2017-2018学年江西省上饶县中学高二上学期第一次月考数学试题（惟义班）

2017-2018学年江西省上饶县中学高二上学期第一次月考数学试题（惟义班）

考试时间：2017年10月12—13日 上饶县中学2017-2018学年高二年级上学期第一次月考 ‎ 数 学 试 卷(惟义、特零班)‎ 命题人：严 俊 审题人：苏笃春 时间:120分钟 总分:150分 ‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1524石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A.1365石 B.338石 C.168石 D.134石 ‎2.下列命题正确的是 A.y=x+的最小值为2 ‎ B.命题“∀x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”‎ C.“x＞2“是的充要条件 ‎ D.‎ 3. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S8≤6，S11≥27，则S19的最小值是 A.95 B.114 C.133 D.152‎ ‎4.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A. B. C. D.‎ ‎5.若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A.a+＜＜log2（a+b）） B.＜log2（a+b）＜a+‎ C.a+＜log2（a+b）＜ D.log2（a+b））＜a+＜‎ ‎6.过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角均相等，则满足条件的平面α的个数是 A.1 B.4 ‎ C.6 D.8‎ ‎7.阅读如右图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是　　‎ A.39 B.21‎ C.81 D.102‎ ‎8.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为 A. B. C. D.‎ ‎9.已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A.32 B.24 C.16 D.12‎ ‎10.三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC满足BA=BC，，P在面ABC的射影为AC的中点，且该三棱锥的体积为，当其外接球的表面积最小时，P到面ABC的距离为 A.2 B.3 C. D.‎ 二、 填空题（每小5分，满分20分）‎ 11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点M（4，2）和N（﹣3，6），则△OMN的面积为　 　　 　‎ ‎12.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果=2cos（B+C），B=30°，那么角A等于　 　　 　‎ ‎13.两人约定：在某一天同去A地。早上7点到8点间在B地会和，但先到达B地者最多在原地等待10min。如果没有见到对方则自己先行。设两人到达B地的时间是随机的，独立的，等可能的。那么，两人能够在当天一同去A地的概率是 ‎ ‎14.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 　‎ 三、解答题(本大题共8小题，每题10分，解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤.)‎ ‎15.已知函数 ‎（1）关于的不等式在上有解，求实数的取值范围。‎ ‎（2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围。‎ ‎16.已知命题。若的充分不必要条件，求实数m的取值范围。‎ ‎17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣n，（n∈N*）‎ ‎（1）证明：{an+1}是等比数列；并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，求数列{bn}的前n项和为Tn；‎ ‎18.某市为了引导居民合理用水，居民生活用水实行二级阶梯水价计量办法，具体如下：第一阶梯，每户居民月用水量不超过12吨，价格为4元/吨；第二阶梯，每户居民月用水量超过12吨，超过部分的价格为8元/吨．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，2]，（2，4]，…，（14，16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求频率分布直方图中字母a的值，并求该组的频率； ‎ ‎（2）通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的中位数m的值（保留两位小数）； ‎ ‎（3）如图2是该市居民张某2016年1～6月份的月用水费y（元）与月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是=2x+33，若张某2016年1～7月份水费总支出为312元，试估计张某7月份的用水吨数．‎ ‎19.已知双曲线C：﹣y2=1，P是C上的任意点．‎ ‎（1）求证：点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数；‎ ‎（2）设点A的坐标为（5，0），求|PA|的最小值．‎ ‎20.如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎21.在四边形ABCD中，A，B为定点，C，D是动点，且AB=，BC=CD=AD=1.‎ 若与的面积分别为T与S。‎ （1） 求的取值范围；‎ （2） 求取最大值时，的值。‎ ‎22.已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O是坐标原点．‎ ‎（1）求E的方程；‎ ‎（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求直线l的方程．‎ 上饶县中学2019届高二惟义、特零班月考数学试卷答案 一选择题（5*10=50分）‎ 1. C 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.D 9.A 10.B 二填空题（5*4=20分）‎ ‎11.15； 12.‎ 13. ‎ 14.（，）∪（，1）‎ 三解答题（10*8=80分）‎ ‎15.解：（1）实数的取值范围为 ………………………5分 ‎ （2）实数的取值范围为 ………………………10分 ‎16.解：实数m的取值范围是 …………………………10分 ‎17.（1）证明：∵Sn=2an﹣n，（n∈N*），∴n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n﹣（2an﹣1﹣n+1），‎ 可得an=2an﹣1+1，变形为an+1=2（an﹣1+1），‎ ‎∴{an+1}是等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎∴an+1=2n，即an=2n﹣1． …………………………5分 ‎（2）解：bn=（2n+1）an+2n+1=（2n+1）•2n，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和为Tn=3×2+5×22+…+（2n+1）•2n，‎ ‎2Tn=3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n+（2n+1）•2n+1，‎ ‎∴﹣Tn=3×2+2（22+23+…+2n）﹣（2n+1）•2n+1=2+﹣（2n+1）•2n+1，‎ 解得 …………………………10分 ‎18.解：（1）∵（0.02+0.04+0.08+a+0.13+0.03+0.02）×2=1，‎ ‎∴a=0.10，‎ 第四组的频率为0.1×2=0.2， …………………………2分 ‎（2）∵0.02×2+0.04×2+0.08×2+0.10×2+（m﹣8）×0.13=0.5‎ ‎∴m=8+≈8.15． …………………………6分 ‎（3）∵=（1+2+3+4+5+6）=，且=2x+33，‎ ‎∴=2×+33=40，∴所以张某7月份的水费为312﹣6×40=72，‎ 设张某7月份的用水吨数为x吨，‎ ‎∵12×4=48＜72， ∴12×4+（x﹣12）×8=72，‎ 解得x=15，则张某7月份的用水吨数为15吨 ………………………10分 ‎19.解：（1）设P（x0，y0），P到两条渐近线的距离记为d1，d2‎ ‎∵两条渐近线为x﹣2y=0，x+2y=0…..2'‎ ‎∴‎ 又∵点P在曲线C上，‎ ‎∴=，得（常数）‎ 即点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数 …………………………5分 ‎（2）设P（x0，y0），由平面内两点距离公式得 ‎|PA|2==x02﹣10x0+25+﹣1‎ ‎∵，可得=‎ ‎∴|PA|2==‎ 又∵点P在双曲线上，满足|x0|≥2，‎ ‎∴当x0=4时，|PA|有最小值，|PA|min=2 …………………………10分 ‎20.证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连结EF，CF，‎ ‎∵E为PD的中点，∴EF∥PA，‎ 在四边形ABCD中，BC∥AD，AD=2DC=2CB，F为中点，‎ ‎∴CF∥AB，∴平面EFC∥平面ABP，‎ ‎∵EC⊂平面EFC，‎ ‎∴EC∥平面PAB． …………………………4分 ‎（Ⅱ）连结BF，过F作FM⊥PB于M，连结PF，‎ ‎∵PA=PD，∴PF⊥AD，‎ 推导出四边形BCDF为矩形，∴BF⊥AD，‎ ‎∴AD⊥平面PBF，又AD∥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥PB，‎ 设DC=CB=1，则AD=PC=2，∴PB=，‎ BF=PF=1，∴MF=，‎ 又BC⊥平面PBF，∴BC⊥MF，‎ ‎∴MF⊥平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，‎ ‎∵MF=，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，‎ E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，‎ ‎∴E到平面PBC的距离为，‎ 在，‎ 由余弦定理得CE=，‎ 设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ==．………………10分 21. 解（1） …………………………5分 ‎ （2） ………………………10分 ‎22.解：（1）设F（c，0），由条件知，得，又，‎ ‎∴a=2，b2=a2﹣c2=1，‎ 故E的方程为：； …………………………3分 ‎（2）当l⊥x轴时，不合题意，‎ 故设l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 联立，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ ‎，．‎ 从而．‎ 又点O到直线PQ的距离．‎ ‎∴△OPQ的面积为，‎ 设，‎ 则，当且仅当，即t=2时取“=”．‎ ‎∴，即时等号成立，且满足△＞0，‎ ‎∴当△OPQ的面积最大时，l的方程为或．………10分