湖南省长沙市第一中学株洲二中等湘东七校2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

湖南省长沙市第一中学株洲二中等湘东七校2020届高三上学期12月月考数学（文）试题

湖南省湘东七校2019年高三联考文科数学试题 一、选择题 ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对集合和集合进行化简，然后由集合的交集运算，得到答案.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合 所以，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查解二次不等式，集合的交集运算属于简单题.‎ ‎2.复数满足，则（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对复数进行化简，根据复数的模长公式，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 所以，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的计算，求复数的模长，属于简单题.‎ ‎3.已知命题，命题，则￢p是q的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ ，两个集合相等，所以是的充要条件，故选C.‎ ‎4.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把120个面包分给5个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个数为（ ）‎ A. 2 B. 15 C. 32 D. 46‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到递增等差数列中，，，从而化成基本量，进行计算，再计算出，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，设递增等差数列，首项为，公差，‎ 则 所以 解得 所以最大项.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项的基本量计算，求等差数列中的某一项，利用等差数列解决应用题，属于简单题.‎ ‎5.函数处取得最小值，则（ ）‎ A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数在处取得最小值，所以，即，所以，即，所以，所以为偶函数，所以应选．‎ 考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性．‎ ‎6.已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，代入，得到曲线在时的切线的斜率，利用两直线垂直，得到关于的方程，求出的值，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 代入得切线的斜率为，‎ 因为切线与直线垂直，‎ 所以，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数的几何意义求在一点的切线，根据两条直线垂直求参数的值，属于简单题.‎ ‎7.在中，，，点满足，则（ ）‎ A. B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，得到为中点，得到，根据向量数量积的运算公式，计算，得到答案.‎ ‎【详解】因为 所以为中点 所以，‎ 所以，‎ 因为，，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量定理，向量的数量积运算，属于简单题.‎ ‎8.已知在处取得极值，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 3 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对求导，代入可得，得到关系，然后根据基本不等式求出的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为在处取得极值，‎ 所以，所以，即 所以 ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数的极值点求参数的值，基本不等式求最小值，属于简单题.‎ ‎9.，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和，得到和的值，将所求的转化为，利用两角和的余弦公式，得到答案.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系，两角和的余弦公式，属于简单题.‎ ‎10.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行化简，然后判断的奇偶性，判断出当时，，从而得到答案.‎ ‎【详解】定义域为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以为偶函数，所以排除A选项，‎ 当时，，，所以，排除B、D选项，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的图像，属于简单题.‎ ‎11.过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，与左支交于点，若，则的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到直线距离，求出，根据几何关系，得到，再由勾股定理求出，利用双曲线的定义，得到关系，从而求出离心率，得到答案.‎ ‎【详解】设过作一条渐近线的垂线的垂足为，双曲线的左焦点为，连接 ‎∵‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∵，∴‎ ‎∵为中点，∴为中点，‎ ‎∴∴‎ 利用双曲线定义得 即 ‎∴.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查通过几何关系求双曲线的离心率，双曲线的定义，属于中档题.‎ ‎12.已知函数，若关于的方程无实根，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，然后找到图像与直线无交点的情况，利用导数的几何意义求出切线方程和切点坐标，从而得到临界状态时的值，从而得到的范围，得到答案.‎ ‎【详解】方程无实根等价于函数的图像与直线无交点.‎ 画出函数的图像，如图，‎ 由图像知，当时，直线与曲线必有交点，‎ 当时，设直线与曲线相切时，切点为，‎ 由，‎ 代入切点横坐标得切线的斜率，‎ 所以，解得，则，‎ 所以切线方程为得.‎ 由图像知实数的取值范围为，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程，利用导数求函数的切线，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知与之间的一组数据如下表所示：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ 当变化时，回归直线必经过定点________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出和，得到样本中心，根据回归直线必过样本中心，得到答案.‎ ‎【详解】，，‎ 所以样本中心为，‎ 因回归直线必过样本中心，‎ 所以可得回归直线必经过定点.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程过定点，属于简单题.‎ ‎14.若，满足约束条件，则的最大值等于________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，目标函数化为斜截式，得到直线在轴上的截距的最小值，从而求出的最大值，得到答案.‎ ‎【详解】根据约束条件画出可行域，如图所示，‎ 设，化为斜截式，‎ 则直线在轴上的截距的最小值，即的最小值，就是的最大值，‎ 所以可得当直线经过点时，在轴的截距最小 此时，所以，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求最值，属于简单题.‎ ‎15.已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为，则底面截球所得圆的半径为，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．‎ ‎【详解】因为两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为，‎ 所以两个棱锥的高之比也为，‎ 设两个棱锥的高分别为，，球的半径为，‎ 则，即，‎ 所以球心到公共底面的距离是，‎ 又因为底面长为，‎ 所以 解得，‎ 所以得到，‎ 所以该球的表面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题给出两个正四棱锥有公共的底面，求外接球表面积，考查了正四棱锥的性质和球内接多面体等知识点，属于中档题．‎ ‎16.如图在中，，，为边上一点（不包括端点）．若，则的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先得到，由正弦定理得，得到，将转化为，根据的范围，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以为等边三角形，‎ 所以，‎ 所以在中，由正弦定理得， ‎ 即，得 ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形，正弦定理求三角形边长范围，正弦型函数的图像与性质，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：‎ ‎（1）根据该等高条形图，完成下列列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？‎ ‎（2）从男性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率．‎ 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据等高条形图算出所需数据可得完成列联表，由列联表，利用公式可得的观测值，与邻界值比较从而可得结果；‎ ‎（2）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率.‎ 试题解析：（1）由题意得列联表如表：‎ 喜欢节目 不喜欢节目 总计 男性观众 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女性观众 ‎15‎ ‎15‎ ‎30‎ 总计 ‎39‎ ‎21‎ ‎60‎ 假设：喜欢娱乐节目与观众性别无关，‎ 则的观测值，‎ 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关．‎ ‎（2）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目的人数为，不喜欢节目的人数为．‎ 被抽取的喜欢娱乐节目的4名分别记为，，，；不喜欢节目的1名记为．‎ 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：，，，，，，，，，共有10种，‎ 其中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的有，，，共4种，‎ 所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的观众的概率是．‎ ‎18.如图所示，四棱锥的底面是梯形，且，平面，是中点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的高．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，连结，，可得为平行四边形，从而得到，根据平面，得到，从而得到.（2）设点为的中点，连结，证明为正三角形，推出，求出，再证明，从而得到平面，然后得到三棱锥的高.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连结，，如图所示．‎ 因为点是中点，‎ 所以且． ‎ 又因为且，‎ 所以且， ‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以． ‎ 所以． ‎ ‎（2）解：设点为的中点，连结，如图所示，‎ 因为，，‎ 由（1）知，， ‎ 又因为，所以，‎ 所以， ‎ 所以为正三角形， ‎ 所以，且． ‎ 因为平面，，‎ 所以平面． ‎ 因为平面，‎ 所以， ‎ 又因为，所以平面．‎ 所以三棱锥的高为．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的性质与判定，求三棱锥的高，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.‎ ‎19.已知数列的前项和为，，．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，设数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由将条件中的式子转化为，从而得到，从而得到是等差数列；（2）由（1）得到的通项，利用分组求和的方法，求出其前项的和，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）证明：因为当时，，‎ 所以． ‎ 所以，‎ 因为，所以，所以， ‎ 所以． ‎ 所以是以为首项，以1为公差的等差数列． ‎ ‎（2）由（1）可得，所以. ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本小题主要考查与的关系、等差数列的判定、分组求和的方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，‎ 为椭圆上两点，圆.‎ ‎（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；‎ ‎（2）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据题意先计算出点坐标，然后得到直线的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算斜率不存在时，被圆截得弦长，斜率存在时设为，与椭圆联立，得到和，代入到得到的关系，表示出直线被圆截得的弦长，代入的关系，从而得到弦长的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）因为椭圆的方程为，‎ 所以，，‎ 因为轴，所以， ‎ 根据对称性，可取， ‎ 则直线的方程为，即. ‎ 因为直线与圆相切，得，‎ 所以圆的方程为 .‎ ‎（2）圆的半径为2，可得圆的方程为. ‎ ‎①当轴时，，所以，‎ 得，‎ 此时得直线被圆截得的弦长为. ‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ ‎，，‎ 首先由，得，‎ 即，所以（*）. ‎ 联立，消去得，‎ 在时，，‎ 代入（*）式，得，‎ 由于圆心到直线的距离为，‎ 所以直线被圆截得的弦长为，‎ 故当时，有最大值为.‎ 综上，因为，‎ 所以直线被圆截得的弦长的最大值为. ‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.‎ ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）的定义域为，， 对实数分情况讨论，得出单调性；（2） ，令，所以 令， ，再分情况讨论，求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】（1）的定义域为，， ‎ 若，则恒成立，∴在上单调递增； ‎ 若，则由，‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减．‎ 综上可知：若，在上单调递增；‎ 若，在上单调递增，在上单调递减． ‎ ‎（2），‎ 令，，‎ ‎，令， ‎ ‎①若，，在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎∴在上单调递增,，‎ 从而不符合题意． ‎ ‎②若，当，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 从而，‎ ‎∴在上单调递增,，‎ 从而不符合题意． ‎ ‎③若，在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，，‎ ‎∴在上单调递减,，‎ 综上所述，a的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的求法，满足条件的实数的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时应注意导数性质的合理利用．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）写出的极坐标方程；‎ ‎（2）设曲线经伸缩变换后得到曲线，曲线分别与和交于，两点，求．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式求出消去参数，得到的普通方程，再把代入，得到的极坐标方程；（2）根据伸缩变换得到的方程，从而得到，再得到，从而求出的长.‎ ‎【详解】解：（1）将消去参数，化为普通方程为，‎ 即， ‎ 将代入，得， ‎ 所以的极坐标方程为．‎ ‎（2）因为，所以得到，‎ 将代入得，‎ 所以的方程为． ‎ 的极坐标方程为，所以．‎ 又，所以．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程，伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎23.已知不等式的解集为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设关于的方程（）有解，求实数的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（Ⅰ）由|得，‎ 或，‎ 解得x>2，依题意m=2. ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎，‎ 当且仅当（x-t）（x+）≤0时，等号成立 又因为关于的方程（）有解，‎ 所以，可得，‎ 当且仅当|t|=时，等号成立，‎ ‎∴只有|t|=，即t=±1‎ 考点：不等式 ‎ ‎