2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练32+基本不等式
课时分层训练(三十二) 基本不等式
(对应学生用书第238页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]
2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件．]
3．(2018·广州模拟)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
【导学号：00090204】
A．2 B．2
C．4 D．2
C [∵lg 2x＋lg 8y＝lg 2，∴lg(2x·8y)＝lg 2，
∴2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1.
∵x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C．]
4．(2018·许昌模拟)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A．24 B．32
C．20 D．28
C [∵x，y均为正实数，且＋＝，
则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6(x＋2＋y＋2)－4＝6－4≥6×－4＝20，
当且仅当x＝y＝10时取等号．
∴x＋y的最小值为20.]
5．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则( )
A．R
b>1，∴lg a>lg b>0，
(lg a＋lg b)>，
即Q>P.∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为__________．
[由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，所以2＋1＝4，
解得p＝.]
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．
20 [每次都购买x吨，则需要购买次．
∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．
∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，
∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]
三、解答题
9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)设00，
∴＋≥2＝4， 4分
当且仅当＝，即x＝－时取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 6分
(2)∵00，
∴y＝＝·≤·＝， 8分
当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，
∴当x＝1时，函数y＝的最大值为.12分
10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值. 【导学号：00090206】
[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 2分
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64. 5分
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2 ＝18. 8分
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
∴x＋y的最小值为18. 12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2018·深圳模拟)已知f(x)＝(x∈N*)，则f(x)在定义域上的最小值为( )
A． B．
C． D．2
B [f(x)＝＝x＋，
∵x∈N*＞0，
∴x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号．但x∈N*，故x＝5或x＝6时，f(x)取最小值，
当x＝5时，f(x)＝，
当x＝6时，f(x)＝，
故f(x)在定义域上的最小值为.故选B．]
2．(2018·武昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a)＝f(b)(0＜a＜b)，则＋取得最小值时，f(a＋b)＝________. 【导学号：00090207】
1－2lg 2 [由f(a)＝f(b)及0＜a＜b可得lg b＝－lg a，即lg(ab)＝0，即ab＝1，
则＋＝＝4a＋b≥2＝4，当且仅当b＝4a时，＋取得最小值，
由可得a＝，b＝2，
∴f(a＋b)＝f＝lg＝1－2lg 2.]
3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|.
(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式；
(2)求该城市旅游日收益的最小值．
[解] (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(120－|t－20|)
＝ 5分
(2)当t∈[1,20]时，401＋4t＋≥401＋2＝441(t＝5时取最小值).
7分
当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减，
所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443， 10分
所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元. 12分
