数学理卷·2018届广西钦州市高三上学期第一次质量检测（2017

数学理卷·2018届广西钦州市高三上学期第一次质量检测（2017

钦州市2018届高三第一次质量检测 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，集合，集合，则集合的子集的个数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．已知复数，则下列命题中正确的个数为（ ）‎ ‎①；②；③的虚部为；④在复平面上对应点在第一象限.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎3．命题，则的否定是（ ）‎ A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 ‎4．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（ ）‎ A．2 B．0 C． D．‎ ‎5．若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图（），那么输出的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）‎ A．1.3日 B．1.5日 C．2.6日 D．2.8日 ‎10．已知是所在平面内一点，且，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知（，为正实数），则的最小值为 ．‎ ‎14．若，满足约束条件，则的最大值是 ．‎ ‎15．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ．‎ ‎16．在锐角三角形中，若，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值.‎ ‎18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）‎ ‎（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；‎ ‎（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列；‎ ‎（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.‎ ‎19．如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，，点、分别为线段、的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角的余弦值.‎ ‎20．已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于，两点，若存在点使为等边三角形，求直线的方程.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当，且时，证明：.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为：，将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线与曲线交于，两点，点，求的值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 钦州市2018届高三第一次质量检测 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1-5:DCDCD 6-10:CCCCC 11、12：BC 二、填空题 ‎13． 14．0 15．189 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：化简可得：.‎ ‎（1）由，.‎ 得：.‎ ‎∴函数的单调增区间为，.‎ ‎（2）∵，即.‎ ‎∴.‎ 可得，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 由，且的面积为，即.‎ ‎∴.‎ 由余弦定理可得：.‎ ‎∴.‎ ‎18．解：（1）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件，‎ 则；‎ ‎（2）依据条件，服从超几何分布，其中，，，‎ 的可能值为0，1，2，3，其分布列为：‎ ‎，其中；‎ ‎（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为.‎ 一年中空气质量达到一级的天数为，则；‎ ‎∴（天）.‎ ‎∴一年中平均120天的空气质量达到一级.‎ ‎19．解：（1）证明：由底面为正方形，连接，且与交于点 因为、分别为线段、的中点，可得，平面，平面，则直线平面.‎ ‎（2）由于，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，，‎ 则.‎ 设平面的法向量为.‎ 所以.‎ 令，所以.‎ 所以平面的法向量为.‎ 则向量与的夹角为，则.‎ 则与平面夹角的余弦值为.‎ ‎20．解：（1）由椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以，①‎ 由椭圆的通径，②‎ 解得：，.‎ ‎∴椭圆的标准方程：.‎ ‎（2）设直线：，，.‎ 易知：时，不满足，故，‎ 则，整理得：，‎ 显然，‎ ‎∴，，‎ 于是.‎ 故的中点.‎ 由为等边三角形，‎ 则.‎ 连接则，‎ 即，整理得，‎ 则，‎ 由为等边三角形，则，.‎ ‎∴.‎ 整理得：,‎ 即，解得：，则，‎ ‎∴直线的方程，即.‎ ‎21．解：（1）的定义域为，‎ 令，得.‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减.‎ ‎∴单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）证明：因为，‎ 故，（）.‎ 由（），‎ 得，即.‎ 要证，需证，‎ 即证.‎ 设（），则要证（）.‎ 令.‎ 则.‎ ‎∴在上单调递增，则.‎ 即.‎ 故.‎ ‎22．解：（1）曲线的极坐标方程为：，‎ 即，‎ 化为直角坐标方程：.‎ 将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线：.‎ ‎（2）直线的极坐标方程为，‎ 展开可得：.‎ 可得直角坐标方程：.‎ 可得参数方程：（为参数）.‎ 代入曲线的直角坐标方程可得：.‎ 解得，.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎23．解：（1）当时，解得.‎ 当时，无解，‎ 当时，解得.‎ ‎∴的解集为或.‎ ‎（2）由已知恒成立.‎ ‎∴恒成立.‎ 又.‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴时，不等式恒成立.‎