数学文卷·2017届广东省揭阳市高中毕业班高考第二次模拟考试（2017

数学文卷·2017届广东省揭阳市高中毕业班高考第二次模拟考试（2017

绝密★启用前 揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题 数学(文科)‎ 本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．‎ 注意事项： ‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．‎ ‎4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数 (其中为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数的值为 ‎（A）1 （B） （C） （D）‎ ‎（3）“为真”是“为真”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为 ‎ 图2‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）图1是一个算法流程图，则输出的x值为 ‎（A）95 （B）47 （C）23 （D）11‎ ‎（6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为 ‎（A）3 （B）4 （C）6 （D）12‎ ‎（7）已知等比数列满足，‎ 则= ‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）4‎ ‎（8）已知，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知双曲线，点A、F分别为其右顶点和右焦点，若，则该双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 图3‎ 图4‎ ‎（10）已知实数满足不等式组，若 的最大值为3，则a的值为 ‎（A）1 （B） （C）2 （D）‎ ‎（11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形 拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中，‎ 大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐 角的正弦值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ （12）已知函数，若对任意的、，都有，则实数的取值范围为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．‎ ‎（13）已知向量满足，则 . ‎ ‎（14）设为等差数列的前n项和，且，，则 .‎ ‎（15）已知直线与圆相切，则的值为 . ‎ ‎（16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这 个长方体体积的最大值为 . ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎ (17)（本小题满分12分）‎ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为，BC的中点为D．‎ ‎(Ⅰ) 求的值；‎ ‎(Ⅱ) 若，，求AD的长．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ 过关数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 图5‎ ‎ ‎ ‎(18)（本小题满分12分）‎ 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过关者奖励件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10‎ 次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．‎ ‎(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；‎ ‎(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；‎ ‎(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．‎ ‎（19）（本小题满分12）‎ 已知图6中，四边形 ABCD是等腰梯形，， ，于M、交EF于点N，，，现将梯形ABCD沿EF折起，记折起后C、D为、且使，如图7示．‎ 图6‎ 图7‎ A B D C F E A B C´‎ D´‎ E F M M N ‎(Ⅰ)证明：平面ABFE；,‎ ‎(Ⅱ)若图6中， ，求点M到平面的距离．‎ ‎（20）(本小题满分12分)‎ 已知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点M到y轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点Q满足．‎ ‎（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（II）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于、 两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．‎ ‎(21)（本小题满分12分）‎ 已知，曲线与曲线在公共点处的切线相同．‎ ‎ (Ⅰ)试求的值；‎ ‎ (Ⅱ)若恒成立，求实数a的取值范围．‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎(22) (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知直线l1：（，），抛物线C：（t为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线l1 和抛物线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l1 和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．‎ ‎ (23) (本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：．‎ 揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题 数学(文科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C A C B C B C C A A C 解析：‎ ‎(10) 如右图，当直线即过点时，截距最大，z取得最大值3，即，得．‎ ‎（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为，，依题意，，，解得，‎ 设小边所对的角为，则，，.‎ ‎（12）对任意的、，都有，注意到，又，故 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎117‎ ‎192‎ 解析： ‎ ‎（16）以投影面为底面，易得正方体的高为，设长方体底面边长分别为，则，.‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：(Ⅰ) 由，------------------------1分 得，----------------------------------①------------2分 ‎∵ ∴ 故，--------------------3分 又，----------------------------②‎ ‎①代入②得，∴=；-----------------5分 ‎ (Ⅱ)由及正弦定理得，---------------------7分 ‎∵，∴，，------------------------9分 在△ABD中，由余弦定理得：，------11分 ‎∴．----------------------------------------------12分 ‎（18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：‎ 过关数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 奖品数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎------------2分 小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为 ‎；------------------------------------4分 ‎(Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为；---------------6分 ‎(Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分 小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎24‎ ‎---------10分 共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为．----12分 ‎（19）解：(Ⅰ) 可知，∴⊥EF、MN⊥EF，-------------------1分 A B D C F E A B C´‎ D´‎ E F M M N N 又，得EF⊥平面，--------------------3分 得，--------------------4分 ‎∵ ∴，--------------------------5分 又，∴平面ABFE．--------------------------------------6分 ‎(Ⅱ) 设点M到平面的距离为h，‎ 由，得，①‎ ‎∵，，------------------------7分 ‎∴,,-------------------------------------------8分 在中，，‎ 又，，得，‎ ‎∴，-----------------------------------------------10分 ‎，又，‎ 代入①式，得，解得，‎ ‎∴点M到平面的距离为．---------------------------------12分 ‎(20)解：（I）∵抛物线上的点M到y轴的距离等于，‎ ‎∴点M到直线的距离等于点M到焦点的距离，---------------1分 得是抛物线的准线，即，‎ 解得，∴抛物线的方程为；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点，左焦点，‎ 由抛物线的定义及，得，‎ 又，解得，-----------------------------------4分 由椭圆的定义得，----------------------5分 ‎∴，又，得，‎ ‎∴椭圆的方程为．-------------------------------------------------6分 ‎（II）显然，，‎ 由，消去x，得，‎ 由题意知，得，-----------------------------------7分 由，消去y，得，‎ 其中，‎ 化简得，-------------------------------------------------------9分 又，得，解得，--------------------10分 切线在x轴上的截距为，又，‎ ‎∴切线在x轴上的截距的取值范围是．----------------------------------12分 ‎（21）解：(Ⅰ) ，，--------------------------1分 由已知得，且，‎ 即，且，‎ 所以，；-------------------------------------------------4分 ‎(Ⅱ)设，则，恒成立，‎ ‎∵，------------------------------5分 ‎∴，-------------------------------------------6分 法一：由，知和在上单调递减，‎ 得在上单调递减，----------------7分 又，‎ 得当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，----------------------9分 得，由题意知，得，----------11分 所以．---------------------------------------------------------------------------12分 ‎【法二：，-------8分 由，，知，‎ 得当时，，当时，，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，-----------------------10分 得，由题意知，得，‎ 所以．----------------------------------------------------12分】‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）可知l1是过原点且倾斜角为的直线，其极坐标方程为 ‎-----------------------------------------------------------------2分 抛物线C的普通方程为，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为，‎ 化简得．-----------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）解法1：由直线l1 和抛物线C有两个交点知，‎ 把代入，得，-----------------6分 可知直线l2的极坐标方程为，-----------------------7分 代入，得，所以，----8分 ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎∴△OAB的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分 ‎【解法2：设的方程为，由得点，------6分 依题意得直线的方程为，同理可得点，-------------7分 故-------------------------8分 ‎，（当且仅当时，等号成立）‎ ‎∴△OAB的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】‎ ‎（23）解：（Ⅰ）由，得，即，--------------3分 解得，所以；----------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）法一： ‎ ‎ -----------------------------------7分 因为，故，，，，--------8分 故，‎ 又显然，故．-------------------------------------------------1 0分 ‎【法二：因为，故，，----------------6分 而------------------------------7分 ‎，-------------------------8分 即，‎ 故．------------------------------------------------------------------10分】‎