数学文卷·2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试（2017

数学文卷·2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试（2017

重庆市重点中学2018级“九校联盟”第一次联合考试 文科数学 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，且，则复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限 ‎3. 的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知随机事件发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）‎ A． 1 B． C. D．0‎ ‎5.双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，若输出的，则的所有可能取之和等于（ ）‎ A． 19 B．21 C. 23 D．25‎ ‎9.已知抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）‎ A． B． C. D．1‎ ‎10.已知分别是内角的对边，，当时，面积的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12.设，则的最小值为（ ）‎ A． 3 B． 4 C. 9 D．16‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，且，则 ．‎ ‎14.已知实数满足，则目标函数的最大值为 ．‎ ‎15.已知奇函数的图像关于直线对称，当时，，则 ．‎ ‎16.半径为的球放置在水平平面上，点位于球的正上方，且到球表面的最小距离为，则从点发出的光线在平面上形成的球的中心投影的面积等于 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是公差不为0的等差数列的前项和，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎18. 某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照、、…、从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；‎ ‎（3）在、‎ 这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.‎ ‎19. 如图，直三棱柱中，侧面是正方形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当三棱锥的体积为2，时，求点到平面的距离.‎ ‎20. 如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上都不与重合的两点，记直线的斜率分别是.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.‎ ‎21. 设函数.‎ ‎（1）当时，证明：，；‎ ‎（2）若，都成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求直线和圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与圆交于两点，求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于任意，有，，求证：.‎ 试卷答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C A D B D B C A C ‎【解析】‎ ‎1．由或，故x的可取值为−1，2，，故选D．‎ ‎2．由，复数z对应的点位于第二象限，故选B．‎ ‎3．，故选B．‎ ‎4．事件与事件是对立事件，，故选C．‎ ‎5．易知双曲线C的渐近线与x轴的夹角为，故双曲线C的离心率，故选A．‎ ‎6．其体积为，故选D．‎ ‎7．函数经伸长变换得，再作平移变换得 ，故选B．‎ ‎8．N的可取值有且只有12，13，其和为25，故选D．‎ ‎9．依题意得，故选B．‎ ‎10．由，故（当且仅当时取等号），故选C．‎ ‎11．由，，故，即 ，故选A．‎ ‎12．其几何意义是单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值为，故选C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）[来源:]‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎[来源:]‎ ‎【解析】‎ ‎13．由，故．‎ ‎14．由可行域知其最优解对应的点为，故．‎ ‎15．依题意知的最小正周期是12，故，‎ 即．‎ ‎16．轴截面如图1所示，，中心投影的面积为．‎ 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ），设公差为d， ‎ ‎，，成等比数列（舍去）．‎ ‎ ‎ ‎． ‎ ‎（Ⅱ）， ‎ ‎． ‎ ‎． ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可知，‎ 平均户外“活动时间”在的频率为．‎ 同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，‎ 由．‎ 解得． ‎ ‎（Ⅱ）设中位数为m小时．‎ 因为前5组的频率之和为，‎ 而前4组的频率之和为，所以．‎ 由，解得．‎ 故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．‎ ‎（Ⅲ）由题意得平均户外活动时间在，中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．共21种，同时在同一组的有，，，，，，，，．共9种，‎ 故其概率是． ‎ ‎19． ‎ ‎（Ⅰ）证明：如图2，‎ 由是正方形得，‎ 在直三棱柱中，，又，‎ 故平面，且平面，‎ 故，且，‎ 故平面，且平面，‎ 故． ‎ ‎（Ⅱ）解：依题意得． ‎ 如图，设，连接，则，‎ 设点到平面的距离为d，‎ 则， ‎ 由对称性知：点C到平面的距离为． ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）设，，，‎ ‎． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：． ‎ 设，直线PQ：，‎ 代入，得，‎ ‎，， ‎ 由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，∴上式解出：，‎ ‎∴直线PQ：恒过定点． ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：由知，‎ 当时，（当且仅当时取等号），‎ 故在上是增函数，‎ 又，故，，‎ 即：当时，，． ‎ ‎（Ⅱ）解：当时，，符合条件；‎ 当时，设与在点处有公切线，‎ 则，‎ 故；‎ 当时，设与在点处有公切线，‎ 同法可得；‎ 综上所述，实数a的取值范围是． ‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为；‎ 圆C的直角坐标方程为． ‎ ‎（Ⅱ）将代入，‎ 整理得：， ‎ ‎． ‎ ‎23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】‎ ‎（Ⅰ）解：或，‎ ‎∴解集为． ‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ ‎ ‎