2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期中自主练习数学试题（解析版）

2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期中自主练习数学试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期中自主练习数学试题 一、单选题 ‎1．若实数且，则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据不等式的性质知， 时，恒有，故选B．‎ ‎2．数列的一个通项公式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知中数列， ， ， ，…‎ 可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，‎ 又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负 故可用(−1)n+1来控制各项的符号，‎ 故数列的一个通项公式为 ‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．‎ ‎3．不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得： ，即，解得或，所以选A．‎ ‎4．若的三个内角满足，则一定是（ ）‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，由余弦定理，所以，故选C．‎ ‎5．中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何，其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的，已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈，问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）.‎ A. 390 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设每天多织布d尺，由题意得： ，解得，每天多织布尺，故选C．‎ ‎6．已知等比数列的各项均为正数，且成等差数列，则（ ）‎ A. 1 B. 3 C. 6 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵等比数列的各项均为正数,且， ， 成等差数列，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 解得 (舍)或，‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ 点睛：等差中项的性质：若成等差，则.‎ 等比数列的通项公式： .‎ ‎7．在中， ， ，其的面积等于，则等于（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，由余弦定理，所以，故选C．‎ ‎8．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】因为定义域为R，所以恒成立，当时显然成立，当时， 解得，综上，故选A．‎ ‎9．在中，已知， ， ，如果三角形有两解，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由余弦定理得,即,故由题设且,解之得，所以应选A.‎ ‎【考点】余弦定理及运用．‎ ‎10．在等比数列中， ， ，则（ ）‎ A. 2 B. C. 2或 D. -2或 ‎【答案】C ‎【解析】等比数列中， ，又，所以或,所以或，故选C．‎ 点睛：本题主要考查等比数列的性质的综合运用，属于中档题．在等比数列中，根据项的下标的关系，可得，同时根据等比数列的通项公式可知，两项下标之差相等，则两项的比值相等，注意这些性质在解题中的灵活运用．‎ ‎11．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由原不等式得： ，当时，解得，因为解集中恰有3个整数，所以，当时，解得，因为解集中恰有3个整数，所以，综上，故选D．‎ ‎12．已知锐角是的一个内角， 是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得： ，所以 由余弦定理有，‎ 即，所以，故选B．‎ 二、填空题 ‎13．在中，角的对边分别为，若， ， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得： ，再有余弦定理得，解得，故填: ．‎ ‎14．已知等差数列的前项和为，且， __________．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】因为，所以， ，故填．‎ ‎15．设满足约束条件，目标函数，若最大值为2，则的值等于__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】作出可行域如图：‎ 作直线： ，平移直线，当直线过点时， 取得最大值，即，解得，填2．‎ 点睛：本题考查线性规划问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，根据条件可知斜率为负，显然直线越上移越大，只有当直线过点时取最小值，从而求出．‎ ‎16．若关于的不等式对任意在上恒成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：当时， 的最大值为，则关于的不等式对任意在上恒成立，即对上恒成立，因为的图象开口向上，且以为对称轴的抛物线，则当时， 在上单调递减，若，即，解得，当时， 在上单调递减，在单调递增，若，即，不符合题意，所以．‎ ‎【考点】函数的恒成立及二次函数性质的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了了二次函数的图象与性质及函数的恒成立问题的求解，属于难度较大的试题，其中熟练掌握指数函数的性质及二次函数的图象与性质是解答的关键，本题的解答中根据指数函数的性质，可得当时， 的最大值为，则可将问题转化为对任意在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，可求得实常数的取值范围．‎ 三、解答题 ‎17．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且， ‎ ‎， .‎ ‎（1）若，求的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）21或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为，等比数列 的公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程解方程可得 ， ，即可得到所求通项公式； （2）运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等差数列的通项公式和求和，计算即可得到所求和．‎ 试题解析：（1）设的公差为d，的公比为q，则,.由得 d+q=3.①‎ ‎（1）由得②‎ 联立①和②解得（舍去），‎ 因此的通项公式 ‎（2）由得.‎ 解得 当时，由①得，则.‎ 当时，由①得，则.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简整理的运算能力，其中求出公差和公比是解题的关键，．‎ ‎18．某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲万件并全部销售完，每一万件的销售收入为万元，且（），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为（万元），（注：利润=销售收入-成本）‎ ‎（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；‎ ‎（2）为了让年利润不低于2360万元，求年产量的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2760；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据利润=销售收入-成本，写出年利润的函数，利用均值不等式求最值即可；‎ ‎（2）转化为关于年产量的一元二次不等式，解不等式即可求解．‎ 试题解析：‎ ‎(1) ‎ ‎，‎ 当且仅当时，“=”成立， ‎ ‎，即年利润的最大值为2760． ‎ ‎(2) 解： ‎ 整理得， ‎ 解得： ，又，所以时 ‎ 答：为了让年利润不低于2360万元，年产量的范围是．‎ 点睛：本题主要考查了函数问题，不等式求最值问题，属于中档题．解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件可提取负号后，直接应用均值不等式．‎ ‎19．位于处的雷达观测站，发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站北偏东（）的处， ，在离观测站的正南方某处，测得.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求该船的行驶速度（海里/小时）‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的关系求，根据，利用两角差的余弦公式即可求出；（2）利用余弦定理， ，求出行驶速度．‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）利用余弦定理 ‎ 该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，‎ 该船的行驶速度（海里/小时）．‎ ‎20．设的内角的对应边分别为，若向量与向量共线，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若外接圆的半径为14，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量共线可得，再根据余弦定理即可得出；‎ ‎（2）由正弦定理求a，根据（1）可知b,c,再根据三角形面积公式求解．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由共线,得,所以 ‎ 设,由已知, ,即 ‎ ‎ 从而, ‎ ‎(2)由正弦定理,得 ． ‎ 由（1）设即,所以 ‎ ‎ 所以 ‎ 所以的面积为． ‎ 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小．‎ ‎21．在数列中， ，前项和满足.‎ ‎（1）求证：当时，数列为等比数列，并求通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时， ，两式相减得，可证数列是等比数列，从而求出通项公式；（2）根据数列的通项特点，利用错位相减法求其和．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ 当时， 得， ‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎(2)当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ 经检验时， 也适合上式．‎ ‎ ．‎ 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．‎ ‎22．设函数 ‎（1）当时，求函数的值域；‎ ‎（2）若，求不等式恒成立时实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，分类讨论去掉绝对值转化为分段函数，即可求出值域；‎ ‎（2）根据原不等式可转化为恒成立，只需求其最小值,可利用绝对值不等式的性质求其最小值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意得,当时, ‎ 在上单调递增,‎ ‎ 的值域为． ‎ ‎(2)由不等式恒成立,‎ 有恒成立,即 ‎ 而 ‎ ‎ 解得或． ‎