THUSSAT7月测试理科数学答案

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第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年 7 月测试 理科数学答案 一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B A D A D B C D A B 二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分． 13. 53 2 14. 13,n2 3n ,n2 n−    为奇数 为偶数 15. 31+ 16. 3 4a  三、解答题：共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（12 分） 解：（1） Baba 2222 cos434 =−  222 3)cos1(4 bBa =− , bBa 3sin2 = , 由正弦定理， 得： BBA sin3sinsin2 = ， 0sin B ， …………………3 分 所以 2 3sin =A ， 0 A ，所以 3 =A 或 3 2=A …………………6 分 （2） 3 =A ， 3 2=+ CB ， 得： 3 20  B ∴ )6 5sin(sin3)6sin(sin3 BBCBy −+=++=  = )sin(7cos2 1sin2 33 +=+ BBB ，其中 9 3tan = ， …………9 分 第2页 共 5 页  当 1)sin ( =+ B 时，即  −= 2B 时， 3sinsin() 6yBC =++ 取最大值 7 . ………………12 分 18. （12 分） （1）连接 AC ，由于 11A A CC∥ 且 11 CCAA = ，所以四边形 11ACC A 为 平行四边形， ACCA //11 . 又底面 A B C D 为等腰梯形， ADCDBCAB 2 1=== ， BCAD // ，延长 DCAB , 交于 G ， 60= A D C ， 30=== BACACBDAC 90= DCA ， A C C D⊥ .……………2 分 侧棱 1CC ⊥ 平面 A B C D , AC  平面 A B C D ， 所以 1CCAC⊥ . ……………………4 分 又 1CDCCC = ，所以 AC ⊥ 平面 11CDDC ， 故 11AC ⊥ 平面 . ……………………6 分 （2）解法一 由题意 1 22BC = ,延长 DC 、 11DC 、 AB 、 11AB 交于点 G ,取 CG 中点 M ，连 BMAC、 . 由 11BMACAC∥ ∥ , BM  平面 111A B C ， 11AC  平面 ，所以 BM ∥ 平面 . 因此点 B 到平面 的距离和点 M 到平面 的距离相等. ……………………8 分 由（1）知 平面 ，又 11AC  平面 ，所以平面 1 1 1A B C ⊥ 面 11CDD C . 过点 M 作 1MH GD⊥ ，则 MH ⊥平面 ， 即点 到平面 的距离为 2 2MH = . ……………………10 分 所以直线 1BC 与平面 所成角为 ，则有 1 2 12sin 422 MH BC === .…………………12 分 第3页 共 5 页 解法二：建系法 ABCDDD 平面⊥1 ， DADD ⊥ 1 ，以 D 为坐标原点 O ， DA 为 x 轴，过 D 作平面 11 A D DA 的垂线为 y 轴， 1DD 为 z 轴 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ( ) ( ) ( ) ( )1113,3,0,4,0,2,3,3,1 ,1,3,2BABC . ( )1 2 ,0 ,2BC =− , ( ) ( )1111 3,3,0,2,0,1ACB C=−=− ，设平面 1 1 1A B C 的法向量为 ( ),,n x y z= . 由 11 11 3 3 0 20 AC n x y B C n x z    = − + =  = − + = ，解得 3 , 2y x z x==. 令 1x = ，则 3, 2yz==， ( )1, 3,2n = . ……………………9 分 设直线 1BC 与平面 111A B C 所成角为  ，则 1 21sincos, 422 22 BCn ===  .………12 分 19. （12 分） （1）这四位同学中有且仅有两位同学报同一个项目的概率为： 9 4 3 ACCP 4 2 2 1 3 2 4 == …………4 分 （2）由题设知这四位同学报名参加校运会项目的个数  的可能取值为 1,2,3 ( ) 27 1 3 C1P 4 1 3 === ………………6 分 ( ) 27 14 3 AC 2P 4 2 22 2 2 43 4 2 3 =       + == A CC  ……………8 分 ( ) 9 4 3 C3P 4 3 3 2 4 === A ……………10 分 第4页 共 5 页   的分布列为 ( ) 27 65 9 4327 14227 11E =++= ……………12 分 20. （15 分） （1）由 2 2 1 xy = 求导得 xy =' ，设 ( ) ( )2211 ,,, yxByxA ，其中 2 22 2 11 2 1,2 1 xyxy == 则 ( )1111 :, xxxyyPAxkPA −=−= 设 ( )1, 00 −kxxP ，代入 PA 直线方程得 0110 1 xxykx =+− ， ……………2 分 PB 直线方程同理，代入可得 0220 1 xxykx =+− 所以直线 00 1: xxykxAB =+− ……………………4 分 即 ( ) 010 =+−− yxkx ，所以过定点 ( )1,k . ……………………6 分 （2）直线 l 方程与抛物线方程联立，得到 0222 =+− kxx ，由于无交点解 0 可得 22 k . 将 1: 00 +−= kxxxyAB 代入 ，得 012 1 00 2 =−+− kxxxx ， ………8 分 所以 2 00220xkx =−+ ， += 2 012 xAB ……………10 分 设点 P 到直线 AB 的距离是 d ，则 2 0 0 2 0 1 22 x kxx d + +− = …………………12 分 所以 == dABS PAB 2 1 ( ) ( ) 2 3 22 0 2 3 0 2 0 222 kkxkxx −+−=+− ……………14 分 所以面积最小值为( )2 3 22 k− . ……………………15 分 21. （15 分） 解：（1）当 2 1=a 时， 2)2ln()1(2 1)( 1 −−++−= + xxxexf x ， 1−x 12 1)2ln(2 1)( 1 −    + +++−= + x xxexf x ， ……………………2 分 令 12 1)2ln(2 1)( 1 −    + +++−= + x xxexh x ，则     +++−= + 2 1 )2( 1 2 1 2 1)( xxexh x ，  1 2 3 P 27 1 27 14 9 4 第5页 共 5 页  1−x ， 11 +xe ， 2)2( 1 2 10 2 +++ xx ， 1)2( 1 2 1 2 1 2 −    +++− xx …5 分 0)(  xh ， )( xh 单调递增， 0)1()( =− hxh ，即 0)(  xf ，可得： )( xf 单调递增， 0)1()( =− fxf 恒成立. ……………………7 分 （1） 12 1)2ln()( 1 −    + +++−= + x xxaexf x , 1−x 令 12 1)2ln()( 1 −    + +++−= + x xxaexg x ，则     +++−= + 2 1 )2( 1 2 1)( xxaexg x ， ①当 2 1a 时，由（1）知， 0)()( = xhxg ， )( xg 单调递增， 0)1()( =− gxg ，即 ， 单调递增， 恒成立. ……………………10 分 ② 当 2 1a 时，显然易知 )( xg  单调递增. 因为 021)1( −=− ag ， 04 1 16 144 1 16 1)16 1 4 1()24( 14 2 14 −−−−=+−=− −− aaaeaaaeag aa 所以存在 )24,1(0 −− ax 使得 0)( 0 = xg . ……………………12 分 当 01 xx − 时， 0)(  xg ， 单调递减， 0)1()( =− gxg ，即 0)(  xf ， 单调递减， 0)1()( =− fxf ，不符合题意. 综上所述， ]2 1,(−a ……………………15 分