山西省晋中市平遥县第二中学2020届高三10月月考数学（理）试题

山西省晋中市平遥县第二中学2020届高三10月月考数学（理）试题

高三年级 10 月（理科）数学试题 (本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟。答案一律写在答题卡上） —、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分。） 1.设集合 U={ },S={1,2，4，5}，T={3，5}，则 S∩（CUT）= A. {1，2} B. {1，2，3，4，5} C. {1，2，4} D. {1，2，4，5，6} 2.下列有关命题的说法正确的是 A.命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ” B.命题“若 ，则 ”的逆否命题为假命题. C.在 中，“A>600”是 的必要不充分条件. D.命题“ ,使得 <0”的否定是：“ ,均有 >0”. 3.设 ,则 a,b,c 的大小关系是 A.a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. b＞c＞a 4.已知 的三个内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若 ，则该三角形 一定是 A. 等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5. 已知 ，则 A. B. C. D. 6.已知 是函数 的一个极大值点，则 的一个单调递增区间是 A. B. C. D. 7.函数 ，有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 8.满足函数 在 上单调递减的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 6<0| ≤∈ xNx 12 =x 1=x 12 =x 1≠x yx = yx sinsin = ABC∆ 2 3>sin A Rx∈∃ 12 ++ xx Rx∈∀ 12 ++ xx 2log,2 1ln,2 3 1.0 === cba ABC∆ c aB =cos2 3tan =α cos( )2 π α− = 3 5 ± 3 10 ± 3 4 ± 3 10 10 ± 30 π=x )2sin()( ϕ+= xxf )(xf )3 2,6( ππ )6 5,3( ππ )3 4,6 5( ππ ),3 2( ππ    ≥− −= 1,2 ＜1,13)( 2 xaxx xxxf 2≤a 2＜a 2≥a 2>a )3ln()( += mxxf ]1,(−∞ 2-＜4＜m− 0＜3＜m− 0＜4＜m− 1-＜3＜m− 9. 如图，已知 ， ， ， ，则 A． B． C． D． 10.函数 的部分图像大致为 11. 函数 （其中 ， ， ）的一部分图象如图所示， 将函数上的每一个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 2 倍，得到的图象表示的函数可以 为 A． B． C． D． 12.定义在函数 上的函数 满足 ,则关于 的不等式 的解集为 A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分。） 13. 已知正方形 ABCD 的边长为 1， , 则 14. 已知 ，则 . 15.已知函数 ，则 的值为 . 16.设 ，若函数 在 上的最大值与最小值之差为 2，则 AB = a AC = b 3DC BD=  2AE EC=  DE = 3 1 4 3 −b a 5 3 12 4 −a b 3 1 4 3 −a b 5 3 12 4 −b a ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0ω > π 2 ϕ < ( ) πsin 3f x x = +   ( ) πsin 4 3f x x = +   ( ) πsin 6f x x = +   ( ) πsin 4 6f x x = +   ),0( +∞ )(xf 2 5)2(1,>)('2 =fxfx x x 1( ) < 3 e xf e − ),0( 2e )2ln,(−∞ )2ln,0( ),( 2 +∞e 4 3)sin(2 0 =+∫ dxx π ϕ =ϕ2sin 7)3(,2)1ln()( 2 =−++++= fx bxxaxf )3(f Rm∈ 3( ) | 3 |f x x x m= − − ]3,0[∈m ( ) 1-ln xf x = sin x1+ln x • , ,AB a BC b AC c= = =      a b c+ + =   实数 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分。（解答题写出文字说明、证明过程或步骤。） 17.(本小题满分 10 分）设 函数 的定义域为 R， ，使 得不等式 成立，如果“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假，求实数 a 的取值 范围。 18. (本小题满分 12 分）已知向量 ， ，其中 . （1）若 ，求角 的大小； （2）若 ，求 的值. 19. (本小题满分 12 分） 已知四边形 OACB 中，a、b、c 分别为 的内角 A、B、C 所对的边长，且满足 (1)证明： ； (2) ， 求四边形 OACB 面积的最大值。 20.(本小题满分 12 分）已知函数 的一条对 称轴为 . (1)求 的最小值； (2)当 取最小值时，若 ，求 的值； 21. (本小题满分 12 分）已知函数 ， . （1）判断函数 的奇偶性，并说明理由； （2）若方程 有实数解，求实数 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分） 已知函数 . k m :p axaxxf 4 1)( 2 +−= :q )1,0(∈∃x 0a＜-93 xx − p q p q ( )2sin ,1= θa ( )2cos , 1= −θb π0, 2  ∈   θ ⊥a b θ 2− =a b b tanθ ABC∆ ( )cos (2 cos cos )b c A a B C+ = − − 2ac =+b ,cb = 42OBOA),＜＜(0AOB ===∠ πθθ 2( ) 2(sin cos )cos ( 0)2f x x x xω ω ω ω= − + > π 8 3=x ω ω 0<<2,5 3)42( αππα −=+f )42sin(2 πα − xaxxxf ln2 1)( 2 +−= ( ) 1 1 xf x x −= + ( ) ( )22 xg x f= 3 )()( x xgxF = ( ) 1 0g x k− + = (1)当 a> 0 时，讨论函数 的单调性； (2)若函数 有两个极值点 ，证明: . 高三数学参考答案（理） 一、选择题：1--6. CCBADC 7—12 CBDAAB 二、填空题： 13. 14. 15. -3 16. 或 17．（本小题满分 10 分) 解：若命题 为真，即 恒成立，…………1 分 则 ，解得 .…………3 分 令 ，则 = ， ，…………4 分 所以 的值域为 ，若命题 为真，则 . …………6 分 由命题“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，可知 ， 一真一假，…7 分 当 真 假时， 不存在；当 假 真时， .…………8 分 所以实数 的取值范围是 . …………10 分 18.（本小题满分 12 分) 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】（1）由 ，得 ，即 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 或 ，解得 或 ． （ 2 ） 由 题 得 ， 由 ， 得 ， 即 π 12 =θ 5π 12 =θ tan 3θ = ⊥a b 0⋅ =a b 4cos sin 1 0− =θ θ 1sin 2 2 =θ π0, 2  ∈   θ ( )2 0,π∈θ π2 6 =θ 5π2 6 =θ π 12 =θ 5π 12 =θ ( )2sin 2cos ,2− = −θ θa b 2− =a b b ( )2 24− =a b b )(xf )(xf 21, xx 4 3 2 ln2->)()( 21 −+ xfxf 2 2 ，整理得 ， 因为 ，所以 ，等式两边同时除以 得， ，即 ，解得 或 ， 因为 ，所以 ． 19．（本小题满分 12 分) 解：（1）证明：由题意，结合正弦定理得： …………1 分 …………2 分 …………3 分 …………4 分 由正弦定理得： …………6 分 （2）解： ， ， 为等边三角形…………7 分 …………8 分 …………10 分 当且仅当 时， 取最大值 …………12 分 20．（本小题满分 12 分) 解：（1） = . ………………3 分 ( )2 24 sin cos 4 16cos 4θ θ θ− + = + 2 2sin 2sin cos 3cos 0θ θ θ θ− − = π0, 2  ∈   θ cos 0θ ≠ 2cos θ 2tan 2tan 3 0θ θ− − = ( )( )tan 3 tan 1 0θ θ− + = tan 3θ = tan 1θ = − π0, 2  ∈   θ tan 3θ = 因为函数 的一条对称轴为 ， 所以 ,所以 ………………5 分 所以 的最小值为 1 ………… 6 分 （2）由（1）知 ．…………7 分 由于 …………8 分 因为 ， …………… 9 分 …………10 分 . ………………12 分 21.（本小题满分 12 分) （1）∵函数 的定义域为 ， 对于任意的 ， ， = = ∴ 为偶函数 （2）由题意得 ∵ ，∴ 即 ， ∴ ，从而有： 又若方程 有实数解， 则 ，即 22. （本小题满分 12 分) 解：（1） .……1 分 ( )F x ( ) ( ),0 0,D = −∞ ∪ +∞ x D∈ 2 2 2 2 1( ) (2 ) 2 +1 x x xg x f −= = ( ) ( ) 3 g xF x x = 3 4 1 1 4 1 x x x − ⋅+ ( ) ( ) 3 g xF x x = ( )3 3 4 1 1 4 1 1( ) ( )4 1 4 1 x x x xF x F xxx − − − −− = ⋅ = ⋅ =+ +− ( )F x 2 2 2 2 2 1 2( ) (2 ) 12 +1 2 +1 x x x xg x f −= = = − 22 0x > 2 10 12 +1x < < 2 22 02 +1x − < − < 2 21 1 12 +1x − < − < 1 ( ) 1g x− < < ( ) 1g x k= − 1 1 1k− < − < 0 2k< < 当 即 时， ，所以 在 单调递增；……2 分 当 即 时，令 得 ， 且 ，在 上 ； 在 上 ； 所以 单调递增区间为 ； 单调递减区间为 . …………4 分 综上所述： 时， 在 单调递增； 时， 在区间 单调递增； 在区间 单调递减. …………5 分 （2） . 因为函数 有两个极值点 ， 所以有 ,且 ，得 . …………7 分 . …………9 分 令 （ ）， 则 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，…………11 分 所以 . …………12 分