数学（文）卷·2017届宁夏固原一中高三下学期4月份能力提升测试（2017

数学（文）卷·2017届宁夏固原一中高三下学期4月份能力提升测试（2017

固原一中2017届高三年级能力检测数学（文）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1．记集合，则= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设i为虚数单位，若是纯虚数，则a的值是 ( )‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎3．若a、b，则命题p是命题q成立的 （ ）‎ ‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.在正方形格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为 ( )‎ A B C D ‎5.若是等差数列的前项和，且，则的值为 （ ）‎ ‎ A.44 B.22 C. D.88‎ ‎6．已知，则= （　　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7．设直线分别交函数的图象于M、N、两点，则M、N距离的 最大值为 （ ）‎ A． 1 B． C．2 D．2‎ ‎8. 已知函数，若，则实数的取值范围 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是 ( )‎ A．（﹣∞， 2]∪[2，+∞） B．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）‎ C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）‎ ‎10. 已知曲线上一点P（1，e）处的切线分别交轴、与A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.过椭圆C：的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，‎ 若,则+＝ （ ）‎ A．10 B．5 C．－10 D．－5 ‎ ‎12. 已知平面内一点p∈{(x,y) | (x－2cosθ)2+(y－2sinθ) 2=16, θ∈R},则满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是 （ ）‎ A．8π B．16π C．24π D．32π 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。）‎ ‎13、 如右图，它满足：　　‎ ‎ (1)第n行首尾两数均为n；　　 ‎ ‎ (2)表中的递推关系类似杨辉三角。 　　则第n行(n≥2)第2个数是___ . ‎ ‎14、以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_____ __ .‎ ‎15、‎ 我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为 ____________． ‎ ‎16、设为正数，且成等差数列，成等比数列，则的最小值是____________ . ‎ 三、 解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.( 本小题10分）16．（本小题 12分）‎ 在△中，角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎18．（本小题 12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：‎ 积极参加班级工作 不积极参加班级工作 合计 学习积极性高 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 学习积极性不高 ‎6‎ ‎19‎ ‎25‎ 合计 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ ‎（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？‎ ‎（2）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？‎ ‎（3）学生的学习积极性与对待班极工作的态度是否有关系？请说明理由.‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎19．（本小题10分）‎ ‎ 如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，‎ AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、‎ PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面 ABCD内的射影为点D，如图2.‎ ‎ （I）求证：AP∥平面EFG；‎ ‎ （II）求三棱锥P—ABC的体积.‎ ‎20.（本小题12分）已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．‎ ‎21．（本小题12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，求m的取值范围；‎ ‎（3）设x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个零点，求证：x1+x2＜0．‎ ‎22.（本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）过点作斜率为1直线与圆交于两点，试求的值.‎ ‎23.（本小题10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 设.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若存在实数满足，试求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.C ‎ ‎2.C ‎3.A ‎ ‎4.B ‎5.A ‎6.D ‎7.B ‎8.C ‎9.B ‎ ‎10.A ‎ ‎11.C ‎12.D ‎ ‎13.5/2 ‎ ‎14.8‎ ‎15. ‎ ‎16.4‎ ‎17. 解：（Ⅰ） 由 ，‎ 得 ． [ 1分]‎ 由正弦定理得 ． [ 3分]‎ ‎ 所以 ． [ 4分]‎ 因为 ， [ 5分]‎ 所以 ． [ 6分]‎ ‎（Ⅱ） [ 7分]‎ ‎ [ 9分]‎ ‎． [11分]‎ 因为 ，所以 ， [12分]‎ 所以 当时，取得最大值．‎ ‎18. ‎ ‎19. 如图1，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，‎ AB=BC=AP=2，D为AP的中点，E，F，G分别为PC、 ‎ PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使点P在平面 ABCD内的射影为点D，如图2.‎ ‎ （I）求证：AP∥平面EFG；‎ ‎ （II）求三棱锥P—ABC的体积. ‎ 解：由题意，△PCD折起后PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD=2.‎ ‎ （I）∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.‎ ‎∴EF∥CD，EG∥PB.‎ 又CD∥AB ∴EF∥AB，PB∩AB = B，…………………………………………… 3分 ‎∴平面EFG∥平面PAB.‎ ‎∴PA∥平面EFG. ……………………………………………………………………… 6分 ‎（II）三棱锥P—ABC是以PD为高、△ABC为为底面的三棱锥，‎ 其体积………………12分 ‎20. 解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF| = c，|OA| = a，|AF| =．‎ 所以，其中，又，联立解得，．‎ 所以椭圆C的方程是．…………………………………………… 4分 ‎（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．……………… 5分 当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，那么l的方程为．‎ 联立l与椭圆C的方程，消去y，得．‎ 于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是Δ=，这显然大于0．‎ 设点，．‎ 由根与系数的关系得，．……………… 7分 所以，又O到l的距离．‎ 所以△OMN的面积．………… 10分 令，那么，当且仅当t = 3‎ 时取等．‎ 所以△OMN面积的最大值是． …………………………………… 12分 ‎21. （13分）‎ ‎（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣1，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，‎ 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增；‎ ‎（Ⅱ）若存在x∈[0，2]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，‎ 即存在x∈[0，2]，使得（ex﹣﹣2x）min＜m2﹣2m﹣3成立，‎ 令h（x）=ex﹣﹣2x，x∈[0，2]，‎ 则h′（x）=ex+﹣2≥2﹣2=0，‎ 故h（x）在[0，2]递增，h（x）min=h（0）=0，‎ 故只需m2﹣2m﹣3＞0，解得：m＞3或m＜﹣1；‎ ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知，x=0是函数f（x）的极小值点，‎ 也是最小值点，即最小值为f（0）=2m+4，‎ 显然只有2m+4＜0时，函数f（x）有两个零点，‎ 设x1＜x2，易知，x1＜0，x2＞0，‎ ‎∵f（x1）﹣f（﹣x2）=f（x2）﹣f（﹣x2）=ex2﹣e﹣x2﹣2x2，‎ 令h（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（x≥0），‎ 由（Ⅱ）可知h（x）在[0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴h（x）≥h（0）=0，又∵x1＜0＜x2，‎ ‎∴h（x2）＞0，‎ 即ex2﹣e﹣x2﹣2x2＞0，‎ ‎∴f（x1）＞f（﹣x2），‎ 又∵x1＜0，﹣x2＜0，‎ 且由（Ⅰ）知f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，‎ ‎∴x1＜﹣x2，‎ ‎∴x1+x2＜0．‎ ‎22. 解：（1）由得：,‎ 即：,C的直角坐标方程为：‎ (2) 设A,B两点对应的参数分别为，直线和圆的方程联立得：‎ 所以,<0‎ 所以,‎