数学文卷·2017届湖南师大附中高三上学期第四次月考（2016
炎德·英才大联考湖南师大附中2017届高三月考试卷(四)
数 学(文科)
命题人：贺忠良 洪利民 黄钢 审题人：高三文科数学备课组
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共10页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是(A)
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)锐角三角形
【解析】由集合里元素的互异性可知选A.
(2)已知命题p：若a>b，则a2>b2；q：“x≤1”是“x2＋2x－3≤0”的必要不充分条件．则下列命题是真命题的是(B)
(A)p∧q (B)綈p∧q (C)綈p∧綈q (D)p∧綈q
【解析】命题p：若a>b，则a2>b2，不正确，
举反例：取a＝1，b＝－2，不成立；
q：由x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，因此“x≤1”是“x2＋2x－3≤0”的必要不充分条件，是真命题．
∴p∧q，綈p∧綈q，p∧綈q，是假命题，綈p∧q是真命题，故选B.
(3)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝7，a6＋a8＝－6，则Sn取最大值时，n的值为(C)
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
【解析】在等差数列{an}中，由a6＋a8＝－6，得2a7＝－6，a7＝－3
又a2＝7，∴d＝＝＝－2，∴an＝a2＋(n－2)d＝7－2(n－2)＝11－2n.
由an＝11－2n>0，得n<，∵n∈N*，
∴Sn取最大值时，n的值为5.故选C.
(4)函数y＝的图象大致为(B)
【解析】易得该函数为奇函数可排除A，C，当－1
0，故选B.
(5)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是(D)
(A)(0，4) (B)(0，4] (C)(0，2] (D)(0，2)
【解析】由已知可得0<2p<4⇒p∈(0，2)，故选D.
(6)已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列算式：a1·a2＝log23·log34＝·＝2；a1
·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3，…；若a1·a2·a3·…·am＝2 016(m∈N*)，则m的值为(C)
(A)22 016＋2 (B)22 016 (C)22 016－2 (D)22 016－4
【解析】由已知得a1·a2·a3·…·am＝＝2 016，
lg(m＋2)＝lg 22 016，解得m＝22 016－2.故选C.
(7)阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为(B)
(A)k≤3 (B)k≤4
(C)k≤5 (D)k≤6
【解析】当S＝0，k＝1时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝1，k＝2，
当S＝1，k＝2时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝6，k＝3，
当S＝6，k＝3时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝21，k＝4，
当S＝21，k＝4时，不满足输出条件，故进行循环，执行完循环体后，S＝58，k＝5，
当S＝58，k＝5时，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为k≤4，故选B.
(8)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(x2＋2)＋f(－2x－m)只有一个零点，则函数g(x)＝mx＋(x>1)的最小值是(A)
(A)5 (B)－3
(C)3 (D)－5
【解析】由于函数为奇函数且单调，故f(x2＋2)＋f(－2x－m)＝0等价于f(x2＋2)＝f(2x＋m)，
即x2＋2＝2x＋m有唯一解，判别式为零，即4－4＝0，解得m＝1，
所以g(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥5.故选A.
(9)三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则这三棱锥的外接球表面积为(D)
(A)π (B)π (C)π (D)π
【解析】由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，
球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，
∴x2＝32＋(－x)2，解得x＝，
∴R2＝x2＋＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，
∴外接球的表面积S＝4πR2＝π，故选D.
(10)O为△ABC内一点，且2＋＋＝0，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为(
A)
(A) (B) (C) (D)
【解析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点．
∵2＋＋＝0，∴＋＝－2＝＝2，
∴点O是直线AE的中点．
∵B，O，D三点共线，＝t，∴点D是BO与AC的交点．
过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．
则OM＝EC＝BC，∴＝，∴DM＝MC，
∴AD＝AM＝AC，＝t，∴t＝.故选A.
(11)如图，F1、F2是双曲线－＝1(a＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为(C)
(A)8 (B)8 (C)8 (D)16
【解析】根据双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|＝|AB|，
∴|AF1|－|AB|＝2a，即|AF1|－|AB|＝|BF1|＝2a，
又∵|BF2|－|BF1|＝2a，
∴|BF2|＝|BF1|＋2a＝4a，
∵△BF1F2中，|BF1|＝2a，|BF2|＝4a，∠F1BF2＝120°，
∴|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|cos 120°，
即4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×＝28a2，
解之得c＝a，∴a2＋24＝7a2，∴a＝2，
∴△BF1F2的面积为S△BF1F2＝×2a×4a×＝8.故选C.
(12)定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2(x1≠x2)都有<0，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1，0)成中心对称，若s，t满足不等式f(s2－2s)≤－f(2t－t2)，则当1≤s≤4时，的取值范围是(D)
(A) (B)
(C) (D)
【解析】设x10，
即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)为减函数．
因为函数y＝f(x－1)的图象关于(1，0)成中心对称，
所以y＝f(x)为奇函数，所以f(s2－2s)≤－f(2t－t2)＝f(t2－2t)，
所以s2－2s≥t2－2t，即(s－t)(s＋t－2)≥0.
因为＝1－＝1－，
而在条件下，易求得∈，
所以1＋∈，所以∈，
所以1－∈，
即∈，故选D.
选择题答题卡
题 号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
答 案
A
B
C
B
D
C
B
A
D
A
C
D
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
(13)若00的解集是____．
(14)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝__－1__．
【解析】∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，
在△ABD中，由正弦定理得＝，
即＝，
∴BD＝25(－)．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，
∴sin∠BCD＝－1.
∴cos θ＝sin(π－∠BCD)＝sin∠BCD＝－1.
(15)如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，若以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋的值为____．
【解析】不妨役BD＝AE＝1，则AD＝BE＝，AB＝2，
椭圆长轴长为2a，双曲线实轴长为2a′，焦距为2c，
则2c＝2，2a＝1＋，2a′＝－1，
＋＝＋＝＋＝.
(16)某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：
①题目：“在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2＋2y2＝1的左顶点为A，过点A作两条斜率之积为2的射线与椭圆交于B，C，…”
②解：“设AB的斜率为k，…点B，D，…”
据此，请你写出直线CD的斜率为____．(用k表示)
【解析】由题设AC的斜率是，
将其代入B可得C，
运用斜率公式可得kCD＝＝，应填.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17)(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos 2C－cos 2A＝2sin·sin.
(Ⅰ)求角A的值；
(Ⅱ)若a＝，且b≥a，求2b－c的取值范围．
【解析】(Ⅰ)由已知得2sin2A－2sin2C＝2.(2分)
化简得sin A＝，故A＝或A＝.(5分)
(Ⅱ)由正弦定理＝＝，
得b＝2sin B，c＝2sin C(7分)
故2b－c＝4sin B－2sin C＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B
＝2sin(9分)
因为b≥a，
所以≤B<，≤B－<，(11分)
所以2b－c＝2sin∈.(12分)
(18)(本小题满分12分)
设数列{an}满足：a1＝1，点(an，an＋1)(n∈N*)均在直线y＝2x＋1上．
(Ⅰ)证明数列{an＋1}为等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)若bn＝log2(an＋1)，求数列的前n项和Tn.
【解析】(Ⅰ)证明：由点(n∈N*)均在直线y＝2x＋1上可知an＋1＝2an＋1
则an＋1＋1＝＋1＝2
于是＝2
即数列{an＋1}是以2为公比的等比数列．
因为an＋1＝·2n－1＝2n，
所以an＝2n－1.(6分)
(Ⅱ)bn＝log2(an＋1)＝log22n＝n，
所以·bn＝n·2n(7分)
Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n ①
2Tn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1 ②
①－②得
－Tn＝1·21＋1·22＋1·23＋…＋1·2n－n·2n＋1(10分)
＝－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1(11分)
故Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.(12分)
(19)(本小题满分12分)
如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ABC＝60°，AA1＝AC＝2，A1B＝A1D＝2，点E在A1D上．
(Ⅰ)求证：AA1⊥平面ABCD；
(Ⅱ)当为何值时，A1B∥平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离．
【解析】(Ⅰ)证明：∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝AC＝2，
在△AA1B中，由AA＋AB2＝A1B2知AA1⊥AB.同理，AA1⊥AD.
又∵AB∩AD＝A，∴AA1⊥平面ABCD.(5分)
(Ⅱ)解：当＝1时，A1B∥平面EAC.证明如下：连结BD交AC于O，当＝1时，即点E为A1D的中点时，连接OE，则OE∥A1B，∴A1B∥平面EAC.(8分)
直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离．
∵点E为A1D的中点，可转化为D到平面EAC的距离，VD－EAC＝VE－ACD，
设AD的中点为F，连接EF，则EF∥AA1，
∴EF⊥平面ACD，且EF＝1，可求得S△ACD＝，∴VE－ACD＝×1×＝.
又AE＝，AC＝2，CE＝2，S△AEC＝，
∴S△AEC·d＝(d表示点D到平面EAC的距离)，d＝，
∴直线A1B与平面EAC之间的距离为.(12分)
(20)(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点，离心率为，其右焦点是圆E：(x－1)2＋y2＝1的圆心．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)如图，过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线，分别交y轴于点M、N.试推断是否存在点P，使|MN|＝？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
因为椭圆的右焦点是圆E的圆心，则c＝1.(2分)
因为椭圆的离心率为，则＝，即a＝c＝.(3分)
从而b2＝a2－c2＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(4分)
(Ⅱ)设点P(x0，y0)(x0<0)，M(0，m)，N(0，n)，
则直线PM的方程为y＝x＋m，即(y0－m)x－x0y＋mx0＝0.(5分)
因为圆心E(1，0)到直线PM的距离为1，
则＝1，
即(y0－m)2＋x＝(y0－m)2＋2x0m(y0－m)＋xm2，即(x0－2)m2＋2y0m－x0＝0.
同理，(x0－2)n2＋2y0n－x0＝0.(6分)
由此可知，m，n为方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两个实根，
所以m＋n＝－，mn＝－.(8分)
＝＝＝＝.
因为点P(x0，y0)在椭圆C上，则＋y＝1，即y＝1－，则
＝＝＝.(10分)
令＝，
则(x0－2)2＝9.因为x0＜0，则x0＝－1.
y＝1－＝，即y0＝±.
故存在点P满足题设条件．(12分)
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax2－2ax＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，且x1·x2>.
(Ⅰ)求实数a的取值范围；
(Ⅱ)设上述a的取值范围为M，若存在x0∈，使对任意a∈M，不等式f(x0)＋ln(a＋1)>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(Ⅰ)f′(x)＝ax－2a＋＝(x>0)．(1分)
令f′(x)＝0，则ax2－2ax＋1＝0.
据题意，方程有两个不等正根，则(3分)
即，解得1＜a＜2. 故实数a的取值范围是(1，2)．(4分)
(Ⅱ)由ax2－2ax＋1>0，得a(x－1)2>a－1.
即x<1－或x>1＋.
所以f(x)在和上是增函数．
因为1＜a＜2，则1＋<1＋，所以f(x)在上是增函数．
当x∈时，
f(x)max＝f(2)＝－2a＋ln 2.(6分)
据题意，当a∈(1，2)时，f(x)max＋ln(a＋1)>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2恒成立，即
ln(a＋1)－2a＋ln 2>m(a2－1)－(a＋1)＋2ln 2，即ln(a＋1)－ma2－a＋m＋1－ln 2>0恒成立．
设g(a)＝ln(a＋1)－ma2－a＋m＋1－ln 2，
则g′(a)＝－2ma－1＝.(8分)
(1)当m≥0时，因为a∈(1，2)，则g′(a)<0，所以g(a)在(1，2)上是减函数．
此时，g(a)＜g(1)＝0，不合题意．(9分)
(2)当m＜0时，若1＋≥－1，即m≤－，因为a∈(1，2)，则a＋1＋>0，g′(a)
>0，
所以g(a)在(1，2)上是增函数. 此时，g(a)＞g(1)＝0，符合题意．(10分)
若1＋<－1，即－1.
当10，则t1＋t2＝－4，t1·t2＝7，
所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝2.(10分)
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝m－2|x－5|, 若2f(x)≥g(x＋2)恒成立，实数m的最大值为t.
(Ⅰ)求实数t.
(Ⅱ)已知实数x、y、z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值是，求a的值．
【解析】(Ⅰ)由题意得∀x∈R，2f(x)＝2≥g(x＋2)＝m－2＝m－2，
从而有m≤2，
由绝对值不等式的性质可知2≥2＝8，
因此，实数m的最大值t＝8.(5分)
(Ⅱ)由柯西不等式：
≥，
因为2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，所以a≥(x＋y＋z)2，
因为x＋y＋z的最大值是1，所以a＝1，当2x＝3y＝6z时，x＋y＋z取最大值，
所以a＝1.(10分)
