高考数学专题复习：《空间向量及其运算》同步训练题

高考数学专题复习：《空间向量及其运算》同步训练题

‎《空间向量及其运算》同步训练题 一、选择题 ‎1、空间四边形OABC中，OB=OC，ÐAOB=ÐAOC=600，则cos= （ ）‎ ‎ A． B． C．- D．0‎ ‎2、设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则DBCD是 （ ）‎ ‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 ‎3、已知空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则= （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎4、已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量的夹角是（ ）‎ ‎ A．0 B． C． D．‎ ‎5、与向量平行的一个向量的坐标是 （ ）‎ ‎ A．（，1，1） B．（－1，－3，2） ‎ ‎ C．（－，，－1） D．（，－3，－2）‎ ‎6、已知平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，则等于 （ ）‎ ‎ A．85 B． C． D．50‎ ‎7、在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是 （ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎8、在平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中图 ，M为AC与BD的交点，若=，=，=.则下列向量中与相等的向量是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9、已知A（1，1，1）、B（2，2，2）、C（3，2，4），则ABC的面积为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10、已知，则的最小值为 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎11、若，，则为邻边的平行四边形的面积为 ．‎ ‎12、已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，则x、‎ y、z的值分别为 ．‎ ‎13、已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则DABC的形状是 ．‎ ‎14、已知向量，，若成1200的角，则k= ．‎ 三、解答题 ‎15、（14分）如图，已知平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.‎ ‎（1）证明：C1C⊥BD；‎ ‎（2）假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；‎ ‎（3）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. ‎ ‎16、（12分）如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．‎ ‎17、（12分）如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.‎ ‎（1）求向量的坐标；‎ ‎（2）设向量和的夹角为θ，求cosθ的值 图 ‎18、（12分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．‎ ‎19、（14分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A‎1A的中点.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求cos< >的值；‎ ‎（3）求证：A1B⊥C1M.‎ ‎20、（12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， ={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.‎ ‎（1）求证：PA⊥底面ABCD；‎ ‎（2）求四棱锥P—ABCD的体积；‎ ‎（3）对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：‎ ‎（×）·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（×）·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（×）·的绝对值的几何意义.．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D；解析：建立一组基向量，再来处理的值．‎ ‎2、B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．‎ ‎3、B；解析：显然．‎ ‎4、C；解析：，计算结果为－1．‎ ‎5、C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．‎ ‎6、B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，．‎ ‎7、A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．‎ ‎8、A；解析：=+（－）=－++．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.‎ ‎9、D；解析：应用向量的运算，显然，从而得．‎ ‎10、C；‎ 二、填空题 ‎11、；解析：，得，可得结果．‎ ‎12、；‎ 解析：‎ ‎13、直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：．‎ ‎14、；解析：，得．‎ 三、解答题 ‎15、（1）证明：设=，=，=，则| |=||，∵=－，‎ ‎∴·=（－）·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，‎ ‎∴C1C⊥BD.‎ ‎（2）解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，则∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角.‎ ‎∵（+），（+）－‎ ‎∴·（+）·［（+）－］‎ ‎=（2+2·+2）－·－·‎ ‎=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.‎ 则||=，||=，∴cosC1OC=‎ ‎（3）解：设=x，CD=2， 则CC1=.‎ ‎∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C ‎∴只须求满足：=0即可.‎ 设=，=，=，‎ ‎∵=++，=－，‎ ‎∴=（++）（－）=2+·－·－2=－6，‎ 令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.‎ 评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.‎ ‎16、解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）．‎ 由于M为的中点，取中点O'，所以M（，，），O'（，，a）．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，，a）．‎ 根据空间两点距离公式，可得 ‎．‎ ‎17、解：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.‎ OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.‎ ‎∴D点坐标为（0，－），即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.‎ ‎（2）依题意：，‎ 所以.‎ 设向量和的夹角为θ，则 cosθ=.‎ ‎18、证：如图设，则分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：‎ 展开得 ‎∴，∵≠，≠，‎ ‎∴⊥（）即SA⊥BC．‎ 同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．‎ ‎19、如图，图 建立空间直角坐标系O—xyz.‎ ‎（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）‎ ‎∴| |=.‎ ‎（2）依题意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2）‎ ‎∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=‎ ‎∴cos<，>=.‎ ‎（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.‎ 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.‎ ‎20、（1）证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.‎ 又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.‎ ‎∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.‎ ‎（2）解：设与的夹角为θ，则 cosθ=‎ V=||·||·sinθ·||=‎ ‎（3）解：|（×）·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.‎ 猜测：|（×）·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.‎ 评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.‎