数学卷·2018届广西玉林市陆川县中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

数学卷·2018届广西玉林市陆川县中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

广西陆川县中学2017年秋季期高三期中考 理科数学试题 ‎ 第I卷(选择题，共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） ‎ ‎1. 的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎ 2. 设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】复数，则的共轭平面复数在复平面中对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎3. 已知向量，，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 故选：C ‎4. 已知命题；命题；则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意易知：命题为假命题，命题为真命题，∴为真命题，为假命题，‎ ‎∴为真命题.‎ 故选：C ‎5. 已知，且为第二象限角，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，且为第二象限角，∴‎ ‎∴‎ ‎∴＝‎ 故选：D ‎6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，若的周长为，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】的周长为，的周长，离心率为，椭圆的方程为，故选A.‎ ‎7. 若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误，，选项C正确，，选项D错误，故选C．‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的性质 ‎【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.‎ ‎8. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其 大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为 ‎9. 已知的三个内角所对的边长分别是，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，利用正弦定理得：，整理得：，利用余弦定理：，则，，将图象向右平移个单位长度单位，得到，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形图象的平移变换，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎10. 已知函数在处有极值，则＝（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】，若在处有极值，故，解得，故选A.‎ ‎11. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，其底面ABC 为等边三角形，平面SAB⊥平面ABC，.‎ AB=，SA=SB=，‎ 在△SAB中， 设其外接圆半径为r，易得：，解得：，‎ ‎△ABC的外接圆半径为1，‎ 取过SC且垂直ＡＢ的截面ＳＦＣ，ＳＱ＝，ＯＱ＝，‎ ‎∴外接球半径为Ｒ＝‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.‎ ‎12. 设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 作出函数的图象如图，令，则方程化为，要使关于的方程，恰好有六个不同的实数根，则方程在内有两个不同实数根，，解得实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【方法点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）‎ ‎13. 已知，若在上投影为，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得，，可得在上的投影是，故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查向量坐标表示及平面向量数量积公式、平面向量的投影，属于 中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎14. 函数为奇函数，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，，可得，，故答案为.‎ ‎15. 已知，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，等式两边同时除以 ，故答案为.‎ ‎16. 已知为常数，对任意,均有恒成立.下列说法：‎ ‎①的周期为；‎ ‎②若为常数）的图像关于直线对称，则；‎ ‎③若且，则必有；‎ ‎④已知定义在上的函数对任意均有成立，且当时，；又函数为常数），若存在使得成立，则的取值范围是.其中说法正确的是____.（填写所有正确结论的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】①对任意的恒成立，，解得， ，不是周期为的函数，故①错误；②函数 为常数）的图象关于直线对称， ，对于任意实数恒成立，化为对于任意实数恒成立，，故②正确；③由，得或，又，且，，故③正确；④当时，，可得定义在上的函数对任意均有成立，是偶函数，当时，，可得，综上可得：时，，由函数，可得存在，使得成立，只要，且，解得且，因此，故④正确，正确命题是：② ③ ④，故答案为② ③ ④.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知.‎ ‎（1）若是等差数列，且，求；‎ ‎（2）若是等比数列，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）据题意列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，得到等比数列的通项公式，代入，由错位相减法求得.‎ 试题解析：（1）设数列的公差为，则，‎ ‎.‎ ‎（2）设数列的公比为，则，‎ ‎，，①‎ ‎， ② ②-①得， .‎ ‎18. 某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台注册，并购买至少1万元的12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的，且每邀请一位最高现金奖励为300元，红包奖励为每邀请一位奖励50元．假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买1万元、2万元、3万元的12月定期的概率如下表：‎ 理财金额 万元 万元 万元 乙理财相应金额的概率 丙理财相应金额的概率 ‎（1）求乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率；‎ ‎（2）若甲获得奖励为元，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式，可以计算乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率值；（2）根据题意，的所有可能取值 ，互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式计算对应的概率值，写出随机变量的分布列，计算数学期望值.‎ 试题解析：(1)设乙、丙理财金额分别为ξ万元、η万元，则乙、丙理财金额之和不少于5万元的概率为P(ξ＋η≥5)＝PP＋PP＋PP＝×＋×＋×＝.‎ ‎(2)X的所有可能的取值为300，400，500，600，700.‎ P＝PP＝×＝，‎ P＝PP＋P(ξ＝2)P(η＝1)＝×＋＝.‎ P＝PP＋P(ξ＝3)·P(η＝1)＋P P=×＋×＋×＝,‎ P＝PP＋P(ξ＝3)P(η＝2)＝×＋×=,‎ P＝P(ξ＝3)P(η＝3) ＝×＝×=.‎ 所以X的分布列为 X ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ ‎600‎ ‎700‎ P E(X)＝300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎19. 如图所示，与四边形所在平面垂直，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若为的中点，设直线与平面所成角为，求.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由三角形全等即等腰三角形的性质可得由线面垂直的性质可得 ，从而平面，由此能证明.（2）分别以所在直线为轴，过且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量及直线的方向向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果.‎ 试题解析：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，‎ 又BC＝CD，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC.‎ 因为PD⊥DC，所以PB⊥BC.3分 因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BC.‎ 又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.‎ 因为AB⊂平面PAB，所以AB⊥BC.5分 ‎(2)由BD＝BC＝CD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，‎ 又已知AB＝AD，BD＝PA＝，所以AB＝1.‎ 如图所示，分别以BC，BA所在直线为x，y轴，过B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系，‎ 则B(0，0，0)，P(0，1，)，C(，0，0)，E（， ，），D（，，0），所以＝（，，－)，＝(，，)，＝(， ，0).‎ 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)， ‎ 则,即取z＝－2，得n＝(3，－，－2)，‎ 所以sin θ＝.‎ ‎20. 已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为 ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过左焦点的直线与椭圆分别交于两点，若三角形的面积为求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）由；（2）利用直线与椭圆的位置关系，研究三角形的面积，利用韦达定理求解直线的方程。‎ 解：（Ⅰ）由题意，-------1分 解得． ------------2分 即：椭圆方程为------------4分 ‎（Ⅱ）当直线与轴垂直时，，‎ 此时不符合题意故舍掉；‎ 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，‎ 代入消去得：． ------------5分 设，则，‎ 所以． ------------7分 原点到直线的距离，‎ 所以三角形的面积．‎ 由， ------------11分 所以直线或． ---------12分 ‎21. 已知函数，函数的图像在点处的切线平行于轴．‎ ‎（1）求函数的极小值； ‎ ‎（2）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，‎ 证明：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出的导数，得到函数的导数，求出函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的极小值；（2）表示出，问题转化为即证，令 ，即证，令，根据函数的单调性证明即可.‎ 试题解析：（1）依题意得，则 ‎，‎ 得 ‎∵函数的定义域为，令得或 函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为.‎ ‎（2）依题意得， ‎ 令则 由得，当时，，当时，，‎ 在单调递增，在单调递减，又 即    .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22. 在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．‎ ‎(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与曲线交于两点，证明: ．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）以为参数直接利用直线参数方程，利用两边同乘以利用 ‎ 即可得曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义可得结果. ‎ 试题解析：（1）直线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点所对应的参数为，则，即，而 .‎ 选修4—5：不等式选讲 ‎23. 设均为正数，且，证明：‎ ‎(1)；‎ ‎(2) .‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，，得：‎ ‎，由题设得，即 ‎，所以 ‎，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，即，‎ 所以.‎ 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.‎