江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第一次周考数学（理）

江西省赣州市石城中学2020届高三下学期第一次周考数学（理）

理科数学试卷 命题范围：高考全部 下一次命题范围：高考全部 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（　　）‎ A． B．13 C．10 D．‎ ‎3.已知向量，，若，则（ ）‎ A. 5 B. C. 6 D. ‎ ‎4（错题重现）．如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎5.图1是我国古代数学家赵爽创制一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知，则下列说法中错误的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为π ‎ B．函数f（x）在上单调递减 ‎ C．函数f（x）的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 ‎ D．是函数f（x）图象的一个对称中心 ‎7．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）‎ A．必在圆x2+y2＝2外 B．必在圆x2+y2＝2上 ‎ C．必在圆x2+y2＝2内 D．以上三种情形都有可能 ‎8．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（　　）‎ A．6 B．12 C．16 D．18‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若，且，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.‎ 现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.（错题重现）已知抛物线C：的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点点B在F，M中间，且与抛物线C的准线交于点N，若，则AF的长为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎12.若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ 二、 填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.‎ 14． 已知实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x﹣2y的最大值为180，则实数m的值为　 　．‎ ‎15（错题重现）．如图，点D在△ABC的边AC上，且，则3AB+BC的最大值为　 　．‎ ‎16．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得，则双曲线离心率的取值范围是　 　．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）已知递增的等差数列前项和为，若，.‎ ‎1.求数列的通项公式.‎ ‎2.若，且数列前项和为，求.‎ ‎18.如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎19.（本小题满分12分）今有9所省级示范学校参加联考，参加人数约5000人，考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.‎ ‎1.计算联考成绩在137分以上的人数.‎ ‎2.从所有试卷中任意抽取1份，已知分数不超过123分的概率为0.8.‎ ‎①求分数低于103分的概率.‎ ‎②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同。表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出的分布列，并求出数学期望.‎ 参考数据：‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点，，，是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足.‎ ‎1.求椭圆的方程.‎ ‎2.若斜率为的直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点、，求时，求的取值范围.‎ ‎21.已知函数，其中a为非零常数．‎ 讨论的极值点个数，并说明理由；‎ 若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线 ‎.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程;‎ ‎(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知，且、、都是正数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ 理科数学试卷 命题范围：高考全部 下一次命题范围：高考全部 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【详解】解：，或，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎2．若复数为纯虚数，则|3﹣ai|＝（　　）‎ A． B．13 C．10 D．‎ ‎【答案】A ‎【详解】解：由＝．‎ 因为复数为纯虚数，所以，解得a＝2．‎ 所以|3﹣ai|＝|3﹣2i|＝．‎ ‎3.已知向量，，若，则（ ）‎ A. 5 B. C. 6 D. ‎ ‎【答案】A ‎【详解】解：向量，，若，可得，解得，‎ 所以，则．‎ 故选：A．‎ ‎4．（错题重现）如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【详解】解：分析数据，三年总分均为150分，‎ 由图可知，①近三年容易题分值逐年增加；从40分，到55分，再到96分，①正确．‎ ‎②近三年中档题分值所占比例年份是2016年为：76÷150≈0.51，2017年为：49÷150≈0.33，2018年为：42÷150＝0.28，近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；②错误 ‎③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的（96+42）÷150＝0.92以上．即92%以，③正确．‎ 其中正确结论的个数为①③两个．‎ 故选：C．‎ ‎5.图1是我国古代数学家赵爽创制一幅“勾股圆方图”又称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若，，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得，在中，运用余弦定理，求得AB，以及DE，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．‎ ‎【详解】解：，‎ 在中，可得，‎ 即为，解得，‎ ‎，．‎ 故选：B．‎ ‎6．已知，则下列说法中错误的是（　　）‎ A．函数f（x）的最小正周期为π ‎ B．函数f（x）在上单调递减 ‎ C．函数f（x）的图象可以由函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 ‎ D．是函数f（x）图象的一个对称中心 ‎【答案】C ‎【解答】解：＝4cosx（）‎ ‎＝，‎ ‎＝1+cos2x﹣sin2x＝1+2cos（2x+），‎ A：由周期公式可知T＝π，故A正确；‎ B：令可得，k，‎ 当k＝0时可得函数的单调递减区间[﹣]，故B正确；‎ C：函数图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍可得y＝2cos（2x+）+2，故C错误；‎ D：令x＝可得，y＝1，故D正确 故选：C．‎ ‎7．设椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）‎ A．必在圆x2+y2＝2外 B．必在圆x2+y2＝2上 ‎ C．必在圆x2+y2＝2内 D．以上三种情形都有可能 ‎【答案】C ‎【解答】解：∵e＝＝，∴＝，‎ ‎∵x1，x2是方程ax2+bx﹣c＝0的两个实根，‎ ‎∴由韦达定理：x1+x2＝﹣＝﹣，x1x2＝＝﹣，‎ ‎∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝+1＝＜2，‎ ‎∴点P（x1，x2）必在圆x2+y2＝2内．‎ 故选：C．‎ ‎8．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A、B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A、B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（　　）‎ A．6 B．12 C．16 D．18‎ ‎【解答】解：①当a，b，c三家宾馆入住人数为3，1，1，则不同的安排种数为＝6，‎ ‎②当a，b，c三家宾馆入住人数为2，2，1，则不同的安排种数为＝3，‎ ‎③当a，b，c三家宾馆入住人数为2，1，2，则不同的安排种数为＝3，‎ 即不同的安排种数为++＝12，‎ 故选：B．‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象．若，且，，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：函数的图象向左平移个单位，得到的图象，再向上平移1个单位，得到的图象，‎ 由于若，且，，‎ 所以函数在和时，函数都取得最大值．‎ 所以，解得，‎ 由于且，，所以，同理，所以．‎ 故选：C．‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，，若，当阳马 体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据体积的最大值求得此时的长，判断出球心的位置，求得的外接球的半径，进而求得球的体积.‎ ‎【详解】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积为.‎ 特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.‎ 故选：B ‎11.（错题重现）已知抛物线C：的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点点B在F，M中间，且与抛物线C的准线交于点N，若，则AF的长为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长．‎ ‎【详解】解：如图，过B作垂直于准线，垂足为，则，‎ 由，得，可得，‎ ‎，，‎ 又，的方程为，‎ 取，得，即，则，抛物线方程为．‎ 联立，解得．．‎ 故选：C．‎ ‎12.若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设即所以,令,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根，且，且则即可求解.‎ ‎【详解】由方程，有 设即 ‎ 所以 令 ，则 所以在上单调递增，在上单调递减,‎ 且，，当时，其大致图像如下.‎ 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，‎ 且.‎ 结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根 ‎ 且, ‎ 则.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 故选：D 二、 填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：__________.‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用根与系数关系，等差数列前项和公式，求得的值.‎ ‎【详解】由于，是方程的两根，所以，所以.‎ 故答案为：‎ 14． 已知实数x，y满足不等式组且目标函数z＝3x﹣2y的最大值为180，则实数m的值为　 　．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，如图：‎ 由z＝3x﹣2y化简为y＝x﹣z，‎ 平移直线y＝x﹣z，‎ 由图象可知当直线y＝x﹣z，‎ 经过点A（m，0）时，‎ 直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大，‎ zmax＝3m＝180，‎ 解得：m＝60．‎ 故答案为：60．‎ ‎15．（错题重现）如图，点D在△ABC的边AC上，且，则3AB+BC的最大值为　 　．‎ ‎【解答】解：设AD＝t，则CD＝3t，‎ 由cosB＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，‎ 由余弦定理得cosB＝＝，∴16t2＝c2+a2﹣，①‎ 由cos∠ADB+cos∠BDC＝0，‎ 得+＝0，‎ 得12t2＝3c2+a2﹣8，②‎ 由①②消去t2得9c2+a2＝32﹣ac≥2＝6ac，（3c＝a时取等）‎ ‎∴ac，‎ ‎∴（3AB+BC）2＝（3c+a）2＝9c2+a2+6ac＝32﹣ac+6ac＝32+ac≤32+×＝，‎ ‎∴3AB+BC≤＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得，则双曲线离心率的取值范围是　 　．‎ ‎【解答】解：由题意可得F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc＝0，‎ ‎∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i＝1，2），使得，‎ 可得△PiA1A2（i＝1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，‎ ‎∴＜a，‎ ‎∴e4﹣3e2+1＜0，‎ ‎∵e＞1，‎ ‎∴1＜e＜，‎ ‎∵在线段BF上（不含端点）有且仅有两个不同的点Pi（i＝1，2），‎ 使得∠A1PiA2＝，‎ 可得a＜b，‎ ‎∴a2＜c2﹣a2，‎ ‎∴e＞，‎ ‎∴＜e＜，‎ 故答案为：＜e＜．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）已知递增的等差数列前项和为，若，.‎ ‎1.求数列的通项公式.‎ ‎2.若，且数列前项和为，求.‎ ‎17.（12分）解：（1）由，且知：，……3分 公差，∴数列的通项公式为； ……6分 ‎（2） ……7分 ‎ ……9分 ‎.∴； ……12分 ‎18.如图，在三棱台中，二面角是直二面角，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由勾股定理可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得，结合，由线面垂直的判定定理可得平面；（2）在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，是平面的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 详解：（1）连接，在等腰梯形中，过作交于点，因为，所以，，，所以，所以，即，又二面角是直二面角，平面，所以平面， ‎ 又平面，所以，又因为，，、平面，所以平面． ……6分 ‎（2）如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．‎ 则，，，， ……8分 所以，，设是平面的一个法向量，则，所以，‎ 取，则，，‎ 即， ‎ 由（1）可知平面，‎ 所以是平面的一个法向量，‎ 所以 ，‎ 又二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的平面角的余弦值为．……12分 ‎19.（本小题满分12分）今有9所省级示范学校参加联考，参加人数约5000人，考完后经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.‎ ‎1.计算联考成绩在137分以上的人数.‎ ‎2.从所有试卷中任意抽取1份，已知分数不超过123分的概率为0.8.‎ ‎①求分数低于103分的概率.‎ ‎②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同。表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出的分布列，并求出数学期望.‎ 参考数据：‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎19、解1.设本次联考成绩为，由题意知在正态分布中，，，因为，所以，故所求人数为（人）……4分 ‎2.① ......6分 ‎②由题意易知 故 ‎，‎ ‎，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ......12分 ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点，，，‎ 是椭圆上任意三点，，关于原点对称且满足.‎ ‎1.求椭圆的方程.‎ ‎2.若斜率为的直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点、，求时，求的取值范围.‎ ‎20、解：1.由题可设，，，‎ 所以两式相减得，‎ ‎.即，‎ 所以，又，，所以，，‎ 所以椭圆的标准方程为.（4分）‎ ‎2.设直线方程为，交椭圆于点，.‎ 联立方程 ‎，得，‎ ‎，. （6分）‎ 所以 ‎ （8分）‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以，‎ 即，代入，得. （9分）‎ 所以 ‎ （10分）‎ 因为，‎ 所以，‎ 化简得，或（舍）.‎ 所以或，‎ 故k的取值范围为. ......12分 ‎21.已知函数，其中a为非零常数．‎ 讨论的极值点个数，并说明理由；‎ 若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，‎ 转化为证明只有一个零点，结合函数与导数知识可证；‎ 由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．‎ ‎【详解】解：解：由已知，的定义域为，‎ ‎，............1分 ‎①当时，，从而，‎ 所以在内单调递减，无极值点；............2分 ‎②当时，令，‎ 则由于在上单调递减，，，‎ 所以存在唯一的，使得，‎ 所以当时，，即；当时，，即，‎ 所以当时，在上有且仅有一个极值点.‎ 综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；............4分 证明：由知．‎ 令，由得，‎ 所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，‎ 不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以是的唯一极值点．‎ 令，则当时，，‎ 故在内单调递减，‎ 从而当时，，所以．‎ 从而当时，，且 又因为，故在内有唯一的零点．............8分 由题意，即，‎ 从而，即．‎ 因为当时，，又，‎ 故，即，‎ 两边取对数，得，‎ 于是，整理得．............12分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程;‎ ‎(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎(1)曲线经过伸缩变换,可得曲线的方程为,‎ ‎∴其参数方程为为参数);‎ 曲线的极坐标方程为,即,‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为,即,‎ ‎∴其参数方程为为参数)............5分 ‎(2)设,则到曲线的圆心的距离 ‎,‎ ‎∵,∴当时,.‎ ‎∴. ............10分 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知，且、、都是正数.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将两边平方，在由，，，可证. (2)由可证.‎ ‎【详解】（1）证明：由已知得，‎ ‎，‎ 又，，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴. ............5分 ‎（2）证明：由已知得，‎ ‎∴‎ ‎. ............10分 ‎【点睛】本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.‎