四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（文）试题

四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（文）试题

四川省棠湖中学高2020届一诊模拟考试 文科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．复数，其中是虚数单位，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是 ‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎5．在△ABC中，，c=4，，则b= ‎ A． B．‎3 ‎C． D．‎ ‎6．设是非零向量，则“存在实数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的长为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知等差数列的前项和为,若,则 A． B． C． D．‎ ‎9．已知是上的奇函数,且为偶函数,当时,,则 A． B． C． D．‎ ‎10．在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积 ‎ A．与都有关 B．与都无关 C．与有关，与无关 D．与有关，与无关 ‎11．已知数列满足：， ，则下列关 于的判断正确的是 ‎ A．使得 B．使得 C．总有 D．总有 ‎12．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，若函数有6个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若实数满足，则的最大值是 .‎ ‎14．双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于 .‎ ‎15．函数的定义域为，则值域为___________．‎ ‎16．点,,,在同一个球面上,,,若球的表面积为,则四面体体积的最大值为 ．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（12分）‎ 已知中，，，.‎ ‎（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）求边上的中线的长.‎ ‎18．（12分）省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示：‎ 城 城 城 优（个）‎ ‎28‎ 良（个）‎ ‎32‎ ‎30‎ 已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.‎ ‎（I）现按城市用分层抽样的方法，从上述180个数据中抽取30个进行后续分析，求在城中应抽取的数据的个数；‎ ‎（II）已知，，求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.‎ P D A E B C F ‎19．（12分）如图，在四棱锥ABCD中，和都是等边三角形，平面PAD平面ABCD，且，．‎ ‎（I）求证：CDPA；‎ ‎（II）E，F分别是棱PA，AD上的点，当平面BEF//平面PCD时，‎ 求四棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求证：对任意实数，都有；‎ ‎（Ⅱ）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知直线l：(t为参数), 曲线(为参数)．‎ ‎（Ⅰ）设l与C1相交于AB两点,求|AB|；‎ ‎（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点P是曲线上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值．‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）令，的图象与两坐标轴的交点分别为，，，若三角形的面积为，求得值.‎ 棠湖中学高2020届一诊模拟考试 文科数学试题参考答案 ‎1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．B 7．C 8．D 9．A 10．B 11．D 12．C ‎13．2 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（1）且，‎ ‎∴．‎ ‎ ‎ 在中，由正弦定理得，即，解得．‎ 所以的面积为 ‎ ‎（2）在中，， 所以由余弦定理得 ‎，所以．‎ ‎18.解：（1）由题意得，即.‎ ‎∴，‎ ‎∴在城中应抽取的数据个数为.‎ ‎（2）由（1）知，且，，‎ ‎∴满足条件的数对可能的结果有，，，，，，，共8种.‎ 其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有，，‎ 共3种.‎ ‎∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.‎ ‎19．证明：（I）因为，， ，所以， ，且．又是等边三角形，所以，即．…3分 因为平面平面， 平面平面，平面 所以平面． 所以CDPA． ……6分 ‎（II）因为平面BEF//平面PCD，所以BF//CD， EF//PD，且． ……8分 又在直角三角形ABD中，DF=，所以． ‎ 所以． ……10分 P D A E B C F 由（I）知平面，故四棱锥的体积．…12分 ‎20．（Ⅰ）由已知，得，所以，‎ 又，所以 ‎ 所以椭圆的标准方程为，离心率.‎ ‎（Ⅱ）设，， ，‎ ‎①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，．‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 所以，即点与原点重合;‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由 得，．‎ 所以.，则，‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 所以，．，，‎ 消去得．‎ 综上，点构成的曲线的方程为 ‎ 对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．‎ 把的坐标代入曲线的方程的左端：．‎ 所以点也在曲线上．所以由点构成的曲线关于直线对称.‎ ‎21．解：（1）证明：由已知易得，所以 令得： ‎ 显然，时，<0，函数f（x）单调递减；‎ 时，>0，函数f（x）单调递增 所以 ‎ 令，则由得 时，>0，函数t（）单调递增；‎ 时，<0，函数t（）单调递减，所以 ‎，即结论成立. ‎ ‎（2）由题设化简可得 令，所以 由=0得 ‎ ‎①若，即时，在上，有，故函数单调递增 所以 ‎②若，即时，在上，有，故函数在上单调递减 在上，有.故函数在上单调递增 所以，在上， ‎ 故欲使，只需即可 令，由得 所以，时，，即单调递减 又，，故 ‎22.（1）的普通方程为，的普通方程为 联立方程组解得与的交点为,,则. ‎ ‎（2）的参数方程为（为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,‎ 由此当时, 取得最小值,且最小值为.‎ ‎23．(1)当时，不等式可化为，‎ ‎①当时，不等式化为，解得：；‎ ‎②当时，不等式化为，解得：；‎ ‎③当时，不等式化为，解集为，综上，不等式的解集为.‎ ‎(2)由题设得，‎ 所以的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，，‎ 于是三角形的面积为，‎ 得，或（舍去），故.‎