江西省临川二中临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学（文）试题

江西省临川二中临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学（文）试题

临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考 文科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ‎ ‎1.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎2．设全集为，集合，则( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）‎ A. 29 B‎.30 C. 31 D. 32‎ ‎5.已知为等差数列，，，的前项和为，则使得达到最大值时是（ ）‎ A.19 B‎.20 C.39 D.40‎ ‎6.已知双曲线的左焦点在圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.在边长为2的等边中，是的中点，点是线段上一动点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知定义在R上的奇函数，则不等式的解集为 （ ）‎ A.(-1,6) B.(-6,1) C.(-2,3) D.(-3,2)‎ ‎9.△AOB中，，满足,则△A0B的面积的最大值为（ ）‎ A. B‎.2 ‎C. D. ‎ ‎10. 已知定义在上的奇函数满足 时，，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是( )‎ ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎11.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值1，则的取值范围是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．设一元二次方程的两个根分别为，，则方程可写成，即．容易发现：，．设一元三次方程的三个非零实根分别为，，，以下正确命题的序号是（ ）‎ ‎①；②；③；④．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．‎ ‎13.已知实数满足约束条件,则最小值为 .‎ ‎14．已知数列满足递推关系：，，则_________．‎ 15． 已知函数，则的最小值为 ．‎ ‎16.在中，内角所对的边分别为是的中点，若且则面积的最大值是 .‎ 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设数列满足 （1） 求证：数列是等差数列；‎ （2） 设，求数列的前项和为.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知函数，且.‎ ‎（1）求的值及的最小正周期；‎ ‎（2）若，，求sin2α．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆为其左右焦点，为其上下顶点，四边形的面积为2.点为椭圆上任意一点，以为圆心的圆（记为圆）总经过坐标原点.‎ （1） 求椭圆的长轴的最小值，并确定此时椭圆的方程；‎ （2） 对于（1）中确定的椭圆，若给定圆:，则圆和圆的公共弦的长是否为定值？如果是，求的值；如果不是，请说明理由.‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数 (1) 若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；‎ (2) 若有两个极值点求的取值范围，并证明：‎ ‎ (二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分. ‎ ‎22． [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐系内异于的三点，，都在曲线上. ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若过，两点直线的参数方程为(为参数) ， 求四边形的面积.‎ ‎23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）‎ 已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．‎ ‎(1)求＋＋的最小值；‎ ‎(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.‎ ‎ ‎ 临川二中、临川二中实验学校高三年级第三次月考文科数学答案 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B A C B C B D A C D B 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分．‎ ‎13.-5 14. 15． 16.‎ 三、 解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17. 解：（1）…………………………………………(2分)‎ 为常数， ……………………………………(4分)‎ 又 …………………………………………(5分)‎ 数列是以为首项为公差的等差数列. …………………………………(6分)‎ ‎（2）由（1）知………(8分)‎ ‎ …………………………………………(10分)‎ ‎ …………………………………………(11分)‎ 所以，数列的前项和为 …………………………………(12分)‎ ‎18．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）由已知，得，解得.（3分）‎ 所以 ‎.（5分）‎ 所以的最小正周期为.（6分）‎ ‎（2），，‎ 因为，所以，又，所以.（8分）‎ 所以.（10分）‎ 则 ‎.（12分）‎ ‎19.【试题解析】‎ 证明：（1）∵平面，平面，‎ ‎∴,∵ ,∴平面,‎ ‎∵平面∴.∵是正方形，∴,‎ ‎∵，，∴平面,‎ ‎∵平面，∴平面平面,..........6分 ‎（2）取中点，连接，，∵，∴，‎ ‎∵平面平面，平面,‎ 平面平面,∴平面,‎ ‎∴是在平面内的射影.‎ ‎∴就是与平面所成的角,‎ 在等腰中，∵，是的中点，∴,‎ 在中，∵，,‎ ‎∴，∴,‎ ‎∴...................12分 ‎20.解：（1）依题意四边形的面积为，………………………(2分)‎ 因为长轴，当且仅当时取“”，此时， ………………………………………(3分)‎ 故长轴的最小值为，椭圆的方程为…………………………(4分 ‎（2）设点为椭圆上任意一点，则……………(5分)‎ 圆的方程为：， ……(6 分)‎ 圆的方程为：，……………………………(7分)‎ 两式作差得公共弦方程为：，……………………………………(9分)‎ 所以弦心距…(11分)‎ 则弦长，所以圆和动圆的公共弦长为定值2. ……………(12分)‎ ‎22. (1) 由，，，………………(3分)‎ 则.(证毕)……………(5分)‎ ‎(2) 曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程化简得：‎ ‎，解得，；即得直角坐标为：，.……(7分)‎ 则，，；又得.‎ 即四边形面积为为所求. ………………(10分)‎ ‎23. [解]　(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，‎ x1，x2∈(0，＋∞)，‎ 所以＋＋≥3·＝3·≥3· ‎＝3×＝6，............3分 当且仅当＝＝且a＝b，‎ 即a＝b＝，且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6..............5分 ‎(2)证明：法一：由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，‎ x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：‎ ‎(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(·＋·)2＝(a＋b)2＝x1x2，............8分 当且仅当＝，即x1＝x2时取得等号．‎ 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2............10分 法二：因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，‎ 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)‎ ‎＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2‎ ‎＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)‎ ‎≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)‎ ‎＝x1x2(a2＋b2＋2ab)‎ ‎＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，‎ 当且仅当x1＝x2时，取得等号．‎ 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.‎