天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学（文）试题

天津市和平区2019届高三下学期第一次质量调查数学（文）试题

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。‎ 考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 选择题（共40分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。‎ ‎2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。‎ ‎3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么 ‎ ‎ . ‎ 柱体的体积公式. 锥体的体积公式. ‎ 其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,‎ 表示柱体的高. 表示锥体的高.‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎（1）设集合，，则 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(2) 设变量满足约束条件则的最大值为 ‎ (A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4 ‎ ‎（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为 ‎（A）1‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎ (4) 在△中,若,,则△的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) 2‎ ‎(5) 不等式成立的充分不必要条件是 ‎(A) (B) (C) 或 (D) 或 ‎ ‎(6) 已知，则下列不等式一定成立的是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(7) 设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8) 已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共110分）‎ 注意事项:‎ ‎1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。‎ ‎2. 本卷共12小题，共110分。‎ 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. ‎ ‎(9) 已知，且复数是纯虚数,则 .‎ ‎(10) 直线与圆 交于两点，若为等腰直角三角形，则 ‎ .‎ ‎(11) 已知一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm)，则该 几何体的体积为 cm³.‎ ‎ (12) 已知函数，若，但不是函数的极值点，则的值为 .‎ ‎(13) 如图,在直角梯形中,,.若 分别是边、 上的动点,满足，，‎ 其中,若,则的值为 .‎ ‎ (14) 已知正数满足，则的最小值是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎(15) (本小题满分13分)‎ 设的内角所对边的长分别是，且.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的值.‎ ‎ (16) (本小题满分13分)‎ 为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%，则认为测试没有通过），公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：‎ 组 组 组 疫苗有效 疫苗无效 已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．‎ ‎ （Ⅰ）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在组抽取多少个？‎ ‎ （Ⅲ）已知，，求不能通过测试的概率．‎ ‎(17) (本小题满分13分)‎ 如图，在四棱柱 中，‎ ‎，，，‎ 且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面 ；‎ ‎（Ⅱ） 求证： ；‎ ‎（Ⅲ） 若 ，判断直线与平面 是否垂直?并说明理由．‎ ‎ (18) (本小题满分13分)‎ 已知数列的前项和为,是等差数列，且.‎ ‎(Ⅰ) 求数列、的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 令,求数列的前项和.‎ ‎(19) (本小题满分14分)‎ 已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.‎ ‎ (Ⅰ) 求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作 的平行线交椭圆于、两点，求的值.‎ ‎(20) (本小题满分14分)‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值点；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；‎ ‎（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的 最小值.（其中为自然对数的底数）‎ 和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第一次质量调查 数学（文）学科试卷参考答案 一、选择题(每小题5分，共40分) ‎ ‎(1) C (2) C (3) B (4) C (5) A (6) D (7) B (8) C ‎ 二、填空题 (每小题5分，共30分) ‎ ‎(9) (10) 或 (11) (12) (13) (14) ‎ 三、解答题 (本大题共6小题，共80分) ‎ ‎(15) (本题13分) ‎ ‎(Ⅰ) 解:由，知， …………(1 分)‎ 由正、余弦定理得. ………………(3 分)‎ 因为，所以,则. ………………(5 分)‎ ‎(Ⅱ) 解:由余弦定理得. … …(6 分)‎ 由于，所以 …(8 分)‎ 故 …(11 分)‎ ‎ ……… (13 分)‎ ‎（16）（(本小题满分13分)‎ ‎（Ⅰ）解： 在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率为， ‎ 即 ∴ . …………（4分）‎ ‎ （Ⅱ）解：组样本个数为:，‎ 用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取个数为 ‎（个）． ………（8分）‎ ‎（Ⅲ）解：设测试不能通过事件为，组疫苗有效与无效的可能的情况记为.‎ ‎ 由（Ⅱ）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：‎ ‎、、、、、共个 . (10分）‎ ‎ 若测试不能通过，则，即.‎ 事件包含的基本事件有：、共个， ‎ ‎∴ . ∴故不能通过测试的概率为. …………（13分）（17）(本小题满分13分)‎ ‎（Ⅰ）证明：∵ ，，‎ ‎，‎ ‎∴ ． ‎ ‎∵ ，，…（2分）‎ ‎，‎ ‎∴ ． …………（3分）‎ 又因为 ．∴平面 ． ……（4分）‎ ‎ 又因为 ，∴ ． ……（5分）‎ ‎（Ⅱ）证明：∵，．∴．…………（6分）‎ ‎ 又∵ ，，∴ ．………（7分）‎ ‎ 又∵ ．∴． ……………（8分）（Ⅲ）结论：直线 与平面 不垂直．‎ 证明：假设 ，‎ 由 ，得 ． ……………………（9分）‎ 由棱柱 中，，，‎ 可得 ，． ‎ 又∵ ，∴ ． ……（11分）‎ ‎∴ ．又∵ ，∴ ． …（12分）‎ ‎∴ ．这与四边形 为矩形，且 矛盾．‎ ‎ 故直线 不垂直． …………………（13分）‎ ‎(18) (本题13分)‎ ‎(Ⅰ) 解: 当时, 由. …………………………(1 分)‎ 当≥时,由. ………………………(2 分)‎ ‎∵也符合上式，‎ ‎∴数列的通项公式为. ………………………(3 分)‎ 设数列的首项，公差为,‎ 由得，即 ‎ 解得, ……………………………………………(5 分)‎ ‎ ∴. ………………………………………(6 分)‎ ‎ (Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得 ……………………(8 分)‎ ‎∴ ‎ ‎ ……………………(9 分)‎ 则 两式作差得 ‎ ……(10 分)‎ ‎ ………(12 分)‎ ‎ 所以， ………………………(13 分)‎ ‎ (19) (本题14分)‎ ‎(Ⅰ) 解: 由题知 解得 …………(3 分)‎ 则椭圆的标准方程为. ……………………………(4 分)‎ ‎ (Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知,, …………………………(5 分)‎ ‎ 设直线，则直线 ………………………(6 分)‎ 联立得 所以. ………………………(8 分)‎ 由 得 . ………(9 分)‎ ‎ 设，则. …(10 分)‎ 所以 ………(11 分)‎ ‎ . ……(13 分)‎ 所以 …………………(14分)‎ ‎(20) (本小题满分14分)‎ ‎（Ⅰ）解： ，， ……………………（2分）‎ 由得， ‎ 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增………（4分）‎ 所以，是函数的极小值点，极大值点不存在. ………（5分）‎ ‎（Ⅱ）解：设切点坐标为，则， …………（6分）‎ 切线的斜率为，‎ 所以，， ……………（7分）‎ 解得，， ‎ 所以直线的方程为. ……………（9分）‎ ‎（Ⅲ）解：，‎ 则， ………………（10分）‎ 解，得，‎ 所以，在区间上，为递减函数，‎ 在区间上，为递增函数. ……………（11分）‎ 当，即时，在区间上，为递增函数，‎ 所以最小值为. ……………（12分）‎ 当，即时，的最小值为. …（13分）‎ 当，即时，在区间上，为递减函数，‎ 所以最小值为. …………（14分）‎