2018-2019学年重庆市大足区高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市大足区高二下学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市大足区高二下学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数的模是( )‎ A．3 B．4 C．5 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接利用复数的模的定义求得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎|， 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的模的定义和求法，属于基础题．‎ ‎2．函数导数是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据导数的基本公式和运算法则求导即可．‎ ‎【详解】‎ ‎， 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的基本公式和运算法则，属于基础题．‎ ‎3．已知一段演绎推理：“因为指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”，则这段推理的( )‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论正确 D．推理形式错误 ‎【答案】A ‎【解析】分析该演绎推理的大前提、小前提和结论，结合指数函数的图象和性质判断正误，可以得出正确的答案．‎ ‎【详解】‎ 该演绎推理的大前提是：指数函数是增函数， 小前提是：是指数函数， 结论是：是增函数． 其中，大前提是错误的，因为时，函数是减函数，致使得出的结论错误． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了演绎推理的应用问题，解题时应根据演绎推理的三段论是什么，进行逐一判定，得出正确的结论，是基础题．‎ ‎4．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上，不同的种植方法共有( )‎ A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 ‎【答案】B ‎【解析】由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2步进行分析： ①、先在4种蔬菜品种中选出3种，有种取法， ②、将选出的3种蔬菜对应3块不同土质的土地，有种情况， 则不同的种植方法有种； 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查计数原理的运用，注意本题问题要先抽取，再排列．‎ ‎5．为了调查胃病是否与生活规律有关，某同学在当地随机调查了500名30岁以上的人，并根据调查结果计算出了随机变量的观测值，则认为30岁以上的人患胃病与生活无规律有关时，出错的概率不会超过( )‎ 附表：‎ A．0.001 B．0.005 C．0.010 D．0.025‎ ‎【答案】D ‎【解析】把相关指数的观测值与临界值比较，可得判断30岁以上的人患胃病与生活无规律有关的可靠性程度及犯错误的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵相关指数的观测值， ∴在犯错误的概率不超过的情况下，判断岁以上的人患胃病与生活无规律有关． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验思想方法，熟练掌握在独立性检验中，观测值与临界值大小比较的含义是解题的关键．‎ ‎6．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( )‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2步进行分析：‎ ‎ ①.从3件次品中抽取2件次品，有种抽取方法，;‎ ‎②.从7件正品中抽取3件正品，有种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有种； 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．‎ ‎7．若函数没有极值，则实数a的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知函数解析式可得导函数解析式，根据导函数不变号，函数不存在极值点，对讨论，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴ ，‎ ‎①当时，则，在上为增函数，满足条件；‎ ‎②当时，则，‎ 即当 时， 恒成立，在上为增函数，满足条件 综上，函数不存在极值点的充要条件是：．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，本题是一道基础题．‎ ‎8．若 ，则( )‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据组合数的公式，列出方程，求出的值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，或，‎ 解得（不合题意，舍去），或；‎ ‎∴的值是4．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目．‎ ‎9．若随机变量，其均值是80，标准差是4，则和的值分别是( )‎ A．100，0.2 B．200，0.4 C．100，0.8 D．200，0.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于和的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．‎ ‎【详解】‎ ‎∵随机变量，其均值是80，标准差是4，‎ ‎∴由，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都要用到期望和方差的公式．‎ ‎10．下列结论中正确的是（ ）‎ A．导数为零的点一定是极值点 B．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值 C．如果在附近的左侧，右端，那么是极小值 D．如果在附近的左侧，右端，那么是极大值 ‎【答案】B ‎【解析】根据极值点的判断方法进行判断.‎ ‎【详解】‎ 若，则，，‎ 但是上的增函数，故不是函数的极值点.‎ 因为在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，‎ 故的左侧附近，有为增函数，在的右侧附近，有为减函数，‎ 故是极大值.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低（高）”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意 ，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点，具体如下．‎ ‎（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极大值点；‎ ‎（1）在的左侧附近，有，在的右侧附近，有，则为函数的极小值点；‎ ‎11．一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出．‎ ‎【详解】‎ 由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，‎ 所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎12．已知函数的导函数为，若，则函数的图像可能是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据导数的几何意义和，确定函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 函数的导函数为，‎ ‎，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象与其导函数的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎13．已知，若，i是虚数单位，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得，由复数相等的条件得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数相等的条件，是基础题．‎ ‎14．若函数的导函数为，则 _____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求导，再代值计算．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的运算法则，属于基础题．‎ ‎15．5人站成一排，若其中甲、乙不相邻的不同排法共有m种，则m的值为_______．‎ ‎【答案】72‎ ‎【解析】根据题意，分2步进行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4个空位，再从这4个间隔选2个插入甲乙，由分步计数原理计算即可答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分2步分析：‎ 先安排除甲乙之外的3人，有种不同的顺序，排好后，形成4个空位，‎ 在4个空位中，选2个安排甲乙，有种选法，‎ 则甲乙不相邻的排法有种，‎ 即；‎ 故答案为：72．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的应用，本题是不能相邻问题，处理此类问题，需要运用插空法．‎ ‎16．投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.4．若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】至少出现2次针尖向上包括：出现2次针尖向上和出现3次针尖向上，分别求出它们的概率，根据互斥事件概率加法公式，可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，针尖向下的概率为0.4．‎ ‎∴连续掷一枚图钉3次，‎ 出现2次针尖向上的概率为：0.432，‎ 出现3次针尖向上的概率为：0.216，‎ 故至少出现2次针尖向上的概率，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，先求出出现2次针尖向上和出现3次针尖向上的概率，是解答的关键．‎ ‎17．在数列中，，且．‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1），， ‎ ‎（2）（）．证明见解析 ‎【解析】（1）利用递推式直接求：‎ ‎（2）猜想数列{an}的通项公式为（）用数学归纳法证明即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，且，∴，‎ ‎， ． ‎ ‎（2）猜想数列的通项公式为（）．‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，左边，右边，因此，左边=右边．‎ 所以，当时，猜想成立． ‎ ‎②假设（，）时，猜想成立，即，‎ 那么时，.‎ 所以，当时，猜想成立． ‎ 根据①和②，可知猜想成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了数列中的归纳法思想及证明基本步骤，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎18．已知．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求式子的值．‎ ‎【答案】（1），‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）在二项展开式的通项公式中，令分别等于0和3，即可求得和的值．‎ ‎（2）在所给的等式中，分别令，可得2个式子，再根据这2个式子求得的值．‎ ‎【详解】‎ 解: （1）由二项式定理，得 的展开式的通项是， ‎ 令，3，得，． ‎ ‎∵，‎ ‎∴，． ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴令，得． ‎ 令，得． ‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便地求出答案，属于中档题．‎ ‎19．已知是函数的一个极值点．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）最大值为，最小值为 ‎【解析】（1）求出，因为是函数的极值点，所以得到求出的值；‎ ‎（2）求出的单调区间．研究函数在特定区间上的最值，比较极值点和端点值的大小即判断最值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，∴． ‎ ‎ ∵是函数的一个极值点，‎ ‎∴．∴．∴（检验符合）． ‎ ‎（2）由（1），知．∴． ‎ ‎∴．‎ 令，得，解之，得，．‎ 列表如下：‎ ‎ ‎ ‎∴当时，取得极大值；当时，取得极小值．‎ 而，，，且．‎ ‎∴函数在上的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数极值和单调性的能力，考查构造函数比较大小，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎20．在某地区2008年至2014年中，每年的居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 对变量t与y进行相关性检验，得知t与y之间具有线性相关关系．‎ ‎（1）求y关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）预测该地区2016年的居民人均纯收入．‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：‎ ‎，‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）千元 ‎【解析】（1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．‎ ‎（2）将2016年的年份代号t＝9代入前面的回归方程，预测该地区2016年的居民人均纯收入．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知表格的数据，得， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴y关于t的线性回归方程是． ‎ ‎（2）由（1），知y关于t的线性回归方程是．‎ 将2016年的年份代号代入前面的回归方程，得．‎ 故预测该地区2016年的居民人均收入为千元．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．‎ ‎21．某种证件的获取规则是：参加科目A和科目B的考试，每个科目考试的成绩分为合格与不合格，每个科目最多只有2次考试机会，且参加科目A考试的成绩为合格后，才能参加科目B的考试；参加某科目考试的成绩为合格后，不再参加该科目的考试，参加两个科目考试的成绩均为合格才能获得该证件．现有一人想获取该证件，已知此人每次参加科目A考试的成绩为合格的概率是，每次参加科目B考试的成绩为合格的概率是，且各次考试的成绩为合格与不合格均互不影响．假设此人不放弃按规则所给的所有考试机会，记他参加考试的次数为X. ‎ ‎（1）求X的所有可能取的值；‎ ‎（2）求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）2，3，4‎ ‎（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】（1）的所有可能取的值是．‎ ‎（２）设表示事件“参加科目的第 次考试的成绩为合格”，表示事件“参加科目的第次考试的成绩为合格”，且 相互独立，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）X的所有可能取的值是2，3，4．‎ ‎（2）设表示事件“参加科目A的第（，）次考试的成绩为合格”，表示事件“参加科目B的第（，）次考试的成绩为合格”，且，相互独立（，），那么，． ‎ ‎， ‎ ‎ ， ‎ ‎ ．‎ ‎∴X的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎∴．‎ 故X的数学期望为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）求此函数的单调区间；‎ ‎（2）设．是否存在直线（）与函数的图象相切？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是和 ‎（2）存在，的值是．‎ ‎【解析】（1）求导数，利用导数的正负，即可求此函数的单调区间；‎ ‎（2）假设存直线与函数的图象相切于点 ，则这条直线可以写成 ，与直线比较，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴．‎ 令，得，解之，得；‎ 令，得，解之，得，或．‎ ‎∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是和．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴． ‎ ‎∴．‎ 假设存直线与函数的图象相切于点（），‎ 则这条直线可以写成． ‎ ‎∵，，‎ ‎∴． ‎ 即．‎ ‎∴‎ 解之，得 所以存在直线与函数的图象相切，的值是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎