2018-2019学年江苏省启东中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省启东中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省启东中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据题意，求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求解倾斜角的取值范围.‎ 详解：根据题意，直线的斜率为，则，‎ 设直线的倾斜角为，则，即，‎ 所以，即直线的倾斜角为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了直线的倾斜角的求解，其中根据直线方程求得直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎2．设的内角、、所对边分别为，，，， ，.则（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】A ‎【解析】先由正弦定理算出，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可知 ，解得 ‎ 又因为在中， ，所以 ‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理及解三角形问题，属于简单题。‎ ‎3．平面 平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）‎ A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交 ‎【答案】D ‎【解析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.‎ ‎【详解】‎ 由题平面 平面 ，直线，‎ 则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题。‎ ‎4．经过点，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有（ ）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎【答案】D ‎【解析】由题可知当直线过原点时，截距相等且等于0，当直线不过原点时，截距的绝对值相等，设直线方程为截距式，将点代入即可求得方程，从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，直线方程是 ‎ 当直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时，设方程为，‎ 因为直线经过点 所以，，故方程是 ‎ 当直线在两坐标轴上的截距互为相反数且都不为0时，设方程为 因为直线经过点 所以，，故方程是 经过点，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求直线方程，解题的关键是考虑到截距等于零的情况，属于简单题。‎ ‎5．在中，若，，，则（ ）‎ A．19 B．-19 C．38 D．-38‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据三角形的三边长，求出三角形内角的余弦值，所求角与两向量的夹角互补，然后求向量的数量积。‎ ‎【详解】‎ 在中，若，，，‎ 所以 ‎ 又因为两向量的夹角与角互补，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形问题与数量积，解题的关键是注意三角形中所求角与两向量的夹角互补，属于简单题。‎ ‎6．已知圆M与直线和都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】到两直线及的距离都相等的直线方程为，联立方程组，解得.两平行线之间的距离为，所以，半径为，从而圆的方程为. 选.‎ ‎7．在中，若，，且，则=（ ）‎ A．30° B．90° C．150° D．30°或150°‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角形的面积计算公式求出，从而求出角.‎ ‎【详解】‎ 由题可知 ，因为，‎ 所以，即为 或 .‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形问题，解题的关键是求出 ，属于简单题。‎ ‎8．下列四个命题中正确的是（ ）‎ ‎① 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行；‎ ‎② 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；‎ ‎③ 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；‎ ‎④ 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行．‎ A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】①可由空间中直线与平面的位置关系判断； ② ③可由直线与平面平行的性质判断；④可用排查法判断。‎ ‎【详解】‎ 空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 ①错误，直线还可能与平面相交 ‎②正确 ‎ ‎ ③正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直线都在与这个平面平行的平面内。‎ ‎④不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中的直线与平面的位置关系，属于简单题。‎ ‎9．已知中，，，若仅有一解，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】若已知三角形的一边及该边的对角，且三角形形状唯一，求另一边，则该三角形是直角三角形或钝角三角形，然后再进一步确定另一边的长度。‎ ‎【详解】‎ 由题中已知中，，，则角所对的高线长可表示为，因为三角形形状唯一，所以三角形为直角三角形或钝角三角形，则 或， 所以 或 ‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形解的情况，解题的关键是找到临界值，属于简单题。‎ ‎10．在平面直角坐标系中，圆，圆，若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆 依次交于点，，满足，则半径的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出两个圆的圆心距，的最大值为直径。利用已知条件判断半径的取值范围即可。‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心，半径为 ‎ 的圆心 ，半径为 ‎ 两圆圆心距为 ‎ 由题可知的最大值为圆的直径，如图 当两圆外离，共线时，此时 ，,所以，即半径最小值为 ；‎ 当半径扩大两圆内含共线时，此时，即半径的最大值为 ‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 此题考查两圆的位置关系，解题的关键是结合图形找到临界条件，属于一般题。‎ 二、填空题 ‎11．三条直线两两平行，则过其中任意两条直线最多共可确定____个平面．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】三条直线可能在同一个平面内，也可能不在同一个平面内，分以上两种情况加以讨论，从而得到最多可以确定3个平面。‎ ‎【详解】‎ 当三条直线在同一个平面内，则通过任意两条平行线可确定一个平面；‎ 当三条直线不在同一个平面内，如三棱柱三条侧棱所在直线，此时经过任意两条直线确定三个平面。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题。‎ ‎12．若直线与直线平行，则实数的值为____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：两直线平行，则对应项系数成比例，但要注意常数项．‎ 详解：由题意，，‎ 时，两直线方程为，，重合，不合题意，舍去，‎ 时，两直线方程为和，平行，‎ ‎∴．‎ 故答案为1．‎ 点睛：直线与直线平行，则，但时，这两直线不一定平行，可能重合．解题时要注意检验．‎ ‎13．如果用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求半圆的弧长，即圆锥的底面周长，然后求出底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高。‎ ‎【详解】‎ 半径为的半圆弧长为，则圆锥底面圆的周长是，‎ 所以圆锥的底面半径为 ‎ 所以圆锥的高为 ‎【点睛】‎ 本题解题的关键是求出圆锥底面圆的半径，属于简单题。‎ ‎14．在中，，则是____三角形.‎ ‎【答案】等腰直角 ‎【解析】试题分析：根据题意，由于,,故可知角B=C=，故可知答案为等腰直角三角形。‎ ‎【考点】解三角形 点评：解决的关键是根据三角形的正弦定理和余弦定理来解得，属于基础题。‎ ‎15．设集合，，当 时，则实数的取值范围是__‎ ‎【答案】r≥3‎ ‎【解析】分别求出两圆的圆心坐标与半径，，即两圆至少外切有一个交点，，通过半径关系即可求得答案。‎ ‎【详解】‎ 集合中圆心坐标是，半径是，中圆心坐标是 ，半径是，且圆心到坐标原点的距离是，当时，则集合 表示的圆至少有一个交点，即外切，则 ‎ 故 .‎ ‎【点睛】‎ 本题通过集合考查圆与圆的位置关系，属于简单题。‎ ‎16．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为____．‎ ‎【答案】81‎ ‎【解析】由已知及正弦定理得，利用三角形的三边关系可得，从而得到，结合题意利用二次函数的性质可求得实数的最小值。‎ ‎【详解】‎ 因为，由正弦定理可得 ‎ 所以 ‎ 又因为在三角形中 ‎ 所以 当时，取得最大值为 ‎ 所以，即实数 的最小值是 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题需通过正弦定理，三角形的三边性质，以及二次函数的性质进行求解，属于偏难题目。‎ 三、解答题 ‎17．如图，在正方体中，为棱的中点．‎ ‎ 求证：（1）∥平面；‎ ‎（2）平面⊥平面 ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.‎ 试题解析：‎ 证明：（1）连交于，连，‎ 因为为的中点，为的中点，所以．．．．．．．．．．．．3分 又平面平面，‎ 所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（2）因为平面，所以于，‎ 所以平面，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 同理可证，．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 又于，所以平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 因为，所以平面，‎ 又平面，‎ 所以平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 ‎【考点】线面平行的判定定理及面面垂直的判定定理等有关知识的综合运用．‎ ‎18．在中，角，，的对边分别为，，，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的外接圆直径为1，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由“切化弦”得，然后去分母整理得到，即，或(不成立，因为可得，显然错误)；故，得.（2）由（1），故 ‎，然后由正弦定理得可知，，化简得，可得.‎ 试题解析：(1)因为，即，‎ 所以，‎ 即，‎ 得．‎ 所以，或(不成立)．‎ 即,得．‎ ‎(2)由 ．‎ 因，‎ 故 ‎=．‎ ‎ ，故．‎ ‎【考点】1.三角很等变换；2.正弦定理和余弦定理；3.三角函数的值域.‎ ‎19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，连接,由题意知,，所以.‎ 又，所以是等边三角形.‎ 所以 .‎ 由题意知，，‎ 在中，由余弦定理，得 ，所以.‎ 因此，乙船速度的大小为.‎ 答：乙船每小时航行.‎ ‎20．在直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线于点.‎ ‎（1）当的中点为时，求直线的方程；‎ ‎（2）当的中点在直线上时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）设，因为是的中点，则可根据中点坐标公式表示点坐标，然后代入直线中求出，再根据直线的两点式方程求出答案。‎ ‎（2）分别求出两点坐标，求出中点坐标，因为的中点在直线上，代入求解即可。‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，则， ‎ 有，解得，故，‎ 则直线的方程为 ,‎ 即； ‎ ‎（2）设，,则根据题意得 ，‎ 解得（舍）或 ‎ 所以 ‎ 故所求直线的方程为，‎ 即 ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点有求直线方程，中点坐标公式，解题的关键是利用中点坐标公示求出点坐标，属于一般题。‎ ‎21．已知四边形是圆的内接四边形，，，，求四边形的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接，由于，所以 ‎ 在和中分别利用余弦定理列出方程表示,然后解得 从而求得，则可通过三角形的面积计算公式求出四边形的面积.‎ ‎【详解】‎ 解：在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以 ‎ 同理在中，可得, ‎ 因为，‎ 所以，所以， ‎ ‎． ‎ 所以设四边形的面积为，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形问题，解题的关键是通过余弦定理和中分别列出方程表示，属于一般题。‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知圆经过，，，三点，是线段上的动点，，是过点且互相垂直的两条直线，其中交轴于点，交圆于、两点．‎ ‎（1）若，求直线的方程；‎ ‎（2）若是使恒成立的最小正整数，求三角形的面积的最小值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）求出圆心与半径，设方程为：，因为，则直线到圆心的距离，即可求直线 的方程.‎ ‎（2）设，由点在线段上，得，因为，所以. ‎ 依题意知，线段与圆至多有一个公共点，所以，由此入手求得三角形的面积的最小值 ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知，圆的直径为，所以圆方程为：.‎ 设方程为：，则，解得，， ‎ 当时，直线与轴无交点，不合，舍去．‎ 所以，此时直线的方程为. ‎ ‎（2）设，由点在线段上，得，即.‎ 由，得. ‎ 依题意知，线段与圆至多有一个公共点，‎ 故，解得或.‎ 因为是使恒成立的最小正整数，所以. ‎ 所以圆方程为： ‎ ‎(i) 当直线时，直线的方程为，此时， ‎ ‎(ii) 当直线的斜率存在时，‎ 设的方程为：，则的方程为：，点.‎ 所以 .‎ 又圆心到的距离为，所以 故 ‎ ‎ ‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线与直线问题，涉及到的知识点有求圆的方程，直线方程，点到直线的距离公式，以及恒成立问题等，解题的关键是求出圆的方程，属于偏难题目。‎