2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省莆田第一中学高二下学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式简化集合的表示，用列举法表示集合，最后根据集合交集的定义求出.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 又，所以，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了列举法表示集合、集合交集的运算，正确求解出不等式的解集是解题的关键.‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用诱导公式可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3．已知复数，则复数z的共辄复数在复平面上对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】根据复数共轭复数的定义求出复数的共轭复数，然后再判断复数z的共辄复数在复平面上对应的点即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，所以复数z的共辄复数在复平面上对应的点为，该点在第四象限.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了共轭复数的定义，考查了复数在复平面对应点的位置，属于基础题.‎ ‎4．若命题“，”为真命题，则a的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数的单调性求出指数函数的值域，再根据任意性的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，因此，所以由，‎ 因此要想命题“，”为真命题，只需.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了已知命题是真命题时求参数的取值范围，考查了恒成立问题，考查了指数函数的值域.‎ ‎5．在中，已知，那么一定是（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 ‎【答案】B ‎【解析】结合三角形内角和定理，两角和（差）的正弦公式进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 因此有.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了两角和（差）的正弦公式，考查了数学运算能力.‎ ‎6．设甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设甲楼为，乙楼为，如图，在，，在中，设，由余弦定理得：，即，解得，则甲、乙两楼的高分别是，‎ ‎7．函数在区间上的大致图象为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，xsinx+lnx＜0，分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，f（x）＝xsinx+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，‎ 有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝xsinx+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，‎ 在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；‎ 又由x→0时，xsinx+lnx＜0，排除C；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．‎ ‎8．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 由余弦定理得：，即 解得：或 为最小角 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.‎ ‎9．将函数的图象向左平移 个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，下面四个结论正确的是（ ）‎ A．函数在区间上为增函数 B．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称 C．点是函数图象的一个对称中心 D．函数在上的最大值为 ‎【答案】A ‎【解析】利用函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的性质对选项逐一判断即可．‎ ‎【详解】‎ 由函数f（x）＝2sinx的图象先向左平移个单位，可得y＝2sin（x）的图象；‎ 然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝g（x）＝2sin（x）的图象．‎ 对于A选项，时，x，此时g（x）＝2sin（x）是单调递增的，故A正确；‎ 对于B选项，将函数的图象向右平移个单位后得到y＝2sin（x）不是奇函数，不满足关于原点对称，故B错误；‎ 对于C选项，将x=代入函数解析式中，得到2sin（）=2sin=；故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；‎ 对于D选项，当时，x，最大值为，故D错误；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+）的图象变换规律，正弦函数的值域及性质，属于中档题．‎ ‎10．已知三次函数的导函数为，则函数与的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对三次函数进行求导，利用二次函数的性质和三次函数极值的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】‎ 已知是三次函数，故，，二次函数的对称轴为，且，因此可以排除A，D两个选项.‎ 对于选项B：二次函数过，因此，且，‎ 因此，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，此时图象B符合；‎ 对于选项C：二次函数过原点，因此，所以且，当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减，因此是三次函数的极小值点，图象C不符合.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了原函数与导函数的识别与判断，考查了数形结合思想，考查了导数的应用.‎ ‎11．己知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：∵为偶函数，∴的图象关于对称，‎ ‎∴的图象关于对称∴‎ 设（），则 又∵，∴（），∴函数在定义域上单调递减 ‎∵，而 ‎∴∴，故选B．‎ ‎【考点】1、函数的基本性质；2、函数的导数与单调性的关系.‎ ‎12．关于的方程在内有且仅有个根，设最大的根是，则与的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．以上都不对 ‎【答案】C ‎【解析】由题，先做出图像，然后找到最大根，利用斜率公式可得与的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由题意作出与在的图象，如图所示：‎ ‎ ‎ ‎∵方程在内有且仅有5个根，最大的根是.‎ ‎∴必是与在内相切时切点的横坐标设切点为，‎ ‎，则，‎ 斜率则 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数和导函数的综合知识，解题的关键是在于数形结合以及导数的几何意义，属于较难题目.‎ 二、填空题 ‎13．曲线在处的切线方程为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数求导，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以曲线在处的切线方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了曲线的切线，考查了导数的几何意义，考查了导数的运算，考查了数学运算能力.‎ ‎14．化简________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】，‎ 故答案为：4‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，且，，，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理将已知条件角化边求得c，再利用余弦定理解得b即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，由正弦定理可得c+2c=a，代入，‎ ‎，得到a=∴c=，‎ 又cosB，‎ ‎∴b．故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知函数（a，）若函数有两个极值点，，则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对函数进行求导，利用常变量分离法，结合题意直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，由题意可知：方程有两个不等的实根，因此有，故方程组有两个解，‎ 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数有最大值，值为，显然当时，，当时，，当时，，因此函数的图象如下图：‎ 显然要想有两个极值点，只需.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数极值的个数利用导数求参数取值范围，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.‎ 三、解答题 ‎17．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图像，设函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知可得，则,由，解不等式即可得结果；(Ⅱ)由得，从而可得 ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由已知可得，‎ 则 ‎.‎ 令，解得.‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ ‎(Ⅱ)由得，‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间.‎ ‎18．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且 ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由正弦定理和余弦定理直接进行求解即可；‎ ‎（2）利用余弦定理直接求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 由正弦定理，得，‎ 由余弦定理，得，整理得，‎ 因为，所以，所以 ‎（2）在中，，，由余弦定理得，，‎ 因为故，的周长为 ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎19．一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本y（万元）与该月产量x（万件）之间有如下一组数据：‎ x ‎1.08‎ ‎1.12‎ ‎1.19‎ ‎1.28‎ ‎1.36‎ ‎1.48‎ ‎1.59‎ ‎1.68‎ ‎1.80‎ ‎1.87‎ y ‎2.25‎ ‎2.37‎ ‎2.40‎ ‎2.55‎ ‎2.64‎ ‎2.75‎ ‎2.92‎ ‎3.03‎ ‎3.14‎ ‎3.26‎ ‎（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程；‎ ‎②通过建立的y关于x的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，此时产品的总成本为多少万元？（均精确到0.001）‎ 附注：①参考数据：=14.45，=27.31，=0.850，=1.042，=1.222．‎ ‎②参考公式：相关系数：r=．回归方程=x+‎ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）①；②3.385万元．‎ ‎【解析】（1）由已知条件利用公式，求得的值，再与比较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量的平均数，根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程；将代入所求线性回归方程求出对应的的值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知条件得：，‎ 这说明与正相关，且相关性很强．‎ ‎（2）①由已知求得，‎ 所以所求回归直线方程为． ‎ ‎②当时，（万元），‎ 此时产品的总成本为3.385万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）最小值为，最大值为.‎ ‎【解析】（1）先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可得出切线方程；‎ ‎（2）对函数求导，用导数方法判断函数在上的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由函数，‎ 所以 ，‎ 直线斜率，切点，则直线方程为.‎ ‎（2）令，，得，‎ 所以，列表 ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎-3‎ 极小值 因此在区间上的最小值为，最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求曲线在某点处的切线方程以及函数在给定区间的最值问题，熟记导数的几何意义、会用导数的方法研究函数的单调性、最值等，即可求解，属于常考题型.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）设，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若，函数，试判断是否存在，使得为函数的极小值点.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数的单调区间.(2)先求导得，再构造函数，研究函数M(x)的图像和性质.‎ 详解：（1）由题意可知：，其定义域为，‎ 则.‎ 令，得，‎ 令，得.‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由已知有，对于，有.‎ 令，则.‎ 令，有.而，所以，故当时，.‎ ‎∴函数在区间上单调递增.注意到，.‎ 故存在,使得且当，，当时，.‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理的能力.(2)解答本题的关键是二次求导，在求得后，由于函数M(x)的单调区间不方便求得，所以要构造，再求导，再研究函数的图像和性质得解.‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）16.‎ ‎【解析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）曲线：，‎ 即：.‎ ‎∴曲线的标准方程为：.‎ ‎（2）设，当到直线的距离最大时，，故.‎ ‎∴的参数方程为（为参数），‎ 将直线的参数方程代入得：.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎23．已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若正实数，，满足，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 由于函数y=,是减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，‎ 故当时，取得最小值.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎