2020高考理科数学二轮分层特训卷：仿真模拟专练 （五）
专练(五)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2019·福建福州质检]已知集合A＝{x|2x＋1>3}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∪B＝( )
A．{x|1
1} D．{x|x>－1}
答案：D
解析：因为3∈A，所以3∈(A∪B)，排除A，B.因为－1∉A且－1∉B，所以－1∉(A∪B)，排除C，故选D.
2．[2019·北京八十中学月考]若a，b，c是常数，则“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：∵a>0且b2－4ac<0时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上且与x轴没有交点，所以对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0；又a＝b＝0，c>0时，对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0，而此时a>0且b2－4ac<0不成立，所以“a>0且b2－4ac<0”是“对任意x∈R，有ax2＋bx＋c>0”的充分不必要条件，故选A.
3．[2019·辽宁沈阳育才学校联考]欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的，建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，ei＋ei表示的复数的模为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意得ei＋ei＝cos＋isin＋cos＋isin＝＋i，所以其表示的复数的模为＝，故选C.
4．[2019·湖北鄂东南省级示范高中联考]若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－10，a9＝－1<0，所以Sn取得最大值时n的值为8.故选D.
解法二 设{an}的公差为d，则由题意得解得则Sn＝15n＋×(－2)＝－(n－8)2＋64(n∈N*)，所以当n＝8时，Sn取得最大值．故选D.
7．[2019·陕西黄陵中学模拟]中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，后来用它表示上、下两个底面均为矩形(不能全为正方形)、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体．关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个 “刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )
A. B.
C．39 D.
答案：B
解析：设下底面的长、宽分别为x，y，则2(x＋y)＝18，x＋y＝9，则x∈.则“刍童”的体积为×3×[2(6＋x)＋(2x＋3)y]＝(30＋2xy＋y)＝(－2x2＋17x＋39)＝－x2＋x＋，当x＝时，“刍童”的体积取得最大值，最大值为，故选B.
8．[2019·河北正定中学月考]设函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)对任意的x∈R，都有f(－x)＝f，若函数g(x)＝sin(ωx＋φ)－2，则g的值是( )
A．1 B．－5或3
C. D．－2
答案：D
解析：因为对任意的x∈R，都有f(－x)＝f，所以函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，所以f＝4cos＝±4，即cos＝±1，所以sin＝0，所以g＝－2，故选D.
9．[2019·黑龙江哈尔滨六中二模]某日5名同学去食堂就餐，有米饭、花卷、
包子和面条4种主食．每种主食均至少有一名同学选择且每人只能选择其中一种．花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学因肠胃不好不能吃米饭，则不同的选择方案种数为( )
A．96 B．120
C．132 D．240
答案：C
解析：分三种情况：(1)甲选花卷，有CCA＝36种方案；(2)甲选包子或面条中的一种且只有甲一人食用，有CCCA＝48种方案；(3)甲选包子或面条中的一种且有两人食用，有CCA＝48种方案．综上，不同的选择方案共有36＋48＋48＝132(种)，故选C.
10．[2019·河南开封定位考]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x为( )
A．－1
B．0
C．－1或1
D．－1或0
答案：D
解析：由题意得y＝当x<0时，由－x2＋4＝3，得x＝±1，∵x<0，∴x＝－1.当x≥0时，由3x＋2＝3，得x＝0.∴x＝－1或0，故选D.
11．[2019·福建厦门一检]双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若＝2，|F1F2|＝2|OB|，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
答案：C
解析：如图，连接F2B，因为|F1F2|＝2|OB|，
且O为F1，F2的中点，所以∠F1BF2＝90°.
因为＝2，所以A为线段F1B的中点，
所以OA∥F2B，所以OA⊥F1B，所以∠AOF1＝∠AOB.
因为直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，
所以∠AOF1＝∠BOF2，所以∠BOF2＝60°，
则＝tan∠BOF2＝，
所以双曲线的离心率e＝＝＝2，故选C.
12．[2019·江西两校联考]已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x<1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则实数a的取值范围是( )
A.∪(5，＋∞) B.∪[5，＋∞)
C.∪(5，7) D.∪[5，7)
答案：A
解析：由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，
因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．
函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成函数f(x)与h(x)＝loga|x|的图象至少有6个交点，需对a进行分类讨论．
①若a>1，画出满足题意的图象，如图1所示，则loga5<1，即a>5.
②若00)，因为
所以得
所以S4＝＝30.
15．[2019·安徽黄山模拟]若函数f(x)＝x2－1，对任意x∈，f－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案：∪
解析：依据题意，得对任意x∈，－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立，即对任意x∈，－4m2≤－－＋1恒成立．当x＝时，函数y＝－－＋1取得最小值－，所以－4m2≤－，即(3m2＋1)·(4m2－3)≥0，解得m≤－或m≥，故m的取值范围为∪.
16．[2019·重庆一中月考]△ABC中，AB＝5，BC＝5，A＝，点P是△ABC内(包括边界)的一个动点，且＝－λ(λ∈R)，则||的最大值为________．
答案：
解析：因为△ABC中，AB＝5，BC＝5，A＝，BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A，
所以AC＝10，AC2＝BC2＋AB2，所以B＝.
以A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(5，0)，C(5，5)．
设点P为(x，y)，0≤x≤5，0≤y≤5.因为＝－λ，
所以(x，y)＝(5，0)－λ(5，5)＝(3－2λ，－2λ)，
所以，所以y＝(x－3)，
所以动点P在直线y＝(x－3)上，
如图，画出该直线，则易知当点P为该直线与BC的交点时，
||取得最大值．
又易知此时点P的坐标为(5，2)，
故||max＝ ＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(12分)[2019·甘肃酒泉五校联考]已知在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，
AB⊥AD，AB＝1，AC＝，△ABC的面积为.
(1)求sin∠CAB的值；
(2)若∠ADC＝，求CD的长．
解析：(1)依题意知，△ABC的面积S＝AB×BC×sin∠ABC＝×1×BC×＝，由此可得BC＝.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin∠CAB＝＝.
(2)由题设知，∠CAB<，则cos∠CAB＝＝＝，
因为AB⊥AD，所以∠DAC＋∠CAB＝，
则sin∠DAC＝cos∠CAB＝.
在△ACD中，由正弦定理，得＝，
即＝，所以CD＝＝4.
18．(12分)[2019·山西省太原市检测]如图1，在△ABC中，AB＝3，DE＝2，AD＝2，∠BAC＝90°，DE∥AB，将△CDE沿DE折到如图2中△C1DE的位置，点P在C1E上．
(1)求证：平面PAB⊥平面ADC1；
(2)若∠ADC1＝60°，且AP与平面ABED所成角的正弦值为，求二面角P－AD－B的余弦值．
解析：(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.
∵DE∥AB，∴DE⊥AD，DE⊥CD.
由折叠性质得DE⊥DC1，又AD∩DC1＝D，
∴DE⊥平面ADC1，
∴AB⊥平面ADC1.
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ADC1.
(2)由(1)得AB⊥平面ADC1，∴AB⊥AD，AB⊥AC1.
∵DE∥AB，∴＝.
∵AB＝3，DE＝2，AD＝2，∴CD＝C1D＝4.
∵∠ADC1＝60°，∴由余弦定理得AC1＝2，
∴C1D2＝AC＋AD2，∴AC1⊥AD.
以点A为原点，的方向为x轴的正方向，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
则A(0，0，0)，B(0，3，0)，D(－2，0，0)，C1(0，0，2)，E(－2，2，0)，
设＝＋λ(0≤λ≤1)，
则＝(－2λ，2λ，2(1－λ))，
易知＝(0，0，2)是平面ABED的一个法向量，
则cos〈，〉＝＝＝，
∴λ＝，∴P，
设m＝(x，y，z)是平面PAD的一个法向量，则
∴
令z＝1，则m＝(0，－2，1)，
∴cos〈m，〉＝＝.
由图知二面角P－AD－B的平面角为锐角，
∴二面角P－AD－B的余弦值为.
19．(12分)[2019·福建省福州市高三下学期质量检测]最近由中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0，3)，[3，6)，[6，9)，[9，12)，[12，15](单位：千元)分组的频率分布直方图如下：
乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
月收入
[0，3)
[3，6)
[6，9)
[9，12)
[12，15]
户数
38
27
24
9
2
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”．把频率视为概率，求M的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元，1千元，请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关．
幸福指数低
幸福指数高
总计
甲小区租户
乙小区租户
总计
附：临界值表
P(K2≥k)
0.10
0.010
0.001
k
2.706
6.635
10.828
参考公式：K2＝.
解析：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，
甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060＋0.160)×3＝0.66，
故P(A)的估计值为0.66；
乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为＝0.35，
故P(B)的估计值为0.35.
因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，
所以事件M的概率的估计值P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.
(2)设甲小区所抽取100户租户的月收入的中位数为t千元，
则0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，
解得t＝5.
所以甲小区100户租户的月收入的中位数为5千元．
(3)将列联表补充完整如下：
幸福指数低
幸福指数高
总计
甲小区租户
66
34
100
乙小区租户
38
62
100
总计
104
96
200
根据2×2列联表中的数据，
得到K2的观测值k＝≈15.705>10.828，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关．
20．(12分)[2019·湖南长沙雅礼中学月考]如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F2，F1，短轴两个端点分别为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，CM交椭圆于点P.证明：·为定值．
解析：(1)由题意知a＝2，b＝c，a2＝b2＋c2，∴b2＝2，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)易知C(－2，0)，D(2，0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，
则＝(x1，y1)，＝(2，y0)，
直线CM：＝，即y＝x＋y0，
代入x2＋2y2＝4，得x2＋yx＋y－4＝0.
∴x1×(－2)＝，∴x1＝－，y1＝，
∴＝，
∴·＝－＋＝＝4(定值)．
21．(12分)[2019·吉林长春质检]已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x(其中常数a≠0)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，求实数a的值．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋x2－3x，x>0，
f′(x)＝＋2x－3＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝1.
当00，所以函数f(x)在上单调递增；
当1时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
综上可知，函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.
(2)f′(x)＝＋2ax－(2a＋1)＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝.
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以≠1.
当<0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x)在(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2.
当0<<1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，e]上单调递增，
所以f(x)的最大值1可能在x＝或x＝e处取得，
而f＝ln＋a2－(2a＋1)×＝ln－－1<0，
所以f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝.
当1<
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