2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（练）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题（练）（解析版）

专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 ‎1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.‎ ‎(1)证明：直线AB过定点：‎ ‎(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.‎ ‎【答案】(1)见详解；(2)3或.‎ ‎【解析】(1)设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 .‎ 整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为 ‎.所以直线AB过定点.‎ ‎(2)由(1)得直线AB的方程为.由，可得.‎ 于是，‎ ‎.‎ 设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，‎ 而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.‎ ‎【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.‎ ‎2．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点(2，−1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程及其准线方程；‎ ‎(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．‎ ‎【答案】(1)抛物线的方程为，准线方程为；(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，‎ 其准线方程为.‎ ‎(2)抛物线的焦点为.设直线的方程为.‎ 由得.设，则.‎ 直线的方程为.令，得点A的横坐标.‎ 同理得点B的横坐标.设点，则，‎ ‎.‎ 令，即，则或.‎ 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎3. 【2018年北京卷理】已知抛物线：经过点．过点的直线与抛物线 有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．‎ ‎(1)求直线的斜率的取值范围；‎ ‎(2)设为原点，，，求证：为定值．‎ ‎【解析】(1)因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为．‎ 由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为()．‎ 由得．依题意，‎ 解得或．又，与轴相交，故直线不过点．从而．‎ 所以直线斜率的取值范围是．‎ ‎(2)设，．由(1)知，．‎ 直线的方程为．令，得点的纵坐标为．‎ 同理得点的纵坐标为．由，得，．‎ 所以．‎ 所以为定值． ‎ ‎4.【2018年上海卷】设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．‎ ‎(1)用表示点到点距离；‎ ‎(2)设，，线段的中点在直线，求的面积；‎ ‎(3)设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】(1)；(2)；(3)见解析.‎ ‎【解析】(1)方法一：由题意可知：设，则，∴；‎ 法二：由题意设，由抛物线的性质可知：，∴；‎ ‎(2)，，，则，∴，∴，设的中点，‎ ‎，，则直线方程：，‎ 联立，整理得：，‎ 解得：，(舍去)，‎ ‎∴的面积；‎ ‎(3)存在，设，，则，，直线方程为，∴，，根据，则，∴，解得：，‎ ‎∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．‎ ‎【例】(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上。‎ ‎(1)求C的方程。‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点。‎ ‎【解析】(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点。又由＋>＋知，C不经过点P1，所以点P2在C上。因此解得故C的方程为＋y2＝1。‎ ‎(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为，。‎ 则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设。从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)。‎ 将y＝kx＋m代入＋y2＝1，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0。‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝。‎ 而k1＋k2＝＋＝＋＝。‎ 由题设知k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0。即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0。‎ 解得k＝－。当且仅当m>－1时，Δ>0，于是l：y＝－x＋m，‎ 即y＋1＝－(x－2)，所以l过定点(2，－1)。‎ ‎5．(2017新课标Ⅱ)设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．‎ ‎(1)求点的轨迹方程；‎ ‎(2)设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．‎ ‎【解析】(1)设，，则，，．‎ 由得 ，．因为在上，所以．‎ 因此点的轨迹方程为．‎ ‎(2)由题意知．设，，则，，‎ ‎，，，‎ 由得，又由(1)知，故．‎ 所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点． ‎ ‎2.练模拟 ‎1、已知椭圆：的离心率为，点和点都在椭圆上，直线交轴于点．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程，并求点的坐标(用，表示)；‎ ‎(Ⅱ)设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得解得=2．故椭圆的方程为．‎ 设(，0)．因为，所以．直线的方程为，‎ 所以=，即．‎ ‎(Ⅱ)因为点与点关于轴对称，所以，设，则=．‎ ‎“存在点使得=等价”，“存在点使得=”即满足．因为，，，所以．‎ 所以=或．故在轴上存在点，使得=．‎ 点的坐标为或．‎ ‎2.【江苏省泰州姜堰中学2020届高三上期中】已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程；‎ 直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；‎ ‎【答案】(1)(2)见解析(3)‎ ‎【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，‎ 解得，，，即有椭圆方程为；‎ 证明：由，，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，‎ 可得，解得或，即有，，，‎ 则，即为定值；‎ ‎3．【黑龙江省大庆市第一中学2020届高三模拟】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．‎ ‎【答案】(1)4；(2)证明过程见解析，直线恒过定点.‎ ‎【解析】(1)设，由抛物线定义知，又，，‎ 所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.‎ ‎(2)由(1)知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，，由 得，.‎ 所以，，所以 ‎，解得，‎ 所以直线的方程为，恒过定点．‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎(1)设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；‎ ‎(2)，，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.‎ ‎4．如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在 的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．‎ ‎【解析】(1)设，因为，所以，直线OB方程为，直线BF的方程为，‎ 解得，又直线OA的方程为，则 又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为 ‎(2)由(1)知，则直线的方程为，即，因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点，直线与直线的交点为 则，因为是C上一点，则，代入上式得 ‎，所求定值为 ‎5、【2020大连高三期末】已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y2＝2px(p>0)于A，B两点，直线l2：x＝－2交x轴于点Q.‎ ‎(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值；‎ ‎(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点，·＝2，求抛物线C的方程．‎ ‎【解析】(1)设直线l1的方程为：x＝my＋2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 联立方程得y2－2pmy－4p＝0，y1＋y2＝2pm，y1·y2＝－4p.‎ k1＋k2＝＋＝＋＝＝＝0.‎ ‎ (2)设点P(x0，y0)，直线PA：y－y1＝(x－x1)，当x＝－2时，yM＝，‎ 同理yN＝，因为·＝2，所以4＋yNyM＝2，·＝－2.‎ ＝－2，＝－2，‎ 解得p＝，抛物线C的方程为y2＝x.‎ ‎3.练原创 ‎1、在直角坐标系中，曲线：与直线交与，两点，则轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．‎ ‎【解析】存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，‎ 直线，的斜率分别为.将代入的方程整理得.‎ ‎∴.∴==.‎ 当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，‎ 故∠=∠，所以符合题意．‎ ‎2、设椭圆的右焦点为，过点且不与轴垂直的直线与交于,两点，点的坐标为．设为坐标原点，求证为定值．‎ ‎【解析】(1)当与轴重合时，．‎ ‎(2)当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，‎ 则，，直线，的斜率之和为．‎ 由，得．‎ 将代入得．‎ 所以，．则．‎ 从而， 综上，为定值．‎ ‎3、已知椭圆 ，分别是其左、右焦点。‎ ‎(1)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；‎ ‎(2)在(1)的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．‎ ‎【解析】：(1)由题意可知=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：，因为，‎ 所以，而，所以 ‎(2)由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：‎ ‎，所以，而，代入中得 为定值．‎ ‎4．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，若直线，且和有且只有一个公共点。‎ ‎ (1)证明直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎ (2)的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】(1)由已知得，设．，因为，‎ 则，由得，故，故直线的斜率 因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线的方程 得，由题意，得，设，则，‎ 当时，，可得直线的方程为，由，‎ 整理得，直线恒过点 当时，直线的方程为，过点，所以直线过定点．‎ ‎(2)由(1)知直线过定点，所以。‎ 设直线的方程为，因为点在直线上 故．设，直线的方程为 由于，可得，代入抛物线的方程得 所以，可求得，‎ 所以点到直线的距离为==‎ 则的面积，当且仅当即时等号成立，‎ 所以的面积的最小值为．‎ ‎5．如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点的动直线与椭圆相交于两点，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点．如果存在定点满足条件，‎ 则，即．所以点在y轴上，可设点的坐标为．‎ 当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于、两点．‎ 则，，由，有，解得或．‎ 所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为．‎ 下面证明：对任意的直线，均有．‎ 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立．‎ 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，、的坐标分别为．‎ 联立得．其判别式，‎ 所以，．因此．‎ 易知，点关于轴对称的点的坐标为．‎ 又，‎ 所以，即三点共线．所以．‎ 故存在与不同的定点，使得恒成立．‎