湖北省沙市中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

湖北省沙市中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019—2020学年上学期2018级 期中考试数学试卷 考试时间：2019年11月25日 一、选择题：‎ ‎1．已知复数为虚数单位为纯虚数，则实数的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题： “，在椭圆上”，的否定记为，则 ‎ A．是“，不在椭圆上”，它是真命题 ‎ B．是“，不在椭圆上”，它是假命题 ‎ C．是“，不在椭圆上”，它是假命题 ‎ D．是“，不在椭圆上”，它是真命题 ‎3．“”是“直线与垂直”的 ‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 ‎ C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要的条件 ‎4．已知两条不同直线与三个不同平面，则下列命题正确的个数是 ‎ ①若，，，则 ‎②若，，则 ‎③若，，则 ‎④若，，则 ‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．已知圆与直线及均相交，四个交点围成的四边形为正方形，‎ 则圆的半径为 ‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎6．椭圆的焦距为，则的值为 ‎ A．10 B．17 C．10或 D．或 ‎7．已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且△是直角三角形，‎ 则△的面积为 A． B． C．或8 D．或8‎ ‎8．已知菱形中，∠，沿对角线折叠之后，‎ 使得平面平面，则二面角的余弦值为 ‎ A．2 B．‎ ‎ C． D．‎ ‎9．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若 ‎，，，则的长为 ‎ ‎ A．2 B．3 ‎ C． D．4‎ ‎10．已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆 心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．2‎ ‎11．已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于两点．‎ 若，，则的方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎12．已知曲线： ，直线与曲线恰有两个交点，‎ 则的取值集合为 ‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：‎ ‎13．若直线：与直线：的距离为1，则实数 ．‎ ‎14．平面直角坐标系中，，，动点满足，则动点的轨迹 方程为 ．‎ ‎15．过且与双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为 ．‎ ‎16．已知空间向量，，，若共面，‎ 则实数 ．‎ 三、解答题 ‎17． 已知直线：，：．‎ ‎（1）求直线与交点的坐标；‎ ‎（2）若直线经过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般方程．‎ ‎18．若圆的方程为，△中，已知，，‎ 点为圆上的动点．‎ ‎（1）求中点的轨迹方程； ‎ ‎（2）求△面积的最小值． ‎ ‎19．已知为椭圆上一点，‎ 分别为关于轴，原点，轴的对称点，‎ ‎（1）求四边形面积的最大值；‎ ‎（2）当四边形最大时，在线段上任取一点，若过的直线与椭圆相交于 两点，且中点恰为，求直线斜率的取值范围．‎ ‎20．已知正方体棱长为2，分别为的中点，‎ 若线段上一点满足．‎ ‎（1）确定的位置；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．已知三棱锥中，△与△均为等腰直角三角形，‎ 且∠，，为上一点，且平面．‎ ‎（1）；‎ ‎（2）过作三棱锥的截面分别交于，‎ 若四边形为平行四边形，求此四边形的面积．‎ ‎22．已知椭圆：的离心率，过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线与圆相交所得弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆交于两点，且，‎ 若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．‎ 高二年级期中考试数学答案 CCBACB BDBAAD ‎ ‎13．8或 14． 15． 16．4‎ ‎17． （1）可得，所以点坐标为 ‎（2）由截距相等可得直线过原点或斜率为 ‎ ①过原点，斜率为，直线方程为 ‎ ②斜率为时，直线方程为 ‎ 综上的一般方程为或 ‎18． （1）设，，因为中点，所以，进而可得，‎ 而在圆上，故有 即，‎ ‎∴的轨迹方程为 ‎（2）由，得斜率为，‎ 所以直线的方程为，即，‎ ‎ 则圆心到直线的距离，‎ ‎ ∴圆上的点到的最近距离为 又∵‎ ‎∴△面积最小值为 ‎19． （1）由在椭圆上得 ‎ ∵，由基本不等式得 ‎ ∴，当时取等号 ‎ 故当，时，四边形取最大值8‎ ‎（2）由（1）得，，则的坐标设为，其中 ‎ 设，，则有，‎ 相减得 ‎ ∵为中点，∴，‎ ‎ ∴上式化为，∴‎ ‎ 故 ‎20．（1）正方体中有两两垂直，故可建立如图所示空间直角坐标系 ‎ 则有，‎ ‎ 设，则 ‎ 因为，所以，即 ‎ ，‎ ‎ 故为中点．‎ ‎（2）由（1）得，另外 ‎ 设平面的一个法向量 ‎ 则，即，取，有，，‎ ‎ 此时 ‎ ‎ ‎ ∴与平面所成角的正弦值为 ‎ ‎ ‎21． （1）∵∠，∴①‎ ‎ ∵平面，平面，∴ ，②‎ ‎ 由①②，且得平面，∴‎ ‎（2）等腰直角三角形中，，∴‎ ‎ 又∵，平面，∴‎ ‎ 等腰△中，∵，∴‎ ‎ 又△中，，∴，‎ ‎ 而，可得，故 ‎ ∵四边形为平行四边形，∴‎ ‎∴平面 ‎ 又平面且平面平面，∴‎ ‎ 由得，且有 ‎ 由平面得，进而 同理可得，且 ‎ ∴四边形面积为 ‎22．（1）圆心到直线距离为，由倾斜角得 ‎ 由得，即，∴‎ ‎ 综合得，‎ ‎ ∴椭圆方程为 ‎（2）设 ‎①若直线垂直于轴，与椭圆交于，‎ 取，，满足 ‎②直线不垂直于轴时，设方程为，代入椭圆方程得 ‎ ，‎ ‎ ①，②‎ ‎ 对于，包含两种情况 ‎ i）,即，‎ ‎∴，即 代入①②得，消去得 ‎，解得 的方程为或 ‎ ii)，即 ‎ ∴‎ 代入①②得，消去得 ‎，有，无解 综上的方程为或或