2018-2019学年重庆市区县高二下学期期末考试 数学（理） word版

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重庆市区县 2018-2019 学年高二下学期期末考试试卷 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 己知复数 z 满足（1－2i）z = 5，则 z  A.1＋2i B. 5 C.5 D.25 2.设随机变量  X B n, p～ ，若 EX=3，DX=2，则 n= A.3 B.6 C.8 D.9 3.己知变量 x，y 的取值如下表： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 由散点图分析可知 y 与 x 线性相关，且求得回归方程为 ˆ ˆy 0.7x a  ，据此预测：当 x=9 时， y 的值约为 A. 5.95 B .6.65 C，7.35 D. 7 4.设随机变量 X 服从正态分布  2N 3,  ，若 P（X < 4） = 0.7，则 P（X < 2） = A. 0.3 B.0.6 C. 0.7 D. 0.85 5.己知命题 P：单位向量的方向均相同，命题 q：实数 a 的平方为负数。则下列说法正确的是 A. p q 是真命题 B. p q 是真命题 C. ( p) q  是假命题 D. p ( q)  是假命题 6.己知一组样本数据 x1，x2，x3，x4，x5 恰好构成公差为 5 的等差数列，则这组数据的方差为 A. 25 B .50 C. 125 D. 250 7.已知二项式 1( )nx x  的展开式中二项式系数之和为 64，则该展开式中常数项为 A.－20 B.－15 C. 15 D. 20 8.已知函数 21( ) ln2f x x a x  在 1, 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. a 1 B . a 1 C . a 0 D. 0 a 1  9.将 4 本不同的课外书全部分给 3 名同学，每名同学最多可分得 2 本，则不同的分配方法种数 为 A.32 B. 48 C. 54 D. 72 10.己知函数 2( ) ( 3 1) xf x x x e k    有三个不同的零点，则实数 k 的取值范围是 A. 4 1 5( , )e e  B. 4 5(0, )e C. 4 5 1( , )e e  D. 1( , )e   11.将编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个小球分别放入 3 个不同的盒子中，每个盒子都不空， 则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为 A. 1 7 B. 1 6 C. 6 25 D. 7 24 12.己知函数 2( ) 3, ( ) ( 2ln )f x x g x x a x    ，若 ( ) ( )f x g x 对任意 (0, )x  成立，则 实数 a 的取值范围是 A. ( ,0] B. ( ,4] C. ( ,4ln3] D. ( ,4 2ln3]  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.复数 1z i  （i 为虚数单位）的共扼复数是 14.数列 1，－2，2，－3，3，－3，4，－4，4，－4，5，－5，5，－5，5…的项正负交替， 且项的绝对值为 1 的有 1 个，2 的有 2 个，…，n 的有 n 个，则该数列第 30 项是 。 15.己知函数     2f x f ' 1 e x 1x   ，其  f ' x 是 f（x）的导函数，则曲线 y=f（x）在点（1， f（l））处的切线方程为 16.己知随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P a 2a B （a>0， b>0），当 D（X）最大时，E（X） = 。 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分） 己知二项式 5(2 )ax x  的展开式中，各项系数之和为 243，其中实数 a 为常数 （1）求 a 的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项。 18.（12 分） 己知函数 21( ) 3 2ln2f x x x x   （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）求 f（x）在区间[1，4]上的最大值和最小值。 19.（12 分） 近年来，某市为响应国家号召，大力推行全民健身运动，加强对市内各公共体育运动设 施的维护，几年来，经统计，运动设施的使用年限 x（年）和所支出的维护费用 y（万元）的 相关数据如图所示，根据以往资料显示 y 对 x 呈线性相关关系。 （1）求出 y 关于 x 的回归直线方程少 ˆˆ ˆy bx a  （2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过 100 万 元？ 参考公式：对于一组数据（x1， yl）， （x2， y2），…，（xn， Yn），其回归方程 ˆˆ ˆy bx a  的 斜率和截距的最小二乘估计分别为 1 2 2 1 ˆ ˆˆ, n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx          20.（12 分） 为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+ 2”的科目选择中，物理与历史的二选一是 否与性别有关，某高中随机对该校 50 名高一学生进行了问卷调查得到相关数据如下列联表： 选物理 选历史 合计 男生 5 女生 10 合计 己知在这 50 人中随机抽取 1 人，抽到选物理的人的概率为 3 5 。 （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性 别有关? 2( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （参考公式 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    为样本容量） （2）己知在选物理的 10 位女生中有 3 人选择了化学、地理，有 5 人选择了化学、生物，有 2 人选择了生物、地理，现从这 10 人中抽取 3 人进行更详细的学科意愿调查，记抽到的 3 人中 选择化学的有 X 人，求随机变量 X 的分布列及数学期望。 21.（12 分） 已知函数 ( ) ( 1)ln( 1)f x x x   （1）求 f（x）的单调区间和极值； （2）是否存在实数 a 使得不等式 (1 ) 1( ) ax x f x   对 ( 1,0) (0, )   都成立？若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由。 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy，己知直线 l 的参数方程为 5 2 3 3 x t y t     （t 为参数），以 O 为极 点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 3cos   （1）求直线 l 的极坐标方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B，求△OAB 的面积。 23.[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 己知函数 ( ) 2 1 2f x x x    （1）求不等式 ( ) 4f x  的解集； （2）若不等式 ( ) 1f x ax  对任意 x R 成立，求实数 a 的取值范围。