四川省成都市2021届摸底考试数学文科答案

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高三数学(文科)摸底测试参考答案 　 第 １　　　　 页(共 ５ 页) 成都市 ２０１８ 级高中毕业班摸底测试 数学(文科)参考答案及评分意见 第 Ⅰ 卷(选择题,共 ６０ 分) 一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分) １．C; ２．B; ３．D; ４．C; ５．B; ６．A; ７．C; ８．B; ９．C; １０．D; １１．A; １２．D ． 第 Ⅱ 卷(非选择题,共 ９０ 分) 二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分) １３．１２．３; １４．２x＋y－１＝０; １５． 乙; １６．２－１．三、解答题:(共 ７０ 分) １７． 解:(Ⅰ)∵ 第三组的频率为 １－ ０．０４＋０．０６＋０．０３＋０．０２＋０．０１ ( ) ×５＝０．２, ƺƺ２ 分 ∴ 第三组直方图的高为０．２ ５ ＝０．０４．　　 ƺƺ３ 分 补全频率分布直方图如下图: ƺƺ４ 分 由频率分布直方图,知 m ＝０．０２×１０００＝２００,n＝０．０２× (５０－４５)×１０００＝１００． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知年龄在 ３０,３５ [ ) 段中的人数与年龄在 ３５,４０ [ ) 段中的人数的比值为３００ ２００ ＝ ３ ２ ． 所以采用分层抽样法抽取 ５ 名,年龄在 ３０,３５ [ ) 段中的有 ３ 名,年龄在 ３５,４０ [ ) 段中的 有 ２ 名 ． ƺƺ８ 分 不妨设年龄在 ３０,３５ [ ) 段中的 ３ 名为A１,A２,A３,年龄在 ３５,４０ [ ) 段中的 ２ 名为B１,B２． 由于从 ５ 名代表中任选 ２ 名作交流发言的所有可能情况有:{A１,A２},{A１,A３},{A１,B１}, {A１,B２},{A２,A３},{A２,B１},{A２,B２},{A３,B１},{A３,B２},{B１,B２}．共 １０ 种 ． ƺƺ１０ 分 其中选取的 ２ 名发言者中恰有 １ 名年龄在 ３５,４０ [ ) 段的情况有:{A１,B１},{A１,B２}, 高三数学(文科)摸底测试参考答案 　 第 ２　　　　 页(共 ５ 页) 　　{A２,B１},{A２,B２},{A３,B１},{A３,B２}． 共 ６ 种 ． ƺƺ１１ 分 　 故所求概率为P ＝ ６ １０ ＝３ ５ ． ƺƺ１２ 分 １８． 解:( Ⅰ)∵f′ (x)＝３x２ ＋４ax＋b ,且函数f(x)在x＝－１ 处有极值 ０, ∴ f′ (－１)＝０, f(－１)＝０．{ 即 ３－４a＋b＝０, －１＋２a－b＋a－１＝０．{ ƺƺ３ 分 解得 a＝１, b＝１．{ ƺƺ５ 分 又当a＝１,b＝１ 时,f′ (x)＝３x２ ＋４x＋１＝３(x＋１)(x＋ １ ３ )． 当x ∈ (－ ¥,－１)时,f′ (x)＞０,此时f(x)单调递增; 当x ∈ (－１,－ １ ３ )时,f′ (x)＜０,此时f(x)单调递减; 当x ∈ (－ １ ３ ,＋ ¥)时,f′ (x)＞０,此时f(x)单调递增 ． 故f(x)在x＝－１ 处取得极大值 ．综上,a＝１,b＝１． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)当a＝１,b＝１ 时,f(x)＝x３＋２x２＋x ． 则f′ (x)＝３x２＋４x＋１＝３(x＋１)(x＋１ ３ )． 　　 当x 变化时,f′ (x)与f(x)的变化情况如下表: x －１ (－１,－ １ ３ ) － １ ３ (－ １ ３ ,１) １ f′ (x) － ０ ＋ f(x) ０ 单调递减 ↘ 极小值 － ４ ２７ 单调递增 ↗ ４ 　　∴ 当x＝１ 时,f(x)取得最大值 ４． ƺƺ１２ 分 １９． 解:(Ⅰ)在图 ① 中,连接BD． ∵ 四边形 ABCD 为菱形,∠A＝６０°,∴△ABD 是等边三角形 ． ∵E 为AD 的中点,∴BE ⊥ AE ,BE ⊥ DE． ƺƺ１ 分 又 AD ＝AB ＝２,∴ AE ＝DE ＝１． 在图 ② 中,AD ＝ ２ ,∴ AE２ ＋ED２ ＝AD２． ∴ AE ⊥ED． ƺƺ２ 分 ∵BC ∥ DE,∴BC ⊥BE,BC ⊥ AE． 又BE ∩ AE ＝E,AE,BE ⊂ 平面 ABE． ∴BC ⊥ 平面 ABE． ƺƺ４ 分 ∵BC ⊂ 平面 ABC,∴ 平面 ABE⊥ 平面 ABC． ƺƺ６ 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在图 ② 中,AE ⊥ DE ,AE ⊥BE． ∵BE ∩ DE ＝E,BE,DE ⊂ 平面BCDE． ∴ AE ⊥ 平面BCDE． ƺƺ７ 分 在图 ① 的等边 △ ABD 中,AB ＝２,E 为AD 的中点,∴BE ＝ ３ ． ∵P 为AC 的中点,VP－ABD ＝１ ２ VC－ABD ＝１ ２ VA－BCD , ƺƺ９ 分 高三数学(文科)摸底测试参考答案 　 第 ３　　　　 页(共 ５ 页) 又VA－BCD ＝１ ３ SΔBCD ŰAE ＝１ ３ × １ ２ ×２× ３×１＝ ３ ３ , ƺƺ１１ 分 ∴VP－ABD ＝１ ２ VA－BCD ＝ ３ ６ ． ƺƺ１２ 分 ２０． 解:(Ⅰ)设圆x２ ＋y２ ＝４ 上任意一点 M(x,y)经过伸缩变换φ: x′＝x y′＝ １ ２ y ì î í ïï ïï 得到对应点 M′(x′,y′)． 将x＝x′,y＝２y′ 代入x２ ＋y２ ＝４ 中 ,得x′２ ＋ (２y′)２ ＝４,化简得x′２ ４ ＋y′２ ＝１． ∴ 曲线C 的方程为x２ ４ ＋y２ ＝１． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)由题知SΔABM ＋SΔBMN ＝１ ２ |BM |(|OA|＋|ON|)＝１ ２ |AN|Ű|BM |． ƺƺ６ 分 设P(x０,y０),则x０ ２ ４ ＋y０ ２ ＝１,即x０ ２ ＋４y０ ２ ＝４． 直线PA 的方程为y＝ y０ x０ －２ (x－２),设点 M 的纵坐标为yM ． 令x＝０,得yM ＝－ ２y０ x０ －２． ƺƺ７ 分 则|BM |＝|１＋ ２y０ x０ －２ |＝| x０ ＋２y０ －２x０ －２ |． ƺƺ８ 分 直线PB 的方程为y＝ y０ －１x０ x＋１,设点 N 的横坐标为xN ． 令y＝０,得xN ＝－ x０ y０ －１ ． ƺƺ９ 分 则|AN|＝|２＋ x０ y０ －１ |＝| x０ ＋２y０ －２ y０ －１ |． ƺƺ１０ 分 ∴|AN|Ű|BM |＝| x０ ＋２y０ －２ y０ －１ |Ű| x０ ＋２y０ －２x０ －２ | ＝| x０ ２ ＋４y０ ２ ＋４x０y０ －４x０ －８y０ ＋４x０y０ －x０ －２y０ ＋２ | ＝|４x０y０ －４x０ －８y０ ＋８x０y０ －x０ －２y０ ＋２ |＝４． ƺƺ１１ 分 ∴SΔABM ＋SΔBMN ＝１ ２ |AN|Ű|BM |＝２． ƺƺ１２ 分 ２１． 解:(Ⅰ)∵f(x)＝(x－１)lnx,∴f′ (x)＝lnx－ １x ＋１． ƺƺ１ 分 设F(x)＝f′ (x)＝lnx－ １x ＋１,x ＞０．则F′ (x)＝１x ＋ １x２ ＝x＋１x２ ＞０． ƺƺ２ 分 ∴F(x)在 (０,＋ ∞)上单调递增 ． ƺƺ３ 分 又F(１)＝０, 高三数学(文科)摸底测试参考答案 　 第 ４　　　　 页(共 ５ 页) ∴ 当x ∈ (０,１)时,f′ (x)＜０;当x ∈ (１,＋ ∞)时,f′ (x)＞０．所以f(x)在 (０,１)上单调递减,在 (１,＋ ¥)上单调递增 ． ƺƺ５ 分 (Ⅱ)讨论函数f(x)与g(x)图象在[１ e ２ ,e ２]上的公共点个数,等价于讨论方程 f(x)－g(x)＝０ 在[１ e ２ ,e ２]上的根的个数． 即方程 (x－１)(lnx＋ax＋１)＝０ 在[１ e ２ ,e ２]上的根的个数 ． 易知x＝１ 是f(x)－g(x)＝０ 在[１ e ２ ,e ２]上的一个根． ƺƺ６ 分 设G(x)＝lnx＋ax＋１,x∈[１ e ２ ,e ２]． 则方程f(x)－g(x)＝０ 在[１ e ２ ,e ２]上的根的个数即函数G(x)在[１ e ２ ,e ２]上不等于 １ 的 零点个数加 １． 令G(x)＝０,则 －a＝lnx＋１x ．设 K(x)＝lnx＋１x ,x∈[１ e ２ ,e ２]． 故G(x)的零点个数等价于直线y＝－a 与曲线y＝K(x)的公共点个数 ． ƺƺ７ 分 ∵K′(x)＝－lnx x２ , ∴ 当x∈[１ e ２ ,１)时,K′(x)＞０,此时 K(x)在[１ e ２ ,１)上单调递增; 当x∈(１,e ２]时,K′(x)＜０,此时 K(x)在(１,e ２]上单调递减． ∴K(x)的最大值为 K(１)＝１． 又 K(１ e ２ )＝－e ２,K(e ２)＝３ e ２ , ƺƺ８ 分 ∴ 由其函数图象性质,可得: ① 当 －a＝１,即a＝－１ 时,直线y＝－a 与曲线y＝K(x)有 １ 个公共点,但此时G(１)＝０; ƺƺ９ 分 ② 当 －a＞１ 或 －a＜－e ２,即a＜－１ 或a＞e ２ 时,直线y＝－a 与曲线y＝K(x)无公共点; ƺƺ１０ 分 ③ 当３ e ２ ≤－a＜１,即 －１＜a≤－３ e ２ 时,直线y＝－a 与曲线y＝K(x)有 ２ 个公共点; ƺƺ１１ 分 ④ 当 －e ２ ≤－a＜３ e ２ ,即 －３ e ２ ＜a≤e ２ 时,直线y＝－a 与曲线y＝K(x)有 １ 个公共点． 综上所述,在[１ e ２ ,e ２]上,当a≤－１ 或a＞e ２ 时,f(x)与g(x)的图象有且只有 １ 个公共 点;当 －１＜a≤－３ e ２ 时,f(x)与g(x)的图象有 ３ 个公共点;当 －３ e ２ ＜a≤e ２ 时,f(x)与 g(x)的图象有 ２ 个公共点． ƺƺ１２ 分 高三数学(文科)摸底测试参考答案 　 第 ５　　　　 页(共 ５ 页) ２２．解:(Ⅰ)由直线l的参数方程,消去参数t,得直线l的普通方程为x－y－１＝０． ƺƺ２ 分 由ρ２ ＝x２ ＋y２,ρcosθ＝x,ρsinθ＝y ,得曲线C 的直角坐标方程为 (x－３)２ ＋y２ ＝９． ƺƺ４ 分 (Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,并整理得 t２ －２ ２t－５＝０．ƺ(∗) ƺƺ６ 分 设t１,t２ 是方程(∗)的两个实数根,则有 Δ＝２８＞０,t１ ＋t２ ＝２ ２,t１t２ ＝－５． ƺƺ８ 分 ∴ １|PA|２ ＋ １|PB|２ ＝|PA|２ ＋|PB|２ |PA|２ Ű|PB|２ ＝ (t１ ＋t２)２ －２t１t２ |t１t２|２ ＝ (２２) ２ －２×(－５) |－５|２ ＝１８ ２５ ． ƺƺ１０ 分