2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

贵州省遵义航天高级中学2017-2018学年高二上学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合， ，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合， 集合，故选C.‎ ‎2．下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，由于函数在上是增函数，所以区间上为增函数，故满足条件； ，由于函数在上是减函数，故不满足条件； ，由于函数在上是减函数，故不满足条件； ，由于函数在上是减函数，故不满足条件，故选A.‎ ‎3．椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】椭圆中.‎ 离心率，故选B.‎ ‎4．已知等比数列的公比为3，且，则（ ）‎ A. B. C. 6 D. -6‎ ‎【答案】D ‎【解析】等比数列的公比为，且， ，则，故选D.‎ ‎5．下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若命题 “”，则命题的否定为：“”‎ B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若，则 D. 直线为异面直线的充要条件是直线不相交 ‎【答案】A ‎【解析】若命题 “”，则命题的否定为：“”，故是真命题；“直线与直线互相垂直” “”，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故为假命题；若，则,或若，则，故为假命题；直线为异面直线的充要条件是直线不相交且不平行，故为假命题，故选A.‎ ‎6．“”是“方程表示椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】要使方程表示椭圆，应满足，解得且，因此“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.‎ ‎7．若满足约束条件，若的最大值是6，则 的最小值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 满足约束条件的平面区域如图， 目标函数的最大值是，可得，可得当时， 取最大值， 在直线上，可得，故选A.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图可得，该几何体下半部分是圆柱，上半部分是正四棱锥， 圆柱的底面积为，四棱锥的高为，则该几何体的体积，故选C.‎ ‎9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入的值分别为3，2．则输出的值为（ ）‎ A. 9 B. 18 C. 20 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】输入的，故，满足进行循环的条件， ，满足进行循环的条件， ，满足进行循环的条件， ；不满足进行循环的条件，故输出的值为，故选B.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎10．设函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】若，则可化为： ，即，解得，若，则可化为： ，即，解得，综上实数的取值范围是，故选C.‎ ‎11．已知的三个内角的对边分别是，若关于的方程有两个相等实根，则角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程，有两个相等实根， ， ， ， ，‎ ‎， 是的内角， ，角的取值范围是，故选D.‎ ‎12．平面过正方体的顶点， 平面， 平面， 平面，则所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，延长 至 使得，则 是平行四边形， ，延长 至 使得，则 是平行四边形， ，则平面 就是符合题意的平面， 或就是直线， 就是直线，可知， 是正三角形， 所成角就是，则所成角正弦值为，故选A.‎ ‎【‎ 思路点睛】本题主要考查正方体的性质、面面平行的性质与判定、直线与直线所成的角，属于难题.解答本题有两个思路：一是延展平面 ，根据平行的性质证明，进而可得所成角正弦值；二是作出过顶点与平面平行的平面，从而可得，进而得到所成角正弦值.‎ 二、填空题 ‎13．向量满足， ，则向量与的夹角为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，即， ， ，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查向量的模与夹角、以及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎14．已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点．若的周长为，则的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为离心率为，过的直线交于两点．若的周长为，所以，解得 的方程为，故答案为.‎ ‎15．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.‎ ‎【考点】直线与圆位置关系；几何概型 ‎【名师点睛】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.‎ 视频 ‎16．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时， ，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】是定义在上周期为的奇函数， ， 时， ， ， 是定义在上周期为的奇函数， ，‎ ‎， ，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．数列的前项和记为， ，点在直线上， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设， ， 是数列的前项和，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由在直线上可得， ‎ ‎，所以，两式相减得为等比数列，从而得出的通项公式；（2）求出，利用分组求和法以及等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出.‎ 试题解析：（1）由题知，所以，两式相减得 ‎，又，‎ 所以是以1为首项，4为公比的等比数列．‎ ‎（2）， ，‎ 所以 .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义与通项、等差数列的求和公式与等比数列的求和公式以及利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.‎ ‎18．设.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（I）单调递增区间是；‎ 单调递减区间是.‎ ‎（II） 面积的最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）将已知函数解析式用二倍角公式化简可得，将整体角分别代入正弦函数的单调增区间和单调减区间内，求得的范围即为所求．（Ⅱ）由可得的值，从而可得．由余弦定理可得 ‎，由基本不等式可得的范围，从而可得三角形面积的最大值．‎ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知 由可得 由可得 所以函数的单调递增区间是；‎ 单调递减区间是 ‎（Ⅱ）由得 由题意知为锐角，所以由余弦定理： ‎ 可得： 即： 当且仅当时等号成立．‎ 因此所以面积的最大值为 考点：1正弦函数的单调性；2余弦定理；3基本不等式．‎ ‎19．某校高二年级进行了百科知识大赛，为了了解高二年级900名同学的比赛情况，现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩，比赛成绩满分为100分，80分以上可获得二等奖，90分以上可以获得一等奖，已知抽取的两个班学生的成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示:‎ ‎（1）比较两组数据的分散程度（只需要给出结论），并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的值；‎ ‎（2）现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访，求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.‎ ‎【答案】（1）甲组数据更集中,乙组数据更分散， =0.05， =0.02， =0.01.（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据数据集中程度确定分散程度,利用频率等于频数除以总数得对应区间概率,再除以组距得值；（2）甲班获奖4人，乙班获奖5人，所以总事件数为,其中甲班学生成绩高于乙班学生成绩的事件数有9个(枚举法),最后根据古典概型概率求法求概率 试题解析：（I）由茎叶图可知,甲组数据更集中,乙组数据更分散=0.05， =0.02， =0.01.‎ ‎（II）由茎叶图知：甲班获奖4人，乙班获奖5人，所以.‎ ‎20．如图1所示，在中， ， ， ， 为的平分线，点在线段上， ．如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点．‎ 图1 图2‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）在图2中，若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证明，利用平面与平面垂直的性质证明平面；（2）过点作交于点,因为平面平面， 平面，所以平面,求得，利用棱锥的体积公式，即可求三棱锥的体积.‎ 试题解析：（1）在题图1中，因为， ， ，所以．‎ 因为为的平分线，所以，‎ 所以．‎ 又因为， ，所以 则，所以，即 在题图2中，因为平面平面，平面平面， 平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）在题图2中，因为平面， 平面，平面平面，‎ 所以 因为点在线段上， ，点是的中点，所以 过点作交于点 因为平面平面， 平面，所以平面 由条件得 又 ，‎ 所以三棱锥的体积为 ．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质、棱锥的体积公式，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎21．如图，在四棱锥中， ，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若， ，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，得， ．从而得，进而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）设，取中点，连结，则底面，且，由四棱锥的体积为，求出，由此能求出该四棱锥的侧面积.‎ 试题解析：（1）由已知，得， ．‎ 由于，故，从而平面．‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎（2）在平面内作，垂足为．‎ 由（1）知， 面，故，可得平面．‎ 设，则由已知可得， ．‎ 故四棱锥的体积．‎ 由题设得，故．‎ 从而， ， ．‎ 可得四棱锥的侧面积为 ‎ ．‎ ‎22．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为,点在C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见试题解析 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由求得,由此可得C的方程.（II）把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是 .‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意有解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线, ,把代入得 故于是直线OM的斜率即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ 视频