数学文卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考试题 （2017

数学文卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考试题 （2017

‎2017届高中毕业班联考试卷（二）‎ 数学(文科)‎ 本试卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分.时量120分钟，满分150分.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为 A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，则“且”成立的充要条件是 A. B. C. D.‎ ‎3.命题“，且”的否定形式是 A.，且 B.，且 C.，或 D.，或 ‎4.已知向量、满足，且，，则与的夹角为 A. B. C. D.‎ ‎5.如图1所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的，，则输出的 图1‎ A.2 B.3 C.7 D.14‎ ‎6.已知数列为等比数列，且，，则 A. B. C. D.‎ ‎7.已知实数、满足，则的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎8.函数的图象大致为 A B C D ‎9.一组数据共有7个数，记得其中有10、2、5、2、4、2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为 A.－11 B.3 C.9 D.17‎ ‎10.已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是 A. B. C. D.‎ ‎11.将一张边长为的正方形纸片按如图2所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图3放置．若正四棱锥的正视图是正三角形（如图4），则正四棱锥的体积是 图3‎ 图4‎ 图2‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎12.已知方程在有且仅有两个不同的解,则下面结论正确的是 A. B.‎ C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎13.欧阳修《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为的圆，中间有边长为的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 .‎ ‎14.双曲线的两条渐近线为，则它的离心率为 .‎ ‎15.已知函数，若为函数的一个零点，则 .‎ ‎16.设定义域为的单调函数，对任意，都有，若是方程的一个解，且，则实数 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合 计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合 计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎⑴根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎⑵已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ 附：，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知数列中，，.‎ ⑴写出、的值（只写结果），并求出数列的通项公式；‎ ⑵设，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图5所示，已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，‎ ‎，为的中点.‎ ⑴指出平面与的交点所在位置，并给出理由；‎ ⑵求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.‎ 图5‎ ‎[]‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图6所示，已知椭圆：的离心率为，、是椭圆的两个焦点，‎ 是椭圆上任意一点，且的周长是.‎ ‎⑴求椭圆的方程；‎ ⑵设圆：，过椭圆的上顶点作圆的两条切线交椭圆于、两点，当圆心在轴上移动且时，求直线的斜率的取值范围.‎ 图6‎ ‎21.（本大题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎ ⑴求函数的单调区间；‎ ‎ ⑵如果对于任意的,恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎ ⑶设函数，.过点作函数的图象 的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.‎ 请考生在第22、23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为 ‎，直线的参数方程为，（为参数）.‎ ‎⑴求直线与曲线的直角坐标方程；‎ ‎⑵设曲线经过伸缩变换得到曲线，设曲线上任一点为，求的 最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎⑴当时，解不等式；‎ ‎⑵若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 一选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D C C B D B C B A C 二、填空题 ‎13.【答案】 14.【答案】或 15.【答案】 16.【答案】1‎ 三、解答题 ‎17.解: ⑴‎ 所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”. …6分 ‎⑵从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件共10个：， ，，，，，，，，，其中表示喜欢甜品的学生，表示不喜欢甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的.‎ 用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件由7个基本事件组成：‎ ‎，，，，，，‎ ‎ . …………12分 ‎18.解：⑴， …………2分 ‎ 当时，‎ ‎ …………5分 当时，也满足上式 ‎ …………6分 ‎(2)‎ ‎ …8分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，则数列是单调递减数列 ‎ …………10分 ‎ 或 ‎ …………12分 ‎19.解:⑴为中点. …………2分 ‎ 理由如下：，平面，平面 ‎ 平面 ‎ 又平面，平面平面 ‎ ‎ ‎ 又为的中点 ‎ 为的中点 …………6分 ‎⑵底面，‎ ‎ 又底面为矩形，‎ ‎ ‎ ‎ 平面，又平面 ‎ ‎ 是的中位线，且 ‎，又 点到截面的距离为到直线的距离 ‎ 四棱锥的体积 …………8分 而四棱锥的体积 四棱锥被截下部分体积 …………10分 故上、下两部分体积比. …………12分 ‎20.解: ⑴，‎ 又的周长为 ‎，‎ 则所求椭圆方程为： …………5分 ‎⑵由椭圆方程可得，设过且与圆相切的直线方程为 ‎ ‎ ‎ 两条切线斜率是方程的两根 ‎ ，‎ ‎，同理可得：‎ 设，可知在上为增函数 ‎ …………12分 D ‎21.解：：⑴‎ ‎ 的增区间为；‎ 减区间为. ……4分 ‎ ⑵令 ‎ 要使恒成立，只需当时，‎ ‎ ‎ ‎ 令，则对恒成立 ‎ 在上是增函数，则 ‎ ①当时，恒成立，在上为增函数 ‎，满足题意；‎ ‎ ②当时，在上有实根, 在上是增函数 ‎ 则当时，，不符合题意；‎ ‎ ③当时，恒成立，在上为减函数，‎ 不符合题意 ‎ ，即. ……8分 ‎ ⑶‎ ‎ ‎ ‎ 设切点坐标为，则切线斜率为 ‎ 从而切线方程为 ‎ ‎ ‎ 令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为.‎ ‎. ……12分 ‎22.解：⑴直线的方程为：‎ 曲线的直角坐标方程为： ……5分 ‎⑵，，代入得：‎ 设椭圆的参数方程为，（为参数，）‎ 得最大值为4. ……10分 ‎23.解：⑴当时，‎ 或 ‎∴原不等式的解集为 ……5分 ‎⑵‎ 令，故 故所求实数的范围为 ……10分