【数学】2018届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

【数学】2018届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

第十一章　选修4－4坐标系与参数方程 　【P166】‎ 第73讲　坐标系 夯实基础　【P166】‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．‎ ‎【基础检测】‎ ‎1．在同一平面直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换后，变成直线____________．‎ ‎【解析】由伸缩变换得 将其代入x－2y＝2，得2x′－y′＝4，即变换后的直线方程为2x－y＝4.‎ ‎【答案】2x－y＝4‎ ‎2．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcos－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是________．‎ ‎【解析】因为ρ2－4ρcos－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－1＝0，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－1＝0，因此圆心坐标为(1，)．‎ ‎【答案】(1，)‎ ‎3．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程是________．‎ ‎【解析】O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OB＝2＝，化简得ρ＝－2cos θ.‎ ‎4．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为、，求△AOB(其中O为极点)的面积．‎ ‎【解析】由题意知A、B的极坐标分别为、，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin＝3.‎ ‎5．求在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程．‎ ‎【解析】点在直角坐标系下的坐标为 ，即(0，2)．‎ ‎∴过点(0，2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.‎ 其极坐标方程为ρsin θ＝2.‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：____的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的__坐标伸缩变换__，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系与点的极坐标 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．‎ 设M是平面上任意一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边、射线OM为终边所成的角．那么，有序数对__(ρ，θ)__称为点M的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M的__极径__，θ称为点M的__极角__．‎ 由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．‎ ‎3．坐标之间的互化 点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：‎ ‎____，__(x≠0)__．‎ 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π.‎ ‎4．直线的极坐标方程 ‎(1)特殊位置的直线的极坐标方程：‎ 直线 极坐标方程 图　　形 过极点，‎ 倾斜角 为α θ＝__α__(ρ∈R)或θ＝__π＋α__(ρ∈R)(θ＝α和θ＝π＋α(ρ≥0))‎ 过点(a，0)，‎ 与极轴垂直 ‎__ρcos__θ__＝a 过点，‎ 与极轴平行 ‎__ρsin__θ__＝a ‎(0<θ<π)‎ ‎(2)一般位置的直线的极坐标方程：若直线l经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，直线l的极坐标方程为：‎ ‎__ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)__．‎ ‎5．半径为r的圆的极坐标方程 ‎(1)特殊位置的圆的极坐标方程：‎ 圆心 极坐标方程 图　　形 ‎(0，0)‎ ρ＝__r__‎ ‎(0≤θ<2π)‎ ‎(r，0)‎ ρ＝__2rcos__θ__‎ ρ＝2rsin θ ‎(0≤θ<π)‎ ‎(r，π)‎ ρ＝－2rcosθ ρ＝－2rsin θ ‎(π≤θ<2π)‎ ‎(2)一般位置圆的极坐标方程：若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的极坐标方程是ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.‎ 典 例 剖 析　【P167】‎ 考点1　平面直角坐标系下图形的伸缩变换 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出C的参数方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ 故C的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ ‎【点评】1.解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．‎ ‎2．求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入转化．‎ 考点2　极坐标与直角坐标的互化 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎【解析】(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0.‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎【点评】1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcosθ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．‎ ‎2．进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧．‎ 考点3　极坐标方程的应用 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【解析】(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎【点评】(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．‎ 方 法 总 结　　【P168】‎ ‎1．点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应．‎ ‎2．极坐标和直角坐标的互化公式是或.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn时，方程增了一个n重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解．‎ ‎3．极坐标方程的应用及求法 ‎(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单．‎ ‎(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题．‎ ‎(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝．‎ ‎(4)极坐标系内点的对称关系：①点P(ρ，θ)关于极点的对称点P′(ρ，θ±π)；②点P(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点P′(ρ，－θ)；③点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′(ρ，π－θ)；④点P(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点为P′.‎ ‎4．极坐标系下A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)间的距离公式|AB|＝.‎ 走 进 高 考　　【P168】‎ ‎(2016全国新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ ‎【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.‎ C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知得tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcosθ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，‎ 所以a＝1.‎ 考 点 集 训　　【P269】‎ A组题 ‎1．求双曲线C：x2－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．‎ ‎【解析】设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，‎ 将代入x2－＝1，‎ 得－＝1，化简得－＝1，‎ 即－＝1为曲线C′的方程．‎ 可见仍是双曲线，则焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)．‎ ‎2．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离．‎ ‎【解析】依题可知直线l：2ρsin＝和点A的直角坐标表示法为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.‎ ‎3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．‎ ‎【解析】圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，‎ 即＋y2＝，‎ 直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.‎ 因为圆与直线相切，所以＝，‎ 解得a＝－3±3.‎ ‎4．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程．‎ ‎【解析】在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1，0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝‎ ＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 则ρ2＝2ρcos θ，∴x2＋y2＝2x，‎ 故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎5．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos上的动点，求|PQ|的最大值．‎ ‎【解析】将曲线C1的极坐标方程化为直角坐标方程：‎ ‎∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，‎ 即x2＋(y－6)2＝36.‎ 将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程：‎ ‎∵ρ＝12cos，‎ ‎∴ρ2＝12ρ，‎ ‎∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，‎ ‎∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.‎ ‎6．已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos (k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．‎ ‎【解析】∵ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ ‎∴ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，‎ 即＋＝k2，‎ ‎∴圆心的直角坐标为.‎ ‎∵ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ ‎∴－|k|＝2.‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，‎ 两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ ‎∴或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ B组题 ‎1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎2．在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：‎ ‎(1)直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)极点到该直线的距离．‎ ‎【解析】(1)如图，由正弦定理得 ＝.‎ 即ρsin＝sin＝，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(2)作OH⊥l，垂足为H，‎ 在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，‎ 则OH＝OAsin＝，‎ 即极点到该直线的距离等于.‎ ‎3．在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acos θ(a>0)，l：ρcos＝，曲线C与l有且仅有一个公共点．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．‎ ‎【解析】(1)曲线C是以(a，0)为圆心，以a为半径的圆；‎ l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.‎ 由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1.‎ ‎(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，‎ 则|OA|＋|OB|＝2cos θ＋2cos ‎＝3cos θ－sin θ＝2cos，‎ 当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．‎ ‎【解析】(1)C1：x2＋2y2＝2，l：y＋x＝4.‎ ‎(2)设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离 d＝＝≥＝，‎ 当且仅当θ＋＝2kπ＋，‎ 即θ＝2kπ＋(k∈Z)时，‎ Q点到直线l距离的最小值为.‎ 第74讲　参数方程 夯实基础　【P169】‎ ‎【学习目标】‎ ‎1．了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题．‎ ‎2．掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程．‎ ‎【基础检测】‎ ‎1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．y＝x－2 B．y＝x＋2‎ C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)‎ ‎【解析】消去参数，转化为普通方程得y＝x－2，其中x∈[2，3]，y∈[0，1]．故选C.‎ ‎【答案】C ‎2．参数方程(t为参数)表示的曲线是________．‎ ‎【解析】由x＝t＋知x≥2或x≤－2，‎ ‎∴曲线方程为y＝2(x≥2或x≤－2)，表示两条射线．‎ ‎【答案】两条射线 ‎3．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆(θ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．‎ ‎【解析】椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1，0)．‎ 直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点(1，0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0.‎ 由得4x2－2x－11＝0，所以所求的弦长为×＝.‎ ‎【答案】 ‎4．已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值．‎ ‎【解析】直线l1的普通方程为y＝－x＋，斜率为－；‎ 直线l2的普通方程为y＝－2x＋1，斜率为－2.‎ ‎∵l1与l2垂直，‎ ‎∴×(－2)＝－1⇒k＝－1.‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．参数方程的定义 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，即____，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．‎ ‎2．参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程：__消去参数__，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎3．直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (θ为参数)‎ 双曲线 －＝1‎ (θ为参数)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ 典 例 剖 析　【P169】‎ 考点1　参数方程与普通方程的互化 已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ‎(1)求曲线C与直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．‎ ‎【解析】(1)由得 ‎①的平方加②的平方得曲线C的普通方程为：‎ x2＋(y－m)2＝1.‎ 由x＝1＋t，得t＝x－1，代入y＝4＋t得 y＝4＋2(x－1)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.‎ ‎(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，‎ 所以由勾股定理得＋＝1，‎ 解得m＝3或m＝1.‎ ‎【点评】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．‎ ‎2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．‎ 考点2　直线与圆的参数方程及应用 在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3的交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ ‎【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎【点评】(1)过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1、P2对应的参数分别为t1、t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2)．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ 考点3　参数方程与极坐标方程的综合问题 极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求＋的值．‎ ‎【解析】(1)由ρsin2θ＝8cos θ得，ρ2sin2θ＝8ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.‎ ‎(2)易得直线l与x轴的交点为F(2，0)，‎ 将直线l的方程代入y2＝8x，‎ 得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，‎ 整理得sin2α·t2－8cos α·t－16＝0.‎ 由已知sin α≠0，‎ Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，‎ ‎∴t1＋t2＝，t1t2＝－＜0，‎ 故＋＝|－|＝||＝＝＝.‎ ‎【点评】利用椭圆的参数方程求最值，一般是将相关量利用(θ为参数)转化为三角函数，结合三角函数有关公式，求最值．‎ 方法总结　　【P170】‎ ‎1．选取参数时的一般原则是：(1)x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．‎ ‎2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P(x，y)；(2)选择适当的参数；(3)找出x，y与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略)．‎ ‎3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：(1)若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1－t2|；(2)若M0为线段M1M2的中点，则有t1＋t2＝0；(3)若线段M1M2的中点为M，则M0M＝tM＝.一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则tP＝.‎ ‎4．直线的参数方程的一般式(t为参数)，是过点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2＋b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是(t′∈R)，式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．‎ ‎5．参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．‎ ‎6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．‎ ‎7．在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．‎ ‎8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．‎ 走 进 高 考　　【P170】‎ ‎1．(2016全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ ‎【解析】(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入圆C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11，‎ 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝，得cos2α＝，则tan α＝±，‎ 所以l的斜率为或－.‎ 考 点 集 训　　【P271】‎ A组题 ‎1．求直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截得的弦长．‎ ‎【解析】直线方程可化为x＋y－＝0，‎ 曲线方程可化为x2＋＝1.‎ 由得x2－x＝0，∴x＝0或x＝1.‎ 可得交点为A(0，)，B(1，0)．‎ ‎∴AB＝＝2.‎ ‎∴所截得的弦长为2.‎ ‎2．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．‎ ‎【解析】直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，直线与圆相切，则圆心(2，0)到直线的距离为，从而有＝，即3a2＋3b2＝4b2，∴b＝±a，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝，∴tan α＝±，因此切线的倾斜角为或.‎ ‎3．已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程：(t为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程．‎ ‎【解析】∵直线l的直角坐标方程为x－y＋＝0.‎ ‎∴原点到直线的距离r＝＝1.‎ ‎∴以极点为圆心且与直线l相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，求AB的长．‎ ‎【解析】直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立解得或 所以A，B.‎ 所以|AB|＝＝2.‎ ‎5．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ ‎【解析】(1)由已知可得A，‎ B，‎ C，‎ D，‎ 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cos φ，3sin φ)，‎ 令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，‎ 则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32，52]．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎(2)判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎【解析】(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，‎ .又P为线段MN的中点，‎ 从而点P的平面直角坐标为，‎ 故直线OP的直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，，‎ 所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.‎ 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，‎ 圆心到直线l的距离d＝＝＜r.‎ 故直线l与圆C相交．‎ B组题 ‎1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M(2，－1)，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求|MA|·|MB|的值．‎ ‎【解析】(1)两式相加消去参数t可得曲线C1的普通方程y＝－x＋1，‎ 由曲线C2的极坐标方程得ρ2＝⇒ρ2＋3ρ2sin2θ＝4，‎ 整理可得曲线C2的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知曲线C1的方程为y＝－x＋1，‎ 且点M(2，－1)在曲线C1上，所以把直线C1的参数方程化为(s为参数)与曲线C2的方程联立可得：‎ ‎5s2－12s＋8＝0，‎ 利用根与系数的关系可得|MA|·|MB|＝s1·s2＝.‎ ‎2．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，曲线C1经过坐标变换得到曲线C2，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．‎ ‎(1)求直线l的普通方程和曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎(2)若P为曲线C2上的点，求点P到直线l的距离的最大值．‎ ‎【解析】(1)直线l的普通方程为x－y－2＝0，曲线C1的直角坐标方程为3x2＋4y2＝12，‎ 即＋＝1.‎ ‎(2)由题意知，曲线C2的方程为x′2＋y′2＝1，其圆心C2(0，0)，半径r＝1，‎ 所以圆心C2到直线l的距离d＝＝，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋1＝＋1.‎ ‎3．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t是参数)．‎ ‎(1)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m的值．‎ ‎(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．‎ ‎【解析】(1)曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，‎ 直线l的直角坐标方程为y＝x－m.‎ 由|AB|＝，得圆心到直线l的距离(弦心距)d＝＝，于是＝，‎ ‎∴|m－2|＝1，∴m＝1或m＝3.‎ ‎(2)曲线C的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，其参数方程为 (θ为参数)．‎ ‎∵M(x，y)为曲线C上任意一点，‎ ‎∴x＋y＝2＋2sin，‎ ‎∴x＋y的取值范围是[2－2，2＋2]．‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－4xcos θ－4ysin θ＋7cos2θ－8＝0(θ∈R，θ为参数)的圆心轨迹为曲线C，点P在曲线C上运动．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为2ρcos＝3，求点P到直线l的最大距离．‎ ‎【解析】将动圆的方程配方，得 ‎(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝9＋3sin2θ，‎ 设圆心(x，y)，则(θ∈R，θ为参数)，‎ 即曲线C的参数方程为(θ∈R，θ为参数)，‎ 直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0，‎ 设点P(x1，y1)，则(θ∈R，θ为参数)，点P到直线l的距离d＝ ‎＝，‎ 其中tan φ＝－.‎ ‎∴当sin(θ＋φ)＝－1时，点P到直线l的距离d取得最大值.‎