山西省长治市2020届高三9月统一联考数学（文）试题

山西省长治市2020届高三9月统一联考数学（文）试题

长治市 2019 年高三年级九月份统一联考 数学试题（文科） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题 目要求的．） 1.已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵集合 ∴ ∵集合 ∴ ， 故选 A 2.已知 为虚数单位，若 ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算得到 ，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结 果. 【详解】 为虚数单位，若 ， 3 1x < { | 0}A B x x= < A B R= { | 1}A B x x= > A B = ∅ { | 3 1}xB x= < { }| 0B x x= < { | 1}A x x= < { }| 0A B x x∩ = < { }| 1A B x x∪ = < i 1 i( , )1 i a b a b= + ∈− R ba = 2 2 2 1 1 1 2 i a bii += = +− i 1 ( , )1 a bi a b Ri = + ∈− 1 1 1 2 i a bii += = +− 根据复数相等得到 . 故答案为：C. 【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数 与 相等的充 要条件是 且 ．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值 或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚 部相等列方程（组）求解． 3.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用 等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 ， ， ，故 ， 所以 。 故选 A。 【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较。 4.函数 （ 且 ） 图象可能为（ ）的 1 2 1 2 a b  =  = 1 21 2( ) .2 2 ba = = a bi+ ic d+ a c= b d= 5log 2a = 0.5log 0.2b = 0.20.5c = , ,a b c a c b< < a b c< < b c a< < c a b< < 10, ,12 5 5 1log 2 log 5 2a = < < 0.5 0.5log 0.2 log 0.25 2b = > = 1 0.2 00.5 0.5 0.5< < 1 12 c< < a c b< < ( ) 1 cosf x x xx  = −   xπ π− ≤ ≤ 0x ≠ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为 ，故函数是奇函数，所以排除 A，B； 取 ，则 ，故选 D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象. 5.设函数 ，在区间 上随机取一个数 ，则 的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由 ,得 ,即 ,根据几何概型的概率公式可得从区间 内随机选 取一个实数 , 的概率为 ,故选 D. 6.已知向量 ， ， ，若 ，则实数 1 1( ) ( )cos ( )cos ( )f x x x x x f xx x − = − + = − − = − x π= 1 1( ) ( )cos ( ) 0f π π π ππ π= − = − − < 2( ) logf x x= (0,5) x ( ) 2f x < 1 5 2 5 3 5 4 5 ( ) 2f x < 2log 2x < 0 4x< < ( )0,5 x ( ) 2f x < 4 0 4 5 0 5 − =− (1,2)a = ( 2,3)b = − (4,5)c = ( )a b cλ+ ⊥   λ = A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量垂直的坐标表示求解即可 【详解】因为 ， ， 所以 ， 又 ，所以 ， 即 ，解得 . 故选 C. 【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型. 7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损 术”，执行该程序框图，若输入的 ， 分别为 14，18，则输出的 为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】 根据循环结构的特点，先判断、再根据框图中的程序依次执行，分别计算出 的值，即可得 1 2 − 1 2 2− 2 (1,2)a = ( 2,3)b = − ( )1 2 ,2 3λ λ λ− + a + b = ( )a b cλ+ ⊥   ( ) 0a b cλ+ =    ( ) ( )4 1 2 5 2 3 0+ =λ λ− + 2λ −= a b a ,a b 到结论． 【详解】依次运行框图中的程序： ①由于 ，满足 ，故 ； ②由于 ，满足 ，故 ； ③由于 ，满足 ，故 ； ④由于 ，满足 ，故 ； ⑤由于 ，满足 ，故 ． 此时 ， 故输出 ． 故选 B． 【点睛】程序框图的填充和判断算法的功能是算法问题在高考中的主要考查形式，和函数、 数列的结合是算法问题的常见载体，解决问题的关键是搞清算法的实质，模拟运行算法以得 到结果，考查理解和运用能力． 8.已知点 A,B,C 在圆 上运动，且 AB BC，若点 P 的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 由题意，AC 为直径，所以 ,当且仅当点 B 为（-1，0）时， 取得最大值 7，故选 B. 考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质 【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.由平 面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取 到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键. 14, 18a b= = a b< 18 14 4b = − = 14, 4a b= = a b> 14 4 10a = − = 10, 4a b= = a b> 10 4 6a = − = 6, 4a b= = a b> 6 4 2a = − = 2, 4a b= = a b< 4 2 2b = − = 2a b= = 2a = 2 2 1x y+ = ⊥ PA PB PC+ +   2 4 4 3 7PA PB PC PO PB PB+ + = + ≤ + ≤ + =      PA PB PC+ +   9.设函数 ,定义 ,其中 ,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析： ， ， ，因为 ,所以 ．两式相加可得: , ．故选 C． 考点：1．数列求和；2．函数的性质． 10.如图所示，有一条长度为 1 线段 ，其端点 ， 在边长为 3 的正方形 的四 边上滑动，当点 绕着正方形的四边滑动一周时， 的中点 所形成轨迹的长度为（） A. B. C. D. 的 ( ) 2 1 log2 1 xf x x = + − 1 2 1...n nS f f fn n n −     = + + +           , 2n N n∗∈ ≥ nS = ( )1 2 n n − ( )2 1 log 12 n n − − − 1 2 n − ( )2 1 log 12 n n − + − ( ) 2 1 log2 1 xf x x = + − 2 1 1(1 ) log2 xf x x −∴ − = + 2 2 1 1 1( ) (1 ) log log 12 1 2 x xf x f x x x −∴ + − = + + + =− 1 2 1...n nS f f fn n n −     = + + +           MN M N ABCD N MN P 8 2 π+ 8 π+ 12 2 π+ 12 π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 当 ， 分别在两条边上时，形成半径为 的 圆，当 ， 在同一边上时，形成长度 为 2 的线段，计算得到答案. 【详解】如图所示： 当 ， 分别在两条边上时： ， 到顶点的距离为 ，故形成以顶点为圆点，半径为 的 圆. 当 ， 在同一边上时： 易知形成长度为 2 的线段. 轨迹长度为 故答案选 B 【点睛】本题考查了轨迹长度，根据条件得到形成半径为 的 圆是解题的关键. 11.已知 是球 的球面上两点, , 为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为 36,则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C M N 1 2 1 4 M N M N 1MN = P 1 2 1 2 1 4 M N 12 4 2 82 π π× + × = + 1 2 1 4 36π 64π 144π 256π 【解析】 【详解】 如图所示，当点 C 位于垂直于面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，设球 的半径为 ，此时 ，故 ，则球 的表面积 为 ，故选 C． 考点：外接球表面积和椎体的体积． 12.将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对 满足 的 ， ，有 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析：向右平移 个单位后，得到 ，又∵ ，∴不 妨 ， ，∴ ，又∵ ， ∴ ，故选 D. 考点：三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的 AOB O ABC− O R 2 31 1 1 363 2 6O ABC C AOBV V R R R− −= = × × = = 6R = O 24 144S Rπ π= = ( ) sin 2f x x= (0 )2 πϕ ϕ< < ( )g x 1 2( ) ( ) 2f x g x− = ϕ = 5 12 π 3 π 4 π 6 π 考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒 等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答卷纸的相应位置上） 13.在平面直角坐标系 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e， -1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____. 【答案】 . 【解析】 【分析】 设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标. 【详解】设点 ，则 .又 ， 当 时， ， 点 A 在曲线 上的切线为 ， 即 ， 代入点 ，得 ， 即 ， 考查函数 ，当 时， ，当 时， ， 且 ，当 时， 单调递增， 注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ， 故点 坐标为 .的 xOy (e, 1) ( )0 0,A x y 0 0lny x= 1y x ′ = 0x x= 0 1y x ′ = lny x= 0 0 0 1 ( )y y x xx − = − 0 0 ln 1xy x x − = − ( ), 1e− − 0 0 1 ln 1ex x −− − = − 0 0lnx x e= ( ) lnH x x x= ( )0,1x∈ ( ) 0H x < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0H x > ( )' ln 1H x x= + 1x > ( ) ( )' 0,H x H x> ( )H e e= 0 0lnx x e= 0x e= 0 1y = A ( ),1A e 【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是 曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 14.已知直线 经过点 ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 直线 经过点 得到 ，再利用均值不等式得到答案. 【详解】直线 经过点 ，代入得到 当 时等号成立 故答案为 【点睛】本题考查了均值不等式，属于常考题型，需要同学们熟练掌握. 15.在 中， ， 。若以 为焦点的椭圆经过点 ，则该椭圆 的离心率 。 【答案】 【解析】 结合余弦定理求 ，即 ，解得 ，然后结合椭圆的定义 和焦距 求离心率 。 1ax by+ = ( )1,2 2 4a b+ 2 2 1ax by+ = ( )1,2 2 1a b+ = 1ax by+ = ( )1,2 2 1a b+ = 22 4 2 2 4 2 2 2 2a b a b a b++ ≥ × = = 1 1,2 4a b= = 2 2 ABC AB BC= 7cos 18B = − A B， C e = 3 8 1AB BC= =设 ， AC 2 2 2| | | | 7cos 2 18 AB BC AC B AB BC + − = = −× 5 3AC = 82 3CA CB a+ = = 2 1c = 3 8 ce a = = 16.已知定义在 R 上的函数 满足条件 ，且函数 为 奇函数，给出以下四个命题： ①函数 是周期函数；②函数 的图象关于点 对称； ③函数 为 R 上的偶函数；④函数 为 R 上的单调函数． 其中真命题的序号为______________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】 由“f（x ）＝﹣f（x）”可得周期为 3，由“且函数 y＝f（x ）为奇函数”可得 y＝f （x）的对称性，然后两者结合以及利用代数变换或图象变换对四个选项作出判断． 【详解】因为 ，所以 ，即 ，①正确 因为函数 为奇函数，所以函数 的图象关于点 对称，②正确 且 ， 根据 ，有 所以 ，即函数 为 R 上的偶函数，③正确 根据周期性与偶函数知④错 综上所述：①②③正确，④错误 故填①②③ 【点睛】本题综合考查了抽象函数的奇偶性、周期性，因为没有具体的解析式，所以准确理 解每个关系式的意义是解题关键，能结合图象理解的尽量结合图象，使问题直观化，具体 化． ( )y f x= ( )3 2f x f x + = −   3 4y f x = −   ( )f x ( )f x 3 ,04  −   ( )f x ( )f x 3 2 + 3 4 − ( )3 2f x f x + = −   ( ) ( )33 =2f x f x f x + = − +   3T = 3 4y f x = −   ( )f x 3 ,04  −   3 3=4 4f x f x   − − − −       ( )3 2f x f x + = −   3 3= +4 4f x f x   − −       3 3+ = ( ) ( )4 4f x f x f x f x   − − ⇒ = −       ( )f x 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.已知数列 的前 项和为 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：（1）本题考察的是求数列的通项公式，根据所给条件先求出首项，然后仿写 ，作差即可得到 的通项公式 （2）根据（1）求出 的通项公式，观察是由一个等差数列乘以一个等比数列得到，要求 其前 项和，需采用错位相减法，即可求出前 项和 ． 试题解析：（1）当 时， ， 当 时， 即： ， 数列 为以 2 为公比的等比数列 （2） 两式相减，得 考点：求数列的通项和前 项和 { }na n nS 2 2n nS a= − { }na 2 1n n nb a log a += ⋅ { }nb n nT 2n na = 12n nT n += ⋅ 1nS − { }na { }nb n n nT 1n = 1 2a = 2n ≥ ( )1 12 2 2 2n n n n na S S a a− −= − = − − − 1 2n n a a − = { }na 2n na∴ = ( )1 22 log 2 1 2n n n nb n+= ⋅ = + ( )2 12 2 3 2 2 1 2n n nT n n−= × + × +…+ ⋅ + + ( )2 3 12 2 2 3 2 2 1 2n n nT n n += × + × +…+ ⋅ + + ( )2 3 1 14 2 2 2 1 2 2n n n nT n n+ +− = + + +…+ − + = − ⋅ 12n nT n +∴ = ⋅ n 18.如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 面 ， 为 的中点。 （1）证明： 平面 ; （2）设 ， ，三棱锥 的体积 ，求 A 到平面 PBC 的距离。 【答案】（1）证明见解析 （2） 到平面 的距离为 【解析】 【详解】试题分析：（1）连结 BD、AC 相交于 O，连结 OE，则 PB∥OE，由此能证明 PB∥平面 ACE．（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量 法能求出 A 到平面 PBD 的距离 试题解析：(1）设 BD 交 AC 于点 O，连结 EO。 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点，所以 EO∥PB 又 EO 平面 AEC，PB 平面 AEC 所以 PB∥平面 AEC。 （2） 由 ，可得 . 作 交 于 。 由题设易知 ，所以 故 ， 又 所以 到平面 的距离为 法 2：等体积法 P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD E PD / /PB AEC 1AP = 3AD = P ABD− 3 4V = A PBC 3 13 13 1 3 6 6V PA AB AD AB= ⋅ ⋅ = 3 13 13 PA ABAH PB ⋅= = 由 ，可得 . 由题设易知 ,得 BC 假设 到平面 的距离为 d， 又因为 PB= 所以 又因为 (或 )， ， 所以 考点：线面平行的判定及点到面的距离 19.如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图： （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明 （Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理 1 3 6 6V PA AB AD AB= ⋅ ⋅ = 量 附注： 参考数据： ， ， ， 参考公式：相关系数 ，回归方程 中斜率和截距最小二 乘估计公式分别为 ， 【答案】（Ⅰ）y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以 用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系； （Ⅱ）y 关于 t 的回归方程为 ，预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量将约 为 2.22 亿吨． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据题意求出 ， ， ，， 的值再代入 即可。 （Ⅱ）代入数据计算出 ， ，即可得 ，再计 算当 时的 值即可。 【详解】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得 ， ， 7 1 9.32i i y = =∑ 7 1 40.17i i i t y = =∑ ( )7 2 1 0.55i i y y = − =∑ 7 2.646≈ ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ y a bt= +   ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  a y bt= −  0.92 0.10y t= + t ( )7 2 1 i i t t = −∑ ( )7 2 1 i i y y = −∑ ( )( )7 7 7 1 1 1 i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = −∑ ∑ ∑ ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i t t y y r t t y y = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t = = − − = − ∑ ∑  a y bt= −  0.92 0.10y t= + 13t = y 4t = ( )7 2 1 28i i t t = − =∑ ， ， ， 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回 归模型拟合 y 与 t 的关系． （Ⅱ）由 及（Ⅰ）得 ， 所以 y 关于 t 的回归方程为 ． 将 2020 年对应的 代入回归方程得 ． 所以预测 2020 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 2.22 亿吨． 【点睛】本题考查相关系数，线性回归方程，属于基础题。 20.已知抛物线 C： ，其焦点到准线的距离为 2，直线 l 与抛物线 C 交于 A， B 两点，过 A，B 分别作抛物线 C 的切线 ， 交于点 M （Ⅰ）求抛物线 C 的方程 （Ⅱ）若 ，求三角形 面积的最小值 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）4. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）焦点到准线的距离为 2，等价于 ，即可得出答案。 （Ⅱ）设出 ， 两点，分别写出其切线 ， 与点 ，由 可得到 ， 再设出直线 l 的方程，联立直线与直线 l，由 可得直线 l 为 ，最后求出 ( )7 2 1 0.55i i y y = − =∑ 7 2.646≈ ( )( )7 7 7 1 1 1 40.17 4 9.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = − = − × =∑ ∑ ∑ 2.89 0.990.55 2 2.646r = ≈× × 9.32 1.3317y = ≈ 2.89 0.10328b = ≈ 1.331 0.103 4 0.92a y bt= − ≈ − × ≈  0.92 0.10y t= + 13t = 0.92 0.10 13 2.22y = + × = ( )2 2 0x py p= > 1l 2l 1 2l l⊥ MAB△ 2 4x y= 2p = A B 1l 2l ( )2 , 1M k − 1 2l l⊥ 1 2 4x x = − 1 2 4x x = − 1y kx= + 到直线 l 的距离，与 ，即可用 表示出 的面积，即可求出其最小值。 【详解】（Ⅰ）焦点到准线的距离为 2，即 ，所以求抛物线 C 的方程为 （Ⅱ）抛物线的方程为 ，即 ，所以 设 ， ， ： ， ： 由于 ，所以 ，即 设直线 l 方程为 ，与抛物线方程联立，得 所以 ， ， ，所以 ，即 l： 联立方程 得 ，即： M 点到直线 l 的距离 所以 当 时， 面积取得最小值 4． 【点睛】本题主要考查抛物线与直线 位置关系，属于中档题。 21.已知 是函数 的极值点. （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）求证：函数 存在唯一的极小值点 ，且 . （参考数据： ） 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明 的 ( )2 , 1M k − | |AB k MAB△ 2p = 2 4x y= 2 4x y= 21 4y x= 1 2y x′ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1l ( )2 1 1 14 2 x xy x x− = − 2l ( )2 2 2 24 2 x xy x x− = − 1 2l l⊥ 1 2 12 2 x x⋅ = − 1 2 4x x = − y kx m= + 2 4 y kx m x y = +  = 2 4 4 0x kx m− − = 216 16 0k m∆ = + > 1 2 4x x k+ = 1 2 4 4x x m= − = − 1m = 1y kx= + 2 1 1 2 2 2 2 4 2 4 x xy x x xy x  = −  = − 2 1 x k y =  = − ( )2 , 1M k − 2 2 2 2 1| 2 1 1| 1 1 kk kd k k +⋅ + += = + + ( ) ( ) ( )22 2 1 2 1 2| | 1 4 4 1AB k x x x x k = + + − = +  ( ) ( )2 3 2 2 2 2 2 11 4 1 4 1 42 1 k S k k k + = × + × = + ≥ + 0k = MAB△ 1x = 2( ) ln2 xf x ax x x= + − a ( )f x 0x ( )0 30 4f x< < ln 2 0.69≈ 1 4a = 【解析】 【分析】 (Ⅰ)根据 求得 ；通过导数验证函数 单调性，可知 时极值点为 ，满足 题意；(Ⅱ)根据(Ⅰ)可知极小值点位于 ，此时 的零点 ，且此时 为 极小值点，代入 得到关于 的二次函数，求解二次函数值域即可证得结论. 【详解】(Ⅰ)因为 ，且 是极值点 所以 ，所以 此时 设 ，则 则当 时， ， 为减函数 又 当 时， ，则 为增函数 当 时， ，则 为减函数 此时 为 的极大值点，符合题意 (Ⅱ)由(Ⅰ)知， 时，不存在极小值点 当 时， ， 为增函数，且 ， 所以存在 结合(Ⅰ)可知当 时， ， 为减函数； 时， ， 为增函数，所以函数 存在唯一的极小值点 又 ，所以 且满足 . 所以 的( )1 0f ′ = a 1 4a = 1x = ( )2,+∞ ( )g x ( )0 3,4x ∈ 0x ( )f x 0x ( ) 12 ln2f x ax x′ = − − 1x = ( ) 11 2 02f a′ = − = 1 4a = ( ) 1 ln2 2 xf x x′ = − − ( ) ( )g x f x′= ( ) 1 1 2 2 2 xg x x x −′ = − = 0 2x< < ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( ) 11 0 2 ln2 02g g，= = − < 0 1x< < ( ) 0g x > ( )f x 1 2x< < ( ) 0g x < ( )f x 1x = ( )f x 0 2x< < 2x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( ) 34 2ln2 02g = − > ( )2 0g < ( ) ( )0 02,4 , 0x g x∈ = 01 x x< < ( ) 0g x < ( )f x 0x x> ( ) 0g x > ( )f x ( )f x 0x ( )3 1 ln3 0g = − < x< <03 4 0 0 1 ln 02 2 x x− − = ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 0ln4 2 4 x x xf x x x x= + − = − + 由二次函数图象可知： 又 ， 【点睛】本题考查利用函数极值与导数关系的综合应用问题，解决本题的关键是能够利用零 点存在定理确定零点所处的范围，从而可将证明问题转化为在某一区间内二次函数值域问题 的求解. （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第 一题计分． 选修 4－4：坐标系与参数方程 22.直角坐标系中曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）经过点 作直线 交曲线 于 两点（ 在 上方），且满足 ， 求直线 的方程. 【答案】（1） ;（2） . 【解析】 试题分析: （1）运用同角的三角函数关系消去参数即可;(2)把直线的参数方程代入曲线的直 角坐标方程中,根据 的几何意义解出倾斜角,从而得到直线方程. 试题解析:（1）由题意：曲线 的直角坐标方程为： . （2）设直线 的参数方程为 （ 为参数）代入曲线 的方程有： ，设点 对应的参数分别为 ，则 ， 则 ， ， ∴ ， ( ) ( ) ( )04 3f f x f< < ( ) 9 33 34 4f = − + = ( ) 164 4 04f = − + = ( )0 30, 4f x  ∴ ∈   C 4cos{ 3sin x y θ θ = = θ C (0,1)M l C ,A B A B 2BM AM= l 2 2 116 9 x y+ = 0x = t C 2 2 116 9 x y+ = l { 1 x tcos y sin = ∂ = + ∂ ∂ C ( )2 27sin 9 32sin 128 0t t∂ + + ∂ − = ,A B 1 2,t t 2 12t t= − 1 2 12 32sin 9 7sint t t ∂+ = − = −+ ∂ 2 1 2 12 128• 29 7sint t t= − = −+ ∂ 2sin 1∂ = ∴直线 的方程为： . 选修 4－5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求 a 的取值范围． 【答案】(1) {x|x≥4 或 x≤1}；(2) [－3，0]. 【解析】 试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集， 再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求 a 的取 值范围 试题解析：（1）当 a＝－3 时，f（x）＝ 当 x≤2 时，由 f（x）≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2＜x＜3 时，f（x）≥3 无解； 当 x≥3 时，由 f（x）≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4. 所以 f（x）≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}． 6 分 （2）f（x）≤|x－4| |x－4|－|x－2|≥|x＋a|. 当 x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a| （4－x）－（2－x）≥|x＋a| －2－a≤x≤2－a， 由条件得－2－a≤1 且 2－a≥2，解得－3≤a≤0， 故满足条件的实数 a 的取值范围为[－3，0]． 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 l 0x = 2 5, 2 { 1,2 3 2 5, 3 x x x x x − + ≤ < < − ≥