2019届二轮复习直线与圆锥曲线课件（125张）（全国通用）

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5.3 　直线与圆锥曲线 - 2 - - 3 - - 4 - - 5 - 2 . 求解圆锥曲线标准方程的方法是 “ 先定型 , 后计算 ” (1) 定型 , 就是指定类型 , 也就是确定圆锥曲线的焦点位置 , 从而设出标准方程 . (2) 计算 , 就是利用待定系数法求出方程中的 a 2 , b 2 或 p. 另外 , 当焦点位置无法确定时 , 椭圆常设为 mx 2 +ny 2 = 1( m> 0, n> 0), 双曲线常设为 mx 2 -ny 2 = 1( mn> 0), 抛物线常设为 y 2 = 2 ax 或 x 2 = 2 ay ( a ≠0) . (3) 椭圆与双曲线的方程形式上可统一为 Ax 2 +By 2 = 1, 其中 A , B 是不相等的常数 , 当 A>B> 0 时 , 表示焦点在 y 轴上的椭圆 ; 当 B>A> 0 时 , 表示焦点在 x 轴上的椭圆 ; 当 AB< 0 时 , 表示双曲线 . - 6 - - 7 - 5 . 直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求 , 根据根与系数的关系进行整体代入 , 即斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 时 , 6 . 通径 : 过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径 , 椭圆与双曲线的通径长 为 , 过椭圆及双曲线焦点的弦中通径最短 ; 抛物线通径长是 2 p , 过抛物线焦点的弦中通径最短 . 椭圆上点到焦点的最长距离为 a+c , 最短距离为 a-c. - 8 - - 9 - - 10 - 8 . 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量 , 那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等 , 这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点 , 就是要求的定点 . 解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等 , 根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量 . 9 . 点在圆锥曲线内部或外部的 充要条件 - 11 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 5 . 3 . 1 　 直线与圆及圆锥曲线 求轨迹方程 解题策略一 　 直接法   例 1 已知过点 A (0,2) 的动圆恒与 x 轴相切 , 设切点为 B , AC 是该圆的直径 . (1) 求点 C 轨迹 E 的方程 ; (2) 当 AC 不在坐标轴上时 , 设直线 AC 与曲线 E 交于另一点 P , 该曲线在 P 处的切线与直线 BC 交于点 Q , 求证 : △ PQC 恒为直角三角形 . 难点突破 (1) 利用 AC 是直径 , 所以 BA ⊥ BC , 或 C , B 均在坐标原点 , 由此求点 C 轨迹 E 的方程 ; (2) 设直线 AC 的方程为 y=kx+ 2, 由 得 x 2 - 8 kx- 16 = 0, 利用根与系数的关系及导数的几何意义 , 证明 QC ⊥ PQ , 即可证明结论 . - 12 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 13 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题心得 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 , 设出动点坐标 , 直接利用等量关系建立 x , y 之间的关系 F ( x , y ) = 0, 就得到轨迹方程 . - 14 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 对点训练 1 已知点 P (2,2), 圆 C : x 2 +y 2 - 8 y= 0, 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A , B 两点 , 线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点 . (1) 求 M 的轨迹方程 ; (2) 当 |OP|=|OM| 时 , 求 l 的方程及 △ POM 的面积 . 解 : (1) 圆 C 的方程可化为 x 2 + ( y- 4) 2 = 16, 所以圆心为 C (0,4), 半径为 4 . 故 x (2 -x ) + ( y- 4)(2 -y ) = 0, 即 ( x- 1) 2 + ( y- 3) 2 = 2 . 所以 M 的轨迹方程是 ( x- 1) 2 + ( y- 3) 2 = 2 . - 15 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 16 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题策略二 　 相关点法   ( 1) 求曲线 C 的方程 ; (2) 若动直线 l 2 : y=kx+m 与曲线 C 有且仅有一个公共点 , 过 F 1 ( - 1,0), F 2 (1,0) 两点分别作 F 1 P ⊥ l 2 , F 2 Q ⊥ l 2 , 垂足分别为 P , Q , 且记 d 1 为点 F 1 到直线 l 2 的距离 , d 2 为点 F 2 到直线 l 2 的距离 , d 3 为点 P 到点 Q 的距离 , 试探索 ( d 1 +d 2 )· d 3 是否存在最值 ? 若存在 , 请求出最值 . - 17 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 难点突破 (1) 设圆 C 1 : x 2 +y 2 =R 2 , 根据圆 C 1 与直线 l 1 相切 , 求出圆的方程为 x 2 +y 2 = 12, 由此利用相关点法能求出曲线 C 的方程 . (2) 将直线 l 2 : y=kx+m 代入曲线 C 的 方程 中 , 得 (4 k 2 + 3) x 2 + 8 kmx+ 4 m 2 - 12 = 0, 由此利用根的判别式、根与系数的关系、直线方程、椭圆性质、弦长公式 , 结合已知条件能求出 ( d 1 +d 2 )· d 3 存在最大值 , 并能求出最大值 . - 18 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 19 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 20 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 21 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题心得 如果动点 P 的运动是由另外某一点 Q 的运动引发的 , 而该点坐标满足某已知曲线方程 , 则可以设出 P ( x , y ), 用 ( x , y ) 表示出相关点 Q 的坐标 , 然后把 Q 的坐标代入已知曲线方程 , 即可得到动点 P 的轨迹方程 . - 22 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 ( 1) 求曲线 C 的方程 ; (2) 直线 l 与直线 l 1 垂直且与曲线 C 交于 P , Q 两点 , 求 △ OPQ 面积的最大值 . - 23 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 24 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 25 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题策略三 　 定义法   例 3 (2016 浙江 , 文 19) 如图 , 设抛物线 y 2 = 2 px ( p> 0) 的焦点为 F , 抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 |AF|- 1 . (1) 求 p 的值 ; (2) 若直线 AF 交抛物线于另一点 B , 过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N , AN 与 x 轴交于点 M. 求 M 的横坐标的取值范围 .   - 26 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 27 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 28 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题心得 1 . 若动点的轨迹符合某已知曲线的定义 , 可直接设出相应的曲线方程 , 用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数 , 从而求出轨迹方程 . 2 . 涉及直线与圆的位置关系时 , 应多考虑圆的几何性质 , 利用几何法进行运算求解往往会减少运算量 . - 29 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 对点训练 3 (2018 浙江重点高中五校联考 ) 已知抛物线 C : y 2 = 2 px ( p> 0), 直线 l : x-y- 2 = 0 与抛物线 C 交于 A , B 两点 . (1) 若直线 l 过抛物线 C 的焦点 , 求 |AB|. (2) 已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 M 和 N , 求 p 的取值范围 .   - 30 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 (2) 依题意可知直线 l 垂直平分线段 MN , 于是直线 MN 的斜率为 - 1, 设其方程为 y=-x+b , 代入 y 2 = 2 px 中消去 x 可得到 : y 2 + 2 py- 2 pb= 0( * ) 设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), 从而 y 1 +y 2 =- 2 p ; 故线段 MN 的中点 G (2 -p , -p ), 又因为 G 在直线 MN : y=-x+b 上 , 所以 b= 2 - 2 p , 因为方程 ( * ) 有两个相异实根 , 所以 Δ= 4 p 2 + 8 pb> 0, 即 p+ 2 b> 0, - 31 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 直线和圆的综合 解题策略 　 几何法   例 4 (2017 全国 Ⅲ , 理 20) 已知抛物线 C : y 2 = 2 x , 过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A , B 两点 , 圆 M 是以线段 AB 为直径的圆 . (1) 证明 : 坐标原点 O 在圆 M 上 ; (2) 设圆 M 过点 P (4, - 2), 求直线 l 与圆 M 的方程 . 难点突破 (1) 因圆 M 是以 AB 为直径的圆 , 要证原点 O 在圆 M 上 , 只需证 OA ⊥ OB ⇔ k OA · k OB =- 1; (2) 联立直线与抛物线的方程 ⇒ 线段 AB 中点坐标 ⇒ 圆心 M 的坐标 ( 含参数 ) ⇒ r=|OM| ; 圆 M 过点 P (4, - 2) ⇒ = 0 ⇒ 参数的值 ⇒ 直线 l 与圆 M 的方程 . - 32 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 33 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 34 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 解题心得 处理直线与圆的综合问题 , 要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用 , 如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形 , 利用圆的一些特殊几何性质解题 , 往往使问题简化 . - 35 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 已知 P ( - 2,0) 与 Q (2,0) 为平面内的两个定点 , 过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点 , 求四边形 APBQ 面积的最大值 . - 36 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 37 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 38 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 39 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 40 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 41 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 42 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 直线与圆锥曲线的综合 解题策略 　 判别式法   例 5 在平面直角坐标系 xOy 中 , 已知椭圆 C 1 : ( a>b> 0) 的左焦点为 F 1 ( - 1,0), 且点 P (0,1) 在 C 1 上 . (1) 求椭圆 C 1 的方程 ; (2) 设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y 2 = 4 x 相切 , 求直线 l 的方程 . 难点突破 (1) 由焦点坐标知 c= 1, 由点 P 在椭圆上知 b , 从而求得椭圆方程 . (2) 求直线方程即求直线方程中的斜率 k , 截距 m , 由 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 相切 , 联立两个方程组 , 由判别式等于 0 得出关于 k , m 的两个方程 , 解之得直线方程 . - 43 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 解 : (1) 因为椭圆 C 1 的左焦点为 F 1 ( - 1,0), 点 P (0,1) 在 C 1 上 , 所以 c= 1, b= 1, 所以 a 2 =b 2 +c 2 = 2 . 所以椭圆 C 1 的方程 为 + y 2 = 1 . (2) 由题意可知 , 直线 l 的斜率显然存在且不等于 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+m , 消去 y 并整理得 (1 + 2 k 2 ) x 2 + 4 kmx+ 2 m 2 - 2 = 0 . 因为直线 l 与椭圆 C 1 相切 , 所以 Δ 1 = 16 k 2 m 2 - 4(1 + 2 k 2 )(2 m 2 - 2) = 0 . - 44 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 45 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 解题心得 1 . 判断直线与圆锥曲线的交点个数时 , 可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定 , 需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0 . 2 . 依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时 , 联立方程组并消元转化为一元方程 , 若二次项系数为 0, 则方程为一次方程 ; 若不为 0, 则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解 . - 46 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 如图 , 若斜率为 k ( k ≠0) 的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 相交于点 A , M , N ( 点 A 在椭圆右顶点的右侧 ), 且 ∠ NF 2 F 1 = ∠ MF 2 A. 求证 : 直线 l 恒过定点 , 并求出斜率 k 的取值范围 . - 47 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 48 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 49 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 5 . 3 . 2 　 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 圆锥曲线中的最值问题 解题策略 　 函数最值法   ( 1) 求直线 AP 斜率的取值范围 ; (2) 求 |PA| · |PQ| 的最大值 . - 50 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 ( 2) 以 AP 斜率 k 为自变量 , 表示出 |PA| , 联立直线 AP 与 BQ 的方程用 k 表示出点 Q 的横坐标 , 从而用 k 表示出 |PQ| , 得到 |PA| · |PQ| 是关于 k 的函数 , 用函数求最值的方法求出最大值 . - 51 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 52 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题心得 圆锥曲线中的有关最值问题 , 通过某一变量表示出所求变量的函数表达式 , 转化为函数的最值问题 , 然后求导确定函数单调性求最值 , 或利用基本不等式 , 或利用式子的几何意义求最值 . - 53 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 对点训练 1 (2017 福建厦门二模 , 理 20) 在平面直角坐标系 xOy 中 , △ ABC 的周长为 12, AB , AC 边的中点分别为 F 1 ( - 1,0) 和 F 2 (1,0), 点 M 为 BC 边的中点 . (1) 求点 M 的轨迹方程 ; (2) 设点 M 的轨迹为曲线 T , 直线 MF 1 与曲线 T 另一个交点为 N , 线段 MF 2 中点为 E , 记 - 54 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 - 55 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 圆锥曲线中的范围问题 ( 多维探究 ) 解题策略一 　 条件转化法   ( 1) 求椭圆 E 的方程 ; (2) 设过点 P 的动直线 l 与 E 相交于 M , N 两点 , 当坐标原点 O 位于以 MN 为直径的圆外时 , 求直线 l 斜率的取值范围 . - 56 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 57 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 58 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 59 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 解题心得 求某一量的取值范围 , 要看清与这个量有关的条件有几个 , 有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式 , 解不等式取交集得结论 . - 60 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 对点训练 2 (2018 浙江高三适应性考试 ) 已知抛物线 C : x 2 = 4 y 的焦点为 F (0,1), 过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交曲线 C 于 A , B 两点 , 交圆 F : x 2 + ( y- 1) 2 = 1 于 M , N 两点 ( A , M 两点相邻 ) . (2) 过 A , B 两点分别作曲线 C 的切线 l 1 , l 2 , 两切线交于点 P , 求 △ AMP 与 △ BNP 面积之积的最小值 . - 61 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 62 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 63 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 64 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 65 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 66 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 67 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 解题心得 求直线与圆锥曲线的综合问题中 , 求与直线或与圆锥曲线有关的某个量 d 的范围问题 , 依据已知条件建立关于 d 的函数表达式 , 转化为求函数值的范围问题 , 然后用函数的方法或解不等式的方法求出 d 的范围 . - 68 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 69 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 70 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 71 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 - 72 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 圆锥曲线中的证明问题 解题策略 　 转化法   例 4 椭圆 E : 的 焦点在 x 轴上 , A 是 E 的左顶点 , 斜率为 k ( k> 0) 的直线交 E 于 A , M 两点 , 点 N 在 E 上 , MA ⊥ NA. (1) 当 t= 4, |AM|=|AN| 时 , 求 △ AMN 的面积 ; (2) 当 2 |AM|=|AN| 时 , 求 k 的取值范围 . 难点突破 (1) A 是椭圆的左顶点及 MA ⊥ NA ⇒ AM 的倾斜角 为 ⇒ AM 的方程再代入椭圆方程 ⇒ y M ⇒ △ AMN 的面积 . (2) MA ⊥ NA ⇒ k MA · k NA =- 1 ⇒ 用 k 表示出两条直线方程 , 分别与椭圆联立 , 用 k 表示出 |AM| 与 |AN| ,2 |AM|=|AN| ⇒ t=f ( k ), 由椭圆焦点在 x 轴 ⇒ t> 3 ⇒ g ( k ) < 0 ⇒ k 的范围 . - 73 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 74 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 75 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 解题心得 圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广 , 但无论证明什么 , 其常用方法有直接法和转化法 , 对于转化法 , 先是对已知条件进行化简 , 根据化简后的情况 , 将证明的问题转化为另一问题 , 如本例中把证明 k 的范围问题转化为方程的零点 k 所在的范围问题 . - 76 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 77 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 78 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 - 79 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 5 . 3 . 3 　 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 圆锥曲线中的定点问题 ( 多维探究 ) 解题策略一 　 直接法   (1) 求 C 的方程 ; (2) 设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A , B 两点 . 若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率的和为 - 1, 证明 : l 过定点 . 考 向四 考 向五 - 80 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 81 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 82 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 83 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 对点训练 1 (2017 ~ 2018 学年第二学期浙江名校协作体试题 ) 已知抛物线 C : x 2 = 2 py ( p> 0), 且抛物线 C 在点 P (1, f (1)) 处的切线斜率 为 , 直线 l 与抛物线交于不同的两点 A , B , 且直线 AP 垂直于直线 BP . (1) 求证 : 直线 l 过定点 , 并求出定点坐标 ; (2) 直线 BP 交 y 轴于点 M , 直线 AP 交 x 轴于点 N , 求 的 最大值 . 考 向四 考 向五 - 84 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 85 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 86 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 87 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 88 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 89 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 90 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 解题心得 证明直线或曲线过某一确定的定点 ( 定点坐标已知 ), 可把要证明的结论当条件 , 逆推上去 , 若得到使已知条件成立的结论 , 即证明了直线或曲线过定点 . 考 向四 考 向五 - 91 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 对点训练 2 (2018 浙江诸暨等五校联考 ) 已知椭圆 C : 过 点 A (2,0), B (0,1) 两点 . (1) 求椭圆 C 的方程及离心率 . (2) 设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上 , 直线 PA 与 y 轴交于点 M , 直线 PB 与 x 轴交于点 N , 求证 : 四边形 ABNM 的面积为定值 . 考 向四 考 向五 - 92 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 93 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 94 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 圆锥曲线中的定值问题 解题策略 　 直接法   例 3 (2017 全国 Ⅲ , 文 20) 在直角坐标系 xOy 中 , 曲线 y=x 2 +mx- 2 与 x 轴交于 A , B 两点 , 点 C 的坐标为 (0,1) . 当 m 变化时 , 解答下列问题 : (1) 能否出现 AC ⊥ BC 的情况 ? 说明理由 ; (2) 证明过 A , B , C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . 难点突破 (1) 先假设能出现 AC ⊥ BC , 再验证直线 AC , BC 的斜率之积是否为 - 1, 从而得结论 ; (2) 设 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0), 点 C 的坐标已知 , 由 A , B , C 三点 ⇒ AB , BC 的中垂线方程 ⇒ 圆心坐标及圆半径 ⇒ 圆在 y 轴上的弦长 . 考 向四 考 向五 - 95 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 考 向四 考 向五 解 : (1) 不能出现 AC ⊥ BC 的情况 , 理由如下 : 设 A ( x 1 ,0), B ( x 2 ,0), 则 x 1 , x 2 满足 x 2 +mx- 2 = 0, 所以 x 1 x 2 =- 2 . 又 C 的坐标为 (0,1), 故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积 为 所以 不能出现 AC ⊥ BC 的情况 . - 96 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 97 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 解题心得 证某一量为定值 , 一般方法是用一参数表示出这个量 , 通过化简消去参数 , 得出定值 , 从而得证 . 考 向四 考 向五 - 98 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 对点训练 3 已知椭圆 C : ( a>b> 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 过 F 2 的直线 l 交椭圆于 A , B 两点 , △ ABF 1 的周长为 8, 且 △ AF 1 F 2 的面积最大时 , △ AF 1 F 2 为正三角形 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 若 MN 是椭圆 C 经过原点的弦 , MN ∥ AB , 求证 : 为 定值 . 考 向四 考 向五 解 : (1) 由已知 A , B 在椭圆上 , 可得 |AF 1 |+|AF 2 |=|BF 1 |+|BF 2 |= 2 a , 又 △ ABF 1 的周长为 8, 所以 |AF 1 |+|AF 2 |+|BF 1 |+|BF 2 |= 4 a= 8, 即 a= 2, 由椭圆的对称性可得 , △ AF 1 F 2 为正三角形当且仅当 A 为椭圆短轴顶点 , 则 a= 2 c , 即 c= 1, b 2 =a 2 -c 2 = 3, 则椭圆 C 的方程 为 - 99 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考向二 考 向三 考 向四 考 向五 - 100 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 圆锥曲线中的存在性问题 解题策略 　 肯定顺推法   ( 1) 求椭圆的方程 ; (2) 椭圆左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , 过 F 2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A , B , 则 △ F 1 AB 的内切圆的面积是否存在最大值 ? 若存在 , 求出这个最大值及此时的直线方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . 考 向四 考 向五 - 101 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 难点突破 (1) 设椭圆方程 , 由题意列关于 a , b , c 的方程组求解 a , b , c 的值 , 则椭圆方程可求 ; 考 向四 考 向五 - 102 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考 向五 - 103 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考 向五 - 104 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 解题心得 存在性问题通常用 “ 肯定顺推法 ”, 将不确定性问题明朗化 , 其步骤为假设满足条件的元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 , 用待定系数法设出 , 列出关于待定系数的方程组 , 若方程组有实数解 , 则元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 存在 ; 否则 , 元素 ( 点、直线、曲线或参数 ) 不存在 . 考 向四 考 向五 - 105 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 (1) 求椭圆 E 的标准方程 ; (2) 问直线 CD 是否过定点 ? 若过定点 , 求出定点坐标 ; 若不过定点 , 请说明理由 . 考 向四 考 向五 - 106 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考 向五 - 107 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考 向五 - 108 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 解析几何 化简中的换元法 解题策略 　 换元法   ( 1) 求椭圆 C 1 与抛物线 C 2 的标准方程 ; (2) 过 (1,0) 的两条相互垂直直线与抛物线 C 2 有四个交点 , 求这四个点围成四边形的面积的最小值 . - 109 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 110 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 111 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 112 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 解题心得 解析几何中常用的化简策略 —— 根号内开不出 , 便把根号外的项平方后移在根号里面 . 使用换元法后 , 注意新变量的取值范围 . - 113 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 114 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 115 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 116 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考向四 考 向五 - 117 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 解析几何化简中的双参数问题 解题策略 　 参数法   例 6 已知椭圆 C : ( a>b> 0) 的四个顶点是一边长为 2, 一内角为 60 ° 的菱形的四个顶点 . (1) 求椭圆 C 的方程 ; (2) 如果直线 y=kx ( k ≠0) 交椭圆 C 于不同的两点 E , F , 证明 : 点 Q (1,0) 始终在以 EF 为直径的圆内 ; (3) O 为原点 , 直线 l : y=mx+t ( m ≠0) 与椭圆 C 交于 A , B 两点 , 若存在 点 - 118 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 - 119 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 - 120 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 - 121 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 解题心得 第一步 , 直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点 , 设直线方程 ⇒ 联立得方程组 ⇒ 整理化简 ⇒ 两根之和、两根之积、根的判别式 . 第二步 , 将条件等式转化为关于 x 1 , x 2 的表达式或关于 y 1 , y 2 的表达式 , 然后 , 解出两个参数之间的关系式 , 将双参数问题转换成一个参数的问题 , 然后用函数的方法处理 . - 122 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 - 123 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 - 124 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五 - 125 - 5.3.1 5.3.2 5.3.3 考向一 考 向二 考向三 考 向四 考向五