b、c中至少有一个大于0. （12分）‎ ‎19．数列｛an｝的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）.‎ 证明：⑴数列｛｝是等比数列；⑵Sn＋1＝4an. （12分）‎ ‎20．用分析法证明：若a＞0，则－≥a＋－2.(12分)‎ ‎21．设事件A发生的概率为P，若在A发生的条件下B发生概率为P′，则由A产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.‎ 一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、…、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即P0＝1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前跳动两站.直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束.已知硬币出现正、反面的概率相同，设棋子跳到第到第n站时的概率为Pn.‎ ‎（1）求P1，P2，P3；‎ ‎（2）设an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求证：数列｛an｝是等比数列 (12分)‎ ‎22．(14分) 在ΔABC中（如图1），若CE是∠ACB的平分线，则＝.其证明过程：作EG⊥AC于点G，EH⊥BC于点H，CF⊥AB于点F ‎∵CE是∠ACB的平分线，‎ ‎∴EG＝EH.‎ 又∵＝＝，‎ ＝＝，‎ ‎∴＝.‎ ‎（Ⅰ）把上面结论推广到空间中：在四面体A－BCD中（如图2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，类比三角形中的结论，你得到的相应空间的结论是＿＿＿＿＿＿‎ F E A C E B D 图2‎ F h2‎ h11‎ ‎（Ⅱ）证明你所得到的结论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 一 ‎1 A ‎2 C ‎3 A ‎4 A ‎5 C ‎6 A ‎7 C 8 D　９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ　１２ C ‎11 分析：因为锐角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，‎ sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函数f（x）在［－1，1］上满足是减函数 所以f（cosα）＞f（sinβ）。 ‎ ‎12分析：先猜测甲、乙对，则丙丁错，甲、乙可看出乙获奖则丁不错，所以丙丁中必有一个是对的，设丙对，则甲对，乙错，丁错.　∴答案为C.‎ 二 13 - 14 （S△ABC）2= S△BOC. S△BDC 15. 35 ‎ ‎16 a0C·a1－C·a‎2 C·…·an （－1）nC＝1.‎ ‎［解析］解此题的关键是对类比的理解.通过对所给等差数列性质的理解，类比去探求等比数列相应的性质.实际上，等差数列与等比数列类比的裨是运算级别的类比，即等差数列中的“加、减、乘、除”与等比数列中的“乘、除、乘方、开方”相对应.‎ 三 解答题 ‎17 (分析法) 要证 += 需证: +=3‎ 即证:c(b+c)+a(a+b)= (a+b) (b+c)‎ 即证:c2+a2=ac+b2‎ 因为△ABC中，角A、B、C成等差数列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b2= c2+a2-ca 所以c2+a2=ac+b2‎ 因此 += ‎18 (反证法).证明：设a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，‎ 而a＋b＋c＝（x2－2y＋）＋（y2－2z＋）＋（z2－2x＋）‎ ‎＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，‎ ‎∴a＋b＋c＞0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.‎ ‎19(综合法)．证明：⑴由an＋1＝Sn，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 ‎∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1＝Sn，∴＝2，∴数列｛｝为等比数列.‎ ‎⑵由⑴知｛｝公比为2，∴＝4＝·，∴Sn＋1＝4an.‎ ‎20(分析法).证明：要证－≥a＋－2，只需证＋2≥a＋＋.‎ ‎∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（＋2）2≥（a＋＋）2，‎ 只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2（a＋），‎ 只需证≥（a＋），只需证a2＋≥（a2＋＋2），‎ 即证a2＋≥2，它显然是成立，∴原不等式成立.‎ ‎21.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2＝×＋＝，P3＝×＋×＝.‎ ‎（2）证明:棋子跳到第n站，必是从第n－1站或第n－2站跳来的（2≤n≤100），所以Pn=Pn－1＋Pn－2 ‎ ‎∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1＋Pn－2=－（Pn－1－Pn－2），‎ ‎∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0＝－. ‎ 故｛an｝是公比为－，首项为－的等比数列（1≤n≤100）.‎ ‎22．结论: ＝或＝或＝ 证明：设点E是平面ACD、平面BCD的距离分别为h1，h2，则由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.‎ 又∵＝＝ ＝＝＝ A G F E B　H　　　　　　C 图1‎ A C E B D 图2‎ F h2‎ h11‎ ‎∴＝ ‎ ‎ ‎ ‎