数学卷·2017届山东省淄博市桓台二中高三下学期开学数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2017届山东省淄博市桓台二中高三下学期开学数学试卷（理科）（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三（下）开学数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为（　　）‎ A．{x∈R|﹣1＜x＜1} B．{x∈R|1≤x＜5} C．{x∈R|1＜x＜5} D．{x∈R|x≥1}‎ ‎2．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（　　）‎ A．﹣1或1 B．或 C． D．‎ ‎3．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎4．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎5．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（　　）‎ A．，1， B．，1，1 C．2，1， D．2，1，1‎ ‎6．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：‎ 降水量X X＜100‎ ‎100≤X＜200‎ ‎200≤X＜300‎ X≥300‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎30‎ 概率P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ 在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（　　）‎ A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5‎ ‎7．设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（，4） B．（，+∞） C．（2，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．﹣1 C． +1 D．‎ ‎10．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．对任意的x∈R，总有f（﹣x）+f（x）=，b=1；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜．若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． C．（﹣∞，2] D．（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在数列{an}中是否存在这样一些项：a，a，a，…，a这些项都能够 构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出nk关于f（x）的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）极值；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a﹣b的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x1，x2，且x1+x2=2x0．‎ ‎①求证：0＜m＜1；‎ ‎②问：函数f（x）图象上在点（x0，f（x0））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三（下）开学数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知不等式|x﹣2|＜3的解集为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则图中阴影部分表示的集合为（　　）‎ A．{x∈R|﹣1＜x＜1} B．{x∈R|1≤x＜5} C．{x∈R|1＜x＜5} D．{x∈R|x≥1}‎ ‎【考点】Venn图表达集合的关系及运算．‎ ‎【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁RB），然后利用集合的基本运算进行求解即可．‎ ‎【解答】解：A={x||x﹣2|＜3}={x|﹣1＜x＜5}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，‎ 则∁UB={x|x≥1}，‎ 由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），‎ ‎∴A∩（∁UB）={x|1≤x＜5}，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用数轴求基本运算是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎2．已知a∈R，i是虚数单位，命题p：在复平面内，复数z1=a+对应的点位于第二象限；命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，若p∧q是真命题，则实数a的值等于（　　）‎ A．﹣1或1 B．或 C． D．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：利用复数的运算法则、几何意义可得a+1＜0．命题q：利用模的计算公式可得： =2，解得a．若p∧q是真命题，则p与q都为真命题，即可得出．‎ ‎【解答】解：命题p：在复平面内，复数z1=a+=a+=a+1+i对应的点位于第二象限，∴a+1＜0，解得a＜﹣1．‎ 命题q：复数z2=a﹣i的模等于2，∴ =2，解得a=±．‎ 若p∧q是真命题，∴，解得a=﹣．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．已知定义在R上的函数f（x）=2|x|，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（0），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】利用对数函数、指数函数的性质、运算法则求解．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x|，‎ ‎∴a=f（log0.53）==3，‎ b=f（log25）==5，‎ c=f（0）=20=1，‎ ‎∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎4．已知θ为锐角，且cos（θ+）=，则cos（﹣θ）=（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【考点】两角和与差的余弦函数．‎ ‎【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（﹣θ）的值．‎ ‎【解答】解：∵θ为锐角，且cos（θ+）=，‎ 则cos（﹣θ）=cos[﹣（θ+）]=sin（θ+）==，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（　　）‎ A．，1， B．，1，1 C．2，1， D．2，1，1‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】根据题意，结合三视图的特征，得出x是等边△PAB边AB上的高，y是边AB的一半，z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，分别求出它们的大小即可．‎ ‎【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB=，‎ 侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2；‎ ‎∴x是等边△PAB边AB上的高，x=2sin60°=，‎ y是边AB的一半，y=AB=1，‎ z是等腰直角△ABC斜边AB上的中线，z=AB=1；‎ ‎∴x，y，z分别是，1，1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了几何体的三视图与直观图的关系与应用问题，也考查了计算能力与空间想象能力，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：‎ 降水量X X＜100‎ ‎100≤X＜200‎ ‎200≤X＜300‎ X≥300‎ 工期延误天数Y ‎0‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎30‎ 概率P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ 在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（　　）‎ A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】分别求出两个事件发生的概率，利用条件概率公式求得答案．‎ ‎【解答】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，‎ 设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，‎ P（A）=0.6，P（AB）=0.3，‎ P=P（B丨A）==0.5，‎ 故答案选：D．‎ ‎【点评】本题考查条件概率，要求熟练掌握条件概率公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设实数x，y满足约束条件，若对于任意b∈，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（，4） B．（，+∞） C．（2，+∞） D．（4，+∞）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识以及分类讨论进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ b=0时，ax＞0，∴a＞0；‎ b≠0时，y＜x﹣1．‎ a＜0时，不成立；‎ a＞0时，B（1，3）在y=x﹣1的下方即可，‎ 即3＜﹣1，解得a＞4b，‎ ‎∵0＜b≤1，‎ ‎∴a＞4．‎ 综上所述，a＞4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件对于b∈时，不等式ax﹣by＞b恒成立，得到C（3，1）在y=x﹣1的上方或在直线上是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的方程组，解出λ，μ便可得出λ+μ的值．‎ ‎【解答】解：，，；‎ ‎∴=‎ ‎=‎ ‎=；‎ ‎∴由平面向量基本定理得：；‎ 解得；‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点评】考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理．‎ ‎　‎ ‎9．已知点F1是抛物线C：x2=4y的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．﹣1 C． +1 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用直线F2A与抛物线相切，求出A的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设直线F2A的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），‎ 即x2﹣4kx+4=0，‎ ‎∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，‎ ‎∴A（2，1），‎ ‎∴双曲线的实轴长为AF2﹣AF1=2（﹣1），‎ ‎∴双曲线的离心率为=+1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是求出A的坐标，属中档题．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x）．对任意的x∈R，总有f（﹣x）+‎ f（x）=，b=1；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜．若f（4﹣m）﹣f（m）≥4﹣2m，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． C．（﹣∞，2] D．　．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合．‎ ‎【分析】由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出•，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最小值，由P为左顶点，可得最大值，进而得到所求范围．‎ ‎【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，‎ 则|PA|=PB|=，‎ ‎∴y=•=|PA||PB|cos2α=•cos2α=•cos2α．‎ 记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3=2﹣3，‎ ‎∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，‎ ‎∴•的最大值为•=，‎ ‎∴•的范围为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．（12分）（2017•潍城区校级二模）已知=（2λsinx，sinx+cosx），=（cosx，λ（sinx﹣cosx））（λ＞0），函数f（x）=•的最大值为2．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，若f（A）﹣m＞0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的最小值，可得m的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数=λsin2x﹣λcos2x ‎ ‎=2λ（sin2x﹣cos2x）=2λsin（2x﹣），‎ 因为f（x）的最大值为2，所以解得λ=1，则．‎ 由，‎ 可得：，，‎ 所以函数f（x）的单调减区间为，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）由．可得2b2﹣ab=b2+c2﹣a2，‎ 即b2+a2﹣c2=ab，解得，即．‎ 因为，∴，．‎ 因为恒成立，则恒成立，即m≤﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（12分）（2017春•桓台县校级月考）如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=AC=1，BC=2，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角M﹣AC﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）证明PC⊥平面ABC，然后证明平面PAC⊥平面ABC．‎ ‎（Ⅱ）建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出相关点的坐标，设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），直线AM与直线PC所成的解为60°，解得z0=1．求出平面MAC的一个法向量，平面ABC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角M﹣AC﹣B的平面角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B；‎ 所以PC⊥平面ABC． …（2分）‎ 又因为PC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面ABC…（4分）‎ ‎（Ⅱ）在平面ABC内，过C作Cx⊥CB，‎ 建立空间直角坐标系C﹣xyz（如图）…‎ 由题意有C（0，0，0），A（，﹣，0），‎ 设P（0，0，z0）（z0＞0），则M（0，1，z0），，‎ ‎=（0，0，z0）． …（7分）‎ 由直线AM与直线PC所成的解为60°得 ‎=||||cos60°，z02=，‎ 解得z0=1． …（9分）‎ 所以，‎ 设平面MAC的一个法向量为，‎ 则，即．‎ 取x1=1，得． …（10分）‎ 平面ABC的法向量取为…（11分）‎ 设与所成的角为θ，则 因为二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，‎ 故二面角M﹣AC﹣B的平面角的余弦值为． …（12分）‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•潍城区校级二模）某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从 T1、T2两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题 T1，且表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题 T2，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．‎ ‎（I）求丙、丁未签约的概率；‎ ‎（II）记签约人数为 X，求 X的分布列和数学期望EX．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．由题意知 A，B，C，D相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约”为F，由事件的独立性和互斥性得能求出丙、丁未签约的概率．‎ ‎（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．‎ ‎【解答】解：（I）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 A，B，C，D．‎ 由题意知 A，B，C，D相互独立，且，．‎ 记事件“丙、丁未签约”为F，‎ 由事件的独立性和互斥性得：‎ P（F）=1﹣P（CD）…（3分）‎ ‎=…（4分）‎ ‎（II） X的所有可能取值为0，1，2，3，4．…‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，X的分布列是：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎…（12分） ‎ X的数学期望…（13分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017春•桓台县校级月考）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的长轴长为2，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知A，B为椭圆的左右两个顶点，T为椭圆上在第一象限内的一点，l为过点B且垂直x轴的直线，点S为直线AT与直线l的交点，点M以SB为直径的圆与直线TB的另一个交点，求证：O，M，S三点共线．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由a及椭圆的离心率公式求得c值，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AT的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得T点坐标，由BT⊥SM，则=（﹣，﹣2k），则•==0，BT⊥SO，即可O，M，S三点共线．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知：a=，e==，则c=1，‎ 又b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为：； …（4分）‎ ‎（Ⅱ）设直线AT方程为：y=k（x+），（k＞0），设点T坐标为（x1，y1），‎ ‎，则（1+2k2）x2+4k2x+4k2﹣1=0，…‎ 由韦达定理x1x2=，又A点坐标为（﹣，0），‎ 得x1=，y1=，…（7分）‎ 又B点坐标为（，0），则=（﹣，），…（8分）‎ 由圆的性质得：BT⊥SM，‎ 所以，要证明O，M，S三点共，只要证明BT⊥SO即可，…（9分）‎ 又S点横坐标为，则S点坐标为（，2k），=（﹣，﹣2k），‎ ‎•==0，…（11分）‎ 即BT⊥SO，又BT⊥SM，‎ ‎∴O，M，S三点共线．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2017春•桓台县校级月考）已知二次函数f（x）=x2+x．数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=anan+1cos（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）在数列{an}中是否存在这样一些项：a，a，a，…，a这些项都能够 构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出nk关于f（x）的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】数列与函数的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意可知，，（n∈N*）．由an=Sn﹣Sn﹣1求出n≥2时的通项公式，已知n=1成立得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由bn=anan+1cos=（﹣1）n﹣1anan+1，得Tn=b1+b2+…+bn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1．结合（Ⅰ）分n=2m（m∈N*）和n=2m﹣1（m∈N*）求出数列{bn}的前n项和为Tn，由Tn≥tn2对n∈N*恒成立，分离参数t可得实数t的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）由知数列{an}中每一项都不可能是偶数．如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列（k∈N*），此时{a}中每一项除第一项外都是偶数，‎ 故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{a}；当q=1时，显然不存在这样的数列{a}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{a}（k∈N*），则（n1=1），由此可得，，即存在满足条件的数列{a}，且（k∈N*）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，（n∈N*）．‎ 当n≥2时， =；‎ 当n=1时，a1=S1=1适合上式．‎ 数列{an}的通项公式为（n∈N*）；‎ ‎（Ⅱ）∵bn=anan+1cos=（﹣1）n﹣1anan+1，‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1．‎ 由（Ⅰ）可知，数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．‎ ‎①当n=2m（m∈N*）时，‎ ‎=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=‎ ‎=；‎ ‎②当n=2m﹣1（m∈N*）时，‎ ‎==．‎ ‎∴．‎ 要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，只要使（n为正偶数）恒成立，即使对n为正偶数恒成立，‎ ‎∴t．‎ 故实数t的取值范围是；‎ ‎（Ⅲ）由知数列{an}中每一项都不可能是偶数．‎ ‎①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列（k∈N*），此时{a}中每一项除第一项外都是偶数，‎ 故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{a}；‎ ‎②当q=1时，显然不存在这样的数列{a}；当q=3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{a}（k∈N*），则（n1=1），‎ ‎，，即存在满足条件的数列{a}，且（k∈N*）．‎ ‎【点评】本题主要考查数列和函数的应用，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．考查数列的分类求和，考查逻辑思维能力与推理运算能力，综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）（2017春•桓台县校级月考）已知函数f（x）=．‎ ‎（Ⅰ）求函数f（x）极值；‎ ‎（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a﹣b的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x1，x2，且x1+x2=2x0．‎ ‎①求证：0＜m＜1；‎ ‎②问：函数f（x）图象上在点（x0，f（x0））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（Ⅱ）设出函数的切点，求出a﹣b，设函数，根据函数的单调性求出F（﹣1）的值，从而求出a﹣b的最大值即可；‎ ‎（Ⅲ）①求出x1＜1＜x2，得到0=f（0）＜f（x1）=f（x2）=m＜f（1）=1即可；‎ ‎②由于0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，设函数G（x）=f（2﹣x）﹣f（x）=﹣，0＜x＜1，根据函数的单调性判断即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为：；…（1分）‎ 当f'（x）=0时，得x=1；‎ 当f'（x）＞0时，得x＜1，故函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增；‎ 当f'（x）＜0时，得x＞1，故函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；‎ 所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1．…（3分）‎ ‎（Ⅱ）设函数f（x）的切点为，t∈R．‎ 显然该点处的切线为：，即为；…（4分）‎ 可得：，则；‎ 设函数；…‎ 其导函数为，显然函数当F'（t）＞0时，得t＜﹣1或t＞2，‎ 故函数F（t）在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增；‎ 当F'（t）＜0时，得﹣1＜t＜2，故函数F（t）在区间（﹣1，2）上单调递减；‎ 函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2＞0，F（t）的极小值为．…（7分）‎ 显然当t∈（﹣∞，2）时，F（t）≤F（﹣1）恒成立；‎ 而当t∈（2，+∞）时，，‎ 其中et＞0，，得F（t）＜0；…（8分）‎ 综上所述，函数的F（t）的极大值为F（﹣1）=e2即为a﹣b的最大值．…（9分）‎ ‎（Ⅲ）①由于函数f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；‎ 所以x1＜1＜x2，…（10分）‎ 显然当x＜0时，f（x）＜0；当0＜x＜1和x＞1时，f（x）＞0；‎ 得0＜x1＜1＜x2，0=f（0）＜f（x1）=f（x2）=m＜f（1）=1．…（11分）‎ ‎②由于0＜x1＜1＜x2，则2﹣x1＞1，‎ 设函数G（x）=f（2﹣x）﹣f（x）=﹣，0＜x＜1；…（12分）‎ 其导函数为G′（x）=＜0；‎ 故函数在区间（0，1）上单调递减，且G（1）=0，0＜x1＜1；‎ 所以G（x1）=f（2﹣x1）﹣f（x1）＞0，即f（2﹣x1）＞f（x1）；‎ 同时f（x1）=f（x2）=m，从而f（2﹣x1）＞f（x2）；‎ 由于2﹣x1＞1，x2＞1，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，‎ 得2﹣x1＜x2，即x1+x2＞2． …（13分）‎ 所以x0＞1，f′（x0）=＜0，‎ 函数f（x）图象上在点（x0，f（x0））处的切线斜率恒小于0，在点（x0，f（x0））处不存在切线平行x轴．…（14分）‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．‎