数学理卷·2018届黑龙江省绥滨县第一中学高三上学期第二次月考（2017

数学理卷·2018届黑龙江省绥滨县第一中学高三上学期第二次月考（2017

‎2017-2018学年度绥滨一中高三第二次月考理科数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：（每题5分，共60分。）‎ ‎1．已知集合,则等于（ ）.‎ A. 0 B. ‎3 C. 0或3 D. 1或3‎ ‎2．若复数满足，则复数的实部与虚部之和为（ ）‎ A. -2 B. ‎2 C. -4 D. 4‎ ‎3．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．函数满足对任意都有成立， 且函数的图象关于点对称， ，则（ ）‎ A. 12 B. ‎8 C. 4 D. 0‎ ‎5．已知，不等式对于一切实数恒成立，又存在，使成立，则的最小值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．在中，若，则下面等式一定成立的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B．8π C． D． ‎ ‎8．在中，点是的三等分点（靠近点B），过点的直线分别交直线， 于不同两点，若，， 均为正数，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如： 及时，如图：‎ 记为每个序列中最后一列数之和，则为（ ）‎ A. 1089 B. ‎680 C. 840 D. 2520‎ ‎11．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）‎ A. 36 B. ‎24 C. 22 D. 20‎ ‎12．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题：（每题5分，共20分。）‎ ‎13．命题p: ，命题，若为真命题，则实数m的取值范围为________.‎ ‎14．若偶函数在上是增函数，且，则的取值范围是_____________ ；‎ ‎15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:‎ 甲说：“作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”‎ 丙说：“两项作品未获得一等奖” 丁说：“是或作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．‎ ‎16．已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）‎ 三、解答题：（要有必要的步骤和文字说明，共70分。）‎ ‎17．已知向量，＝，函数，‎ ‎（1）求函数的解析式及其单调递增区间；‎ ‎（2）当x∈时，求函数的值域．‎ ‎18．已知数列的前项和，且是2与的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎19．如图，四棱锥A-BCDE中，是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC平面BCDE，AB=2，AD=4．‎ ‎（1）若点G是AE的中点，求证：AC//平面BDG ‎（2）若F是线段AB的中点，求三棱锥B-EFC的体积.‎ ‎20．在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为．‎ ‎（1）请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎（2）若大学决定在成绩高的第组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试,‎ ‎（I）若大学本次面试中有三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为，求甲同学面试成功的概率；‎ ‎（II）若大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官的面试，第3组总有名学生被考官面试，求的分布列和数学期望．‎ ‎25．已知函数的图象过原点,且在处取得极值,直线与曲线在原点处的切线互相垂直.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若对任意实数的,恒有成立,求实数的取值范围.‎ ‎31．已知函数，其中， 为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）设是函数的导函数，讨论在上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，证明：当时， ；‎ ‎（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.‎ ‎22．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1．C ‎2．B ‎【解析】由题意可得： ，‎ 则实部与虚部之和为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．D ‎【解析】函数,‎ 则f′(x)=lnx−ax+x(=lnx−2ax+1‎ 令f′(x)=lnx−2ax+1=0得lnx=2ax−1，‎ 函数f(x)=x(lnx−ax)有两个极值点,等价于f′(x)=lnx−2ax+1有两个零点，‎ 等价于函数y=lnx与y=2ax−1的图象有两个交点，‎ 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图) ‎ 当a=时，直线y=2ax−1与y=lnx的图象相切，‎ 由图可知,当00，‎ 即所求不等式的解集为(0,+∞).‎ 本题选择B选项.‎ ‎13．‎ ‎【解析】∵为真命题，‎ ‎∴命题p、￢q都是真命题，q是假命题，‎ ‎∵命题p: ，‎ ‎∴﹣≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1‎ ‎∵sin（2x+）=，∴≤≤1，∴﹣1≤m≤2，‎ ‎∵￢q都是真命题，q是假命题，‎ ‎∴x2﹣2mx+1≥0，‎ ‎∴△=‎4m2‎﹣4≤0，即﹣1≤m≤1．‎ ‎∴﹣1≤m≤1，‎ 即所求m的取值范围是．‎ 故答案为： ‎ ‎14． ‎ ‎【解析】偶函数的图象关于轴对称，在上是增函数，则在上为减函数，由于，则 ，平方得： ， ，‎ ‎.‎ ‎15．C ‎【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．‎ ‎16．28‎ ‎【解析】∵各项系数和为256，令得,即 该二次展开式中的第项为 ‎==‎ 令=0，得，此时常数项为==28‎ 故答案为28.‎ ‎17．（1） ， （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积转化为三角函数关系式，再利用二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求单调递增区间（2）‎ 先确定对应正弦函数定义区间，再根据正弦函数图像求值域 试题解析：（1），      ‎ 令，解得：，所以函数的单调递增区间为（）。      ‎ ‎（2）因为，所以，即。    ‎ 则，则函数的值域为。‎ ‎18．(1) an＝2n;(2) Tn＝3－.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由前n项和与通项公式的关系可得数列的通项公式是an＝2n;‎ ‎(2)错位相减可得数列的前项和Tn＝3－.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵an是2与Sn的等差中项，‎ ‎∴2an＝2＋Sn， ①‎ ‎∴2an－1＝2＋Sn－1，(n≥2) ②‎ ‎①－②得，2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，‎ 即＝2(n≥2)．‎ 在①式中，令n＝1得，a1＝2．‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an＝2n.‎ ‎（2）bn＝＝．所以Tn＝＋＋＋…＋＋， ①‎ 则Tn＝＋＋＋…＋＋， ②‎ ‎①－②得，‎ Tn＝＋＋＋＋…＋－＝＋2(＋＋＋…＋)－＝＋2×－‎ ‎＝－．所以Tn＝3－． ‎ ‎19．（1）详见解析;（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）设相交于点，连接.由中位线可得根据线面平行的判定定理即可得证平面；（2）由面面垂直的性质定理可得平面,则可将棱锥的顶点转化为以点.由勾股定理可得.根据棱锥体积公式即可求其体积.‎ 试题解析：（1）证明：设，连接，由三角形的中位线定理可得：,‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎（2）∵平面平面，‎ ‎∴平面，∴,∴‎ 又∵是的中点，是正三角形，‎ ‎∴，∴，又平面平面，，‎ ‎∴平面，∴‎ ‎20． ‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为第四组的人数为60，所以总人数为：560=300，‎ 由直方图可知，第五组人数为0.025300=30人，又为公差，‎ 所以第一组人数为：45人，第二级人数为：75人，第三组人数为：90人 ‎ (2) (Ⅰ) ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎，‎ ‎25．(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)由题意结合导函数研究函数切线的方法，得到关于实数a,b的方程，求得实数a,b的值可得函数的解析式为 ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)中求得的函数的解析式可得函数f(x)的最大值是2,最小值为-2，据此可得实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎(I) 图象过原点, ‎ ‎① 曲线在原点处切线斜率 ‎ 又直线与切线垂直, 代入①得a=0, ‎ ‎ (II)由(I) ‎ 易知上为增函数,在[-1,1]上为减函数 ‎ 又 上的最大值是2,最小值为-2 ‎ 要使对任意恒成立,只需 即 ‎31．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由，有.‎ 所以.‎ 当时，，所以在上单调递增.‎ 当时，，所以在上单调递减.‎ 当时，令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）， 令得 在上递增， 上递减 所以 所以当时， ‎ ‎（Ⅲ）设为在区间内的一个零点，则由可知， 在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.‎ 则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.‎ 由（I）知，当时， 在上单调递增，故在内至多有一个零点.‎ 当时， 在上单调递减，故在内至多有一个零点.所以.‎ 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 因此， ，必有， .‎ 由，有，有，‎ ‎.解得.‎ 又由第（2）问当，‎ 由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.‎ 所以， ，故在内有零点.‎ 综上可知， 的取值范围是 ‎ ‎22．(1) 解集为或；(2) 的取值范围为．‎ ‎【解析】试题分析：零点分区间去绝对值，分段解不等式；‎ ‎（2）利用绝对值三角不等式，找到左侧最值，，直接去掉绝对值分情况解出即可；‎ ‎（Ⅰ）当时，，等价于：‎ ‎①，得；‎ ‎②，无解；‎ ‎③，得；‎ 综上，解集为或.‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎，‎ 则或，‎ 得，所以的取值范围为.‎ 点睛：主要是第二问中，首先恒成立求参转化为函数最值问题，‎ 用到了绝对值三角不等式求最值．‎