2018-2019学年新疆第二师华山中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年新疆第二师华山中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年新疆第二师华山中学高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合A={1,2,3}，集合B ={x|x2=x}，则A∪B= （ ）‎ A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出集合B={0，1}，然后根据并集的定义求出A∪B．‎ ‎【详解】‎ 解：∵集合A＝{1，2，3}，‎ 集合B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，‎ ‎∴A∪B＝{0，1，2，3}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．‎ ‎2．已知扇形的弧长为4 cm，圆心角为2 弧度，则该扇形的面积为 （ ）‎ A．4 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求出扇形的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：因为：扇形的弧长为4cm，圆心角为2弧度，‎ 所以圆的半径为 =2，‎ 所以扇形的面积为=×4×2＝4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据基本初等函数的性质知，符合条件的是，因为满足 ‎，且在上是增函数，故选D.‎ ‎4．已知，若A，B，C三点共线，则实数k的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A，B，C三点共线，所以存在使 ‎ ‎【考点】向量共线 点评：若向量共线，则存在使成立 ‎5． （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合指数函数与对数函数的性质，可以知道，，，从而选出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，，且，即，，所以.‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的性质的运用，属于基础题。‎ ‎6．已知，则＝ （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，得.‎ 所以.‎ 将上式平方得：，解得.‎ 故选D.‎ ‎7．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意知函数的周期为，则，所以，则.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正切函数的性质，属于基础题。‎ ‎8．在中，，.若点D满足,则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角形法则表示，然后利用向量的线性运算和三角形法则把用表示.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎= ‎ ‎= ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的三角形法则，平面向量基本定理，向量的加减运算，属于基础题.‎ ‎9．表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知是的零点，‎ 易知函数是（0，）上的单调递增函数，‎ 而，，‎ 即 所以，‎ 结合的性质，可知.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的零点问题，属于基础题。‎ ‎10．下列函数中，图象的一部分如图所示的是（ ）‎ A．y=sin B．y=sin C．y=cos D．y=cos ‎【答案】D ‎【解析】设图中对应三角函数最小正周期为T，从图象看出，T=，‎ 所以函数的最小正周期为π，函数应为y=向左平移了个单位，‎ 即=，选D.‎ ‎11．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由辅助角公式可得，由函数关于直线对称，可得，可取．从而可得，由此结合，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数关于直线对称，‎ ‎，‎ 即，，故可取．‎ 故，，‎ 即可得：‎ ‎，‎ 故可令，，‎ ‎，，即，，其中，，‎ ‎，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题. 由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.‎ ‎12．已知函数f(x)=，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是 （　 ）‎ A．（﹣∞，4） B．[3，4） C．（﹣∞，4] D．[3，4]‎ ‎【答案】B ‎【解析】将函数g（x）的零点问题转化为y＝f（x）与y＝m的图象的交点问题，画出y=f（x）的图像，借助于函数图象来处理．‎ ‎【详解】‎ 解：由于函数g（x）＝f（x）﹣m有3个零点，则方程f（x）﹣m＝0有三个根，‎ 故函数y＝f（x）与y＝m的图象有三个交点．‎ 函数 ， 其图象如图所示，‎ 又因为函数f（﹣1）＝4，f（0）＝3，‎ 则实数m的取值范围[3，4）．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根的个数的判断，以及函数与方程的思想，画出函数f（x）的图象是解题的关键，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是______．‎ ‎【答案】(1,4)‎ ‎【解析】已知过定点,由向右平移个单位，向上平移个单位即可得，故根据平移可得到定点.‎ ‎【详解】‎ 由向右平移个单位，向上平移个单位得到，过定点，则过定点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指数函数的图象恒过定点以及函数图象的平移问题.图象平移，定点也随之平移，平移后仍是定点.‎ ‎14．______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数的运算性质计算．‎ ‎【详解】‎ 解：原式＝‎ ‎=‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，本题是一道常规题．‎ ‎15．给出下列命题：‎ ‎①函数是奇函数；‎ ‎②存在实数x，使；‎ ‎③若是第一象限角且，则；‎ ‎④是函数的一条对称轴；‎ ‎⑤函数的图象关于点成中心对称．‎ 其中正确命题的序号为______．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】试题分析：①函数，而是奇函数，故函数是奇函数，故①正确；②因为，不能同时取最大值，所以不存在实数使成立，故②错误；③令，则，，，故③不成立；④把代入函数，得，为函数的最小值，故是函数的一条对称轴，故④正确；⑤因为图象的对称中心在图象上，而点不在图象上，所以⑤不成立．故答案为：①④．‎ ‎【考点】（1）正弦函数的图象；（2）余弦函数的图象.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查诱导公式、正弦函数和余弦函数性质以及图象特征，属于基础题．逐一判断各个选项是否正确，利用诱导公式化简①，对于②也可采用知其最大值为，对于③可以举出反例说明其不成立，由正弦函数的图象及性质知在对称轴处函数一定取最大值或最小值得到④的结论，由函数的图象必过对称中心得⑤不成立，从而得出结论．‎ ‎16．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模.若，则____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据定义直接计算得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以,因此，‎ ‎=2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角以及新定义，考查基本求解能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知，是互相垂直的两个单位向量，，.‎ ‎（1）求和的夹角；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别运用向量的代数形式和坐标形式的数量积公式建立方程求解；（2）依据题设条件及向量的数量积公式建立方程求解：‎ 解：（1）因为，是互相垂直的单位向量，所以 ， ， ‎ 设与的夹角为，故， 又 ，故 ‎ ‎（2）由得 ，即，又 ‎ 故 ‎ ‎【解法二】‎ 设与的夹角为，则由，是互相垂直的单位向量，不妨设，分别为平面直角坐标系中轴、轴方向上的单位向量，则， ， ， ， ，故 。又 ，故 。‎ ‎（2）由与垂直得 ，即，又，故 ‎ ‎18．已知,‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2)求的值；‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】（1）利用角的范围和正弦值求出余弦和正切，然后根据两角和与差的正切公式求出.‎ ‎（2）利用诱导公式化简，然后利用商数关系代入正切计算.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵， ,‎ ‎∴ ， ‎ ‎ . ‎ ‎（2） .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角公式的运用，熟练掌握平方关系、商数关系、诱导公式、两角差的正切公式是解题的关键．‎ ‎19．已知向量 其中，且.‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，且，求角.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解；‎ ‎（2）由，利用两角差的正弦展开即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∴，‎ 即.‎ 代入，得，且，‎ 则， .‎ 则 .‎ ‎ .‎ ‎（2）‎ 又 因为，得.‎ ‎20．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为 （直接写出结果即可）；‎ ‎（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象；‎ ‎（3）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）详见解析；（3）当时，；当时，‎ ‎【解析】（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数的最值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表中已知数据，解得，，，数据补全如下表：‎ 函数表达式为.‎ ‎（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图：‎ ‎（3）令，，则，‎ 则，，可转化为，，‎ 因为正弦函数在区间上单调递减，在区间（上单调递增，‎ 所以，在区间上单调递减，在区间（上单调递增，‎ 故的最小值为，最大值为，‎ 由于时，；时，，‎ 故当时，；当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题。‎ ‎21．已知函数为偶函数，且函数 图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间.‎ ‎【答案】(1);(2)．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两相邻对称轴间的距离为可得半个周期为.进而求出，由偶函数可得，由三角函数恒等变形可得.代入自变量即得的值；（2）先根据图像变换得到的解析式.再根据余弦函数性质求的单调递减区间.‎ 试题解析： 解：（1）∵为偶函数，‎ ‎∴对恒成立，∴.‎ 即： ‎ 又∵，故.‎ ‎∴‎ 由题意得，所以 故，∴‎ ‎（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.‎ ‎∴.‎ 当，‎ 即时，单调递减，‎ 因此的单调递减区间为.‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ ‎22．已知函数在上有最大值1和最小值0，设.‎ ‎（1）求m，n的值；‎ ‎（2）若不等式上有解，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）m，n的值分别为1，0（2）‎ ‎【解析】（1）配方可得g（x）＝m（x﹣1）2+1+n﹣m，讨论m＞0，m＜0，m＝0时，分析函数的单调性，列出m和n的方程组，解方程组可得.‎ ‎（2）由（1）可以求出，然后把问题转化为关于的不等式在x∈[2，4]上有解的问题，利用换元法求出二次函数在区间的最值可以求出ｋ的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）配方可得 ‎ 当上是增函数，‎ ‎ 由题意可得 解得 ‎ ‎ 当m=0时，； ‎ ‎ 当上是减函数，‎ ‎ 由题意可得 解得 ‎ 综上可得m，n的值分别为1，0 ‎ ‎ （2）由（1）知 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即上有解 ‎ ‎ 令 ‎ ，记 ‎ ，‎ ‎ ∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数已知最值求参，涉及分类讨论的思想，有解问题，属中档题.‎