2017-2018学年湖北省汉川二中高一下学期期末考试数学试题（理科）

2017-2018学年湖北省汉川二中高一下学期期末考试数学试题（理科）

‎2017-2018学年湖北省汉川二中高一下学期期末考试数学试题（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每题后面给的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎2．下列说法正确的是（　　）‎ A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．任何向量的模都是正实数 D．共线向量又叫平行向量 ‎3．若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（　　）‎ A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab C．若a＜b，则 D．若a＞b＞0，则 ‎4．已知直线2x+ay﹣1=0与直线ax+（2a﹣1）y+3=0垂直，则a=（　　）‎ A．﹣ B．0 C．﹣或0 D．﹣2或0‎ ‎5.已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（　　）‎ A．﹣110 B．﹣90 C．90 D．110‎ ‎6．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎7．．已知等差数列{an}的前n项和Sn，若a2+a3+a10=9，则S9=（　　）‎ A．27 B．18 C．9 D．3‎ ‎8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=2sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位 ‎9.已知点（a，2）（a＞0）到直线l：x﹣y+3=0的距离为1，则a=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（3）=0，则不等式 ‎ ‎ （x﹣1）f（x）＞0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣3，1）∪（3，+∞）‎ C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，1]∪（3，+∞）‎ ‎11．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎12．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）若P4与P0重合，则tgθ=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．直线x﹣y+a=0（a为实常数）的倾斜角的大小是　 　‎ ‎14．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=　 　．‎ ‎15．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=　 　．‎ ‎16．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a 的取值范围是　 　‎ 三、解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试确定m、n的值，使 ‎（I）l1与l2相交于点（m，﹣1）；‎ ‎（II）l1∥l2；‎ ‎（III）l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=，其中=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R ‎（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间：‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）=2，a=且sinB=2sinC，求△ABC的面积．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．‎ ‎（1）求证：CD⊥AE；‎ ‎（2）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．‎ ‎20．（12分）某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）‎ 问：‎ ‎（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；‎ ‎（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，‎ ‎（1）求不等式g（x）＜0的解集；‎ ‎（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．‎ ‎22．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=ax（a＞0，a≠1）图象上一点，等比数列{an}的前n项和为c﹣f（n）．数列{bn}（bn＞0）的首项为2c，前n项和满足=+1（n≥2）．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn，问使Tn＞的最小正整数n是多少？‎ ‎　‎ 汉川二中2017-2018学年高一下学期期末考试 数学试题（理科） ‎ 参考答案 ‎ 一、选择题 ‎ 1、A 2、D 3、B 4、C 5、D 6、C 7、A 8、B 9、C 10、B ‎ ‎11、C 12、C ‎ 二、填空题 ‎ 13、30°． 14、 2． 15. 16.、[，4]　‎ ‎ 三、解答题(若不同于参考答案，可根据步骤酌情给分）‎ ‎17.解：（Ⅰ）∵两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，‎ l1与l2相交于点（m，﹣1），‎ ‎∴，解得m=1，n=7．………………………………………4分 ‎（II）∵l1∥l2，‎ ‎∴，解得或．………………………………………8分 ‎（III）∵l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为﹣1，‎ ‎∴，解得m=0，n=8．………………………………………10分 ‎18．解：（1）∵=（2cosx，sin2x），=（cosx，1），x∈R，‎ ‎∴f（x）==‎ ‎==2sin（2x+）+1，‎ ‎∴函数y=f（x）的最小正周期为T=π，……………………………………3分 单调递增区间满足﹣+2kπ+2kπ，k∈Z．‎ 解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．‎ ‎∴函数y=f（x）的单调增区间是[﹣+kπ，]，k∈Z．……6分 ‎（2）∵f（A）=2，∴2sin（2A+）+1=2，即sin（2A+）=，‎ 又∵0＜A＜π，∴A=，………………………………8分 ‎∵，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=7，①‎ ‎∵sinB=2sinC，∴b=2c．②‎ 由①②得c2=，∴．………………………………12分 ‎19.（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，‎ 所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．‎ 又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．…………………………………5分 ‎（2）PB与平面AEC不平行．‎ 假设PB∥平面AEC，‎ 设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB⊂平面PDB 所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有=，‎ 由E是PD中点可得==1，即OB=OD．‎ 因为AB∥DC，所以==，这与OB=OD 矛盾，‎ 所以假设错误，PB与平面AEC不平行．…………………12分 ‎20．解：（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，‎ ‎∴x＞5.75，∴票价最低为6元，‎ 票价不超过10元时：‎ y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），‎ 票价高于10元时：‎ y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750‎ ‎=﹣30x2+1300x﹣5750，‎ ‎∵，‎ 解得：5＜x＜38，‎ ‎∴y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；……………………………6分 ‎（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），‎ x=10时：y最大为4250元，‎ 对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；‎ 当x=﹣≈21.6时，y最大，‎ ‎∴票价定为22元时：净收人最多为8830元．………………12分 ‎21.解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，‎ 即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．………………4分 所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；………………5分 ‎（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，‎ 当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，‎ 则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，‎ 即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．‎ 所以对一切x＞2，均有不等式成立．…………………10分 而（当x=3时等号成立）．‎ 所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．…………………12分 ‎22．解：（Ⅰ）．∴，‎ ‎∵，则等比数列{an}的前n项和为c﹣‎ ‎，a2=（c﹣）﹣（c﹣）=，‎ 由{an}为等比数列，得公比q=‎ ‎∴，则c=，a ∴……………………6分 ‎（Ⅱ）：由b1=2c=1，得s1=1‎ n≥2时，﹣=1则是首项为1，公差为1的等差数列．‎ ‎∴， （n∈N+）‎ 则（n≥2）⇒bn=2n﹣1，（n≥2）．‎ 当n=1时，b1=1满足上式 ‎∴ ‎ ‎∵==………………10分 ‎∴Tn===‎ 由Tn=，得n，则最小正整数n为59.‎ ‎……………………………12分